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欧拉法解常微分方程
错误
!
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数学与计算科学学院
实
验
报
告
实验项目名称
Eular
方法求解一阶常微分方程数值解
所属课程名称
偏微分方程数值解
实
验
类
型
验证性
实
验
日
期
２
< br>01
５－
3-26
班
级
学
号
姓
名
成
绩
0
/
14
欧拉法解常微分方程
一、实验概述
:
【实验目的】
熟练掌握应用显性
Eul
ａ
r
法和隐式
Eul
ａ
r
法求解
一般一阶常微分方程的近似
数值解。
【实验原理】
虽然求解常微分方程有
各种各样的解析方法
,
但解析方法只能用来求解一些特
殊类型的方程。求解从实际问题当中归结出来的微分方程主要靠数值解法。欧拉方
法是一类重要的数值解法。这类方法回避解ｙ
(x
）的
函数表达式，而是寻求它在一
系列离散节点上的近似值，相邻的两个节点的间距称作步长
。假定步长为定数。
欧拉方法是一类离散化方法，这类方法将
寻求解
y
（ｘ
)
的分析问题转化为计算
离散值值的代数问题
,
从而使问题获得了实质性的简化。然而随之带来的困难是，由
于数据量往往很大
,
差分方法所归结出的可能是个大规模的代数方程组。
【实验环境】
1.
硬件环境
2.
２<
/p>
.
软件环境
MATLAB7.
０
二、
实验内容
:
欧拉法解常微分方程
【实验过程】（实验步骤）
(
一
)
实验任务
描
述某种化学反应过程的方程，利用显性和隐形
Eualar
方法
求解下列一阶线
性微分方程组的近似数值解
:
< br>
?
dy
1
?
?
0
.
04
y
?
10
4
y
y
1
1<
/p>
2
?
dt
?
dy
4
7
2
?
2
dt
?
0
.
04
y
1
?
10
y
1
y
2
?
< br>3
?
10
y
2
?
?
dy<
/p>
3
7
2
?
3
?
10
y
2
?
dt
?
y
(
0
)
?
1
,
y
(
0
)
?
0
,
y
(
0<
/p>
)
?
0
2
3
?
1
(
二
)
求解过程
Eular
方法
:
一阶线性微分方程初值问题
?
y
'
?
f
(
x
,
y
),
a
?
x
< br>?
b
?
?
y
(
a
)
?
y
0
a
?
x
0
?
x
1
?
....
?
< br>x
n
?
b
(1
）
x
n
?
x
0
< br>?
nh
,
h
为步长
方程离散化
:
差分和差商<
/p>
y
'
(
x
0
)
?
y
1
?
y
0
y
1
?
y
0
?
< br>x
1
?
x
0
h
y
1
?
y
0
h
< br>y
1
?
y
0
?
hf
(
x
0
,
y
0<
/p>
)
（
2
）
f
(
x
0
,
y
0
)
?
y
n
?
< br>1
?
y
n
?
hf
(
x
0
,
y
0
)<
/p>
通过初始值
< br>y
0
，
依据递推公式
(2)
逐步算出
y
1
,
y
2
,....
,
y
n
就为显性的
E
ｕ
lar
方
法。
隐形
Eu
ｌ
a
ｒ方法：
?
y
1
?
y
0
?
hf
(
x
1
,
y
1
)
?
（３
)
y<
/p>
?
y
?
hf
(
x
,
y
)
n
n
?
1
n
?
1
< br>?
n
?
1
公式（
3)
即为隐式
Eu
ｌａｒ公式。
2
/
14
欧拉法解常微分方程
(
三
)
程序算法
1.
利用显式
Eul
ａｒ法方求解
利用
MAT
Ｌ
AB
进行求解，编写脚本文件如下
:
文件名
:hql.m
％显性
E
ｕｌａｒ方法
f0=
１
;
ｇ０
=0;z0
＝
0
ｄ
e
ｌ
t
ａ
=0
．
01
；
tim
ｅ
=1
；
t=
０
:
ｄ
elta:time
；
f=zero
< br>ｓ
(size(t
））
;
ｇ
=zeros(s
ｉ
z
ｅ
(
ｔ
));
z=zer
ｏ
s(s
ｉ
ze(t
）
);
f
１
=z
eros(size(t
）
)
；
g1=zer
ｏ
s(s
ｉ
z
ｅ
(
ｔ）
);
z1=z
ｅｒ
os(si<
/p>
ｚ
e(
ｔ
))<
/p>
；
f
（１
)=
ｆ
0;
g(1
）＝
g0
；
ｚ
(
1
）
=z0;
for
ｉ
=2:length
（ｔ
)
f
１
(i-1) = -
０
.04*f
（ｉ
-1
）
+ 1
０
00
０＊ｆ
(
ｉ
-
1
）＊
g(
ｉ
-1)
；
f(i
）
=f
（
i-1)+f1(i-1
）
*d
ｅ<
/p>
l
ｔ
a;
ｇ
1(i-1)
＝
０．
0<
/p>
４
*f(i-1) -
10
０
00
＊
f(i-1)<
/p>
＊ｇ
(i-1)-3*10^7*g(i-1)^2
；
ｇ
(i)=
ｇ（
i-
１
)+g1(i-1)*delt
ａ
;
z1(i-
１
)=3
＊
10^7*
ｇ
(i-1
）
^2;
3
/
14
欧拉法解常微分方程
z(
ｉ
)=z(i-1
)+z(
ｉ
-1)*del
ｔ
a
；
Fun=f+g+z
e
ｎ
d
ｆ
ig
ｕ
r
ｅ<
/p>
p
l
ｏ
t(
ｔ
,
f,
＇ｏ
'
);
xlabel
（
't'
);
y
< br>ｌ
a
ｂ
el(
< br>'
ｙ
1'
);
< br>
titl
ｅ
(
't-
ｙ
1
变化图
'
)
f
ｉｇ
ur
ｅ
plot(t,g,
'
ｏ
'
）
;
ｘ
label(
't'
）
;
yl
ａ
be
ｌ（
'y2
＇
);
titl
ｅ
(
< br>'
ｔ－
y
２变化图＇
）
figur
ｅ
ｐｌ
o
ｔ
（
t,z,
＇
o'
）
;
xlabel(
＇ｔ
'
）
;
ｙ
l
ａ
bel
（
＇
y
３
'
);
tit
ｌ
e
（
'
ｔ
-y
３变化图
'
)
fi
ｇｕ
re
plo
ｔ（
t
，
Fun
< br>）
;
xla
ｂ
el
（
'
ｔ
'
);
ｙｌ
ab
ｅ
l(
'
ｙ
1+y2
＋
y3'
)
;
title(
＇
t
－ｙ
1+y2
＋
y3
变化图
'
)
4
/
14
欧拉法解常微分方程
【实验结论】
A
步长
h
＝
０
.001
时进行数据测试。结果如下：
迭代第一次时，
结果与方程描述内容相符。
迭代第二次时
,
结果与方程描述内容基本相符。
迭代三次时
,
结果与方程描述内容基本相符。
5
/
14
欧拉法解常微分方程
迭代
100
０次时
,
模拟结
果已经严重脱离事实，故当选择
de
ｌ
ta
为
0.001
时
< br>,
该迭代方法不收敛。
时间与
个变量直接的变化关系如图所示
:
6
/
14
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