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克里金插值法
<
/p>
克里金插值法又称空间局部插值法，
是以变异函数理论和结构分析
为基础，
在有限区域
对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法
，
是地统计学的主要容之一，
由南非矿产工程师
D. Matheron
于
1951
< br>年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家
G
. Ma
theron
随后将该方
法理论化、系统化，并命名为
Kriging
，即克里金插值法。
1
克里金插值法原理
克里金插值法的适用围为区域化变量存在空间相关性，
即如果变异函数和结构
分析的结
果表明区域化变量存在空间相关性，
则可以利用克里金
插值法进行插或外推。
其实质是利用
区域化变量的原始数据和变
异函数的结构特点，
对未知样点进行线性无偏、
最优估计，
无偏
是指偏差的数学期望为
0
，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小
[1]
。因此，克里金插
值法是根据未知样点有限领域的若干已知样本点数据，
在考虑了样本点的形状、
大小和空间
方位，
与未知样点的相互空间关系，
以及变异函数提供的结构信息之后，
对未知样点进行的
一种线性无偏最优估计。
<
/p>
假设研究区域
a
上研究变量
Z
（
x
）
< br>，在点
x
i
?
< br>A
（
i=1
，
< br>2
，……，
n
）处属性值为
Z
（
x
i
）
，
则待插点
x
0
?
A
处的属性值<
/p>
Z
（
x
0
）的克里金插值结果
Z*
（
< br>x
0
）是已知采样点属性值
Z<
/p>
（
x
i
）
（
i=1
，
2
，……，
n
）的加权和，即：
Z
(
x
0
)
?
?
?
i
Z
(
x<
/p>
i
)
（
1
）
*
i
?
1
n
式中
?
i
是待定权重系数。
其中
Z(x
i
)
之间存在一定的相关关系，
这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变
化有关，克里金插值方法将研究的对象称
“区域化变量”
针对克里金方法无偏、
最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数
n)
满足关系式
：
?
i
<
/p>
(i=1
，
2
，
……，
?
?
i
?
1
n
i
?
1
（
2
）
以无偏为前提，
kriging
方差为最小
可得到求解待定权系数
?
i
的方程组：
?
n
?
i
C
(
x
i
,
x
j
)
?
< br>?
?
C
(
x
0
,
x
j
)(
j
?
1<
/p>
,
2
,
?
?
，
n
)
?
?
?
i
?
1
（
3
）
?
n
?
?
i
?
1
?
?
i
?
1
< br>?
式中，
C
（
< br>x
i
，
x
j
）是
Z(x
i
)
和
Z(x
j
)
的协方差函数。
2
方法步骤
克里金插值法的应用步骤如下：
1<
/p>
、输入原始数据，即采样点，下面以输入三个采样点求待估插值为例来进行说明。如
图
1
所示：
图
1
采样点图示
2
、网格化，选择区域的围和网格的大小，对区域进行网格化处理。
< br>3
、数据检验与分析，根据采样值是否合乎实际情况，剔除明显差异点。
4
、直方图的计算，直方图有助于掌握区域变
化的分布规律，以便决定是否对原始数据
进行转换。
5
、利用变异函数进行变异函数计算，了解变量的空间结构。
6
、克里金插值估计
（
1
）待估点权重系数估计
利用多边形估计的方法，首先确定离待估点最近的采样点的权重，根据公
式（
4
）进行
采样点权重估计：
1
d
i
w
?
i
?
n
（
4
）
1
?
w
i
?
1
c
?
d
c
?
（
< br>2
）根据搜索策略选择合适的参估点，如图
2
：
图
2
参估点图示
（
3
）根据已经求出的变异函数以及采样点数量，三个采样点列出三个等式，求出方程<
/p>
组的系数，公式为：
?
C
(
1
,
1
)
C
(
1
,
2
)
C<
/p>
(
1
,
3
)
?
?
?
1
?
?
C
(
0
,
1
)
?
?
C
(
2
,
1
)<
/p>
C
(
2
,
2
)
C
(
2
,
3
)
?
?
?
?
?
?
C
(
0
,
2
)
?<
/p>
（
5
）
?
?
?
2
?
?
?
?
?
C
(
3
< br>,
1
)
C
(
3
,
2
)
C
(
3
,
3
)
?
?
?
?
?
3
?
?
?
?
< br>C
(
0
,
3
)
?
?
（
4
）分析在各向同性条件下改变块金值与在块金值相同条件下改
变各向异性对权重值
的影响
[2]
。各
向同性条件下改变块金值时对权重值的影响效果如图
3
（
a
）
，在块金值相同条
件下改变各向异性对权重值带来的影响如图
3
（
b
）
：
（
a
）
（
b
）
图
3
各向同性条件下改变块金值与在
块金值相同条件下改变各向异性对权重值的影响
（
5
）根据求出的权重值，代入公式（
1
）
，即可求得评估领域
n
个采样值的线性组合
[2]
。
克里金插值法的方法路线图如下：
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