-
（
2011
吉林）如图，梯形
< br>ABCD
中，
AD
∥
BC
，∠
BAD=90°
，
CE
⊥
AD
于点
E
，
AD=8cm
，
BC=4cm
，
AB=5c
m
．从初始时刻开始，动点
P
，
Q
分别从点
A
，<
/p>
B
同时出发，运动速度均为
1cm/s<
/p>
，动点
P
沿
A-
B-C-E
方向运动，到点
E
停止；动
点
Q
沿
B-C-E-D
方向运动，到点
D
停
止，设运
动时间为
s
，
△
PAQ
的面积为
y cm2
，（这里
规定：线段是面积为
0
的三角形）解答下
列问题：
（
2
）当
5
≤
x
≤ 14
时，求
y
与
x
之间的函数关系式．
（
3
）当动点
P
在线段
B
C
上运动时，求出
y
?
4
S
梯形
ABCD
时
x
的值．
15
（
4
）直接写出在整
个运动过程中，使
PQ
与四边形
ABC
E
的对角线平行的所有
x
的值．
（
2007
河北）如图，在等腰梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AB
=
DC
=50
，
AD
=7
5
，
BC
=135
．点
P
从点
B
出发沿
折线段
BA
-
AD
-
DC
以每秒
5
个单位长的速度向点
C
匀速运动；点
Q
从点
C
出发沿线段
CB
方向以每秒
3
个单位
长的速度匀速运动，过点
Q<
/p>
向上作射线
QK
⊥
BC
，交折线段
CD
-
DA
-
AB
于点
E
．点
P
、
Q
同时开始运动，当点
P
与
点
C
重合时停止运动，点
Q
也随之停止．设点
P
、
Q
运动的时间是
t
秒（
< br>t
＞
0
）．
（
1
）当点
P
到达终点
C
时，求
t
的值，并指出此时
BQ
的
长；
（
2
）
当点
P
运动到
AD
上时，
t
为何值能使
PQ
∥
DC
？
（
3
）设射线
QK
扫过梯形
ABCD
的面积为
S
，分别求出点
E
运动到
CD
、
DA
上时，
S
与
t
的关系
式；
（
4
）
△
PQE
能否成为直角三角形？若能，写出
t
的取值范围；若不能，请说明理由．
< br>A
P
B
D
K
E
Q
C
A
B
D
C
备用图
（
2008
河北）如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
C=90
°，
AB
=5
0
，
AC
=30
，
D
，
E
，
F
分别是
AC
，
AB
，
B
C
的中
点．点
P
从点
D
出发沿折线
DE
-
EF
-
FC
-
CD
以每秒
7
个单位长的速度匀速运动；点
Q
从点
B
出发沿
BA
方向以每秒
4
个单位长的速度匀速运动，过点
Q
作射线
QK
?
AB<
/p>
，交折线
BC
-
CA
于点
G
．点
P
，
Q
同时出发，当点
P
绕行一周回到点
D
时停止
运动，点
Q
也随之停止．设点
P
，
Q
运动的时间是
t
秒
（
t
?
0
）．
（
1
）
D
，
F
两点间的距离是
；
（
2
）射线
QK
能否把四边形
< br>CDEF
分成面积相等的两部分？若能，求出
t
的值．若不能，说明理由；
（
3
）当点
P
运动到折线
EF
?
FC
上，且点
P
又恰好落在射线
QK
上时，求
t
的值；
（
4
）连结
PG
，当
PG
∥
AB
时，请直接写出
t
的值．
< br>
C
K
（
2011
山西太原）如图，在平面直角坐标系中，四边形<
/p>
OABC
是平行四边形．直线
l
经过
O
、
C
两点．点
C
A
的坐标为<
/p>
(8
，
0)
，点
B
的坐标为
(11
，
4)
，动点
P
< br>在线段
OA
上从点
O
出发以每秒
1
个单位的速度向点
< br>A
D
运动，同时动点
Q
从点
A
F
出发以每秒<
/p>
2
个单位的速度沿
A
→
B
→
C
的方向向点
C
运动，过点
P
作
PM
垂直
D
P
于
x
轴，与折线
O
-
C
-
B
相交于点
M
．当
P
、
Q
两点中有一点
到达终点时，另一点也随之停止运动，设点
A
E
Q
B
G
F
A
E
B
P
、
Q
运动的时间为
t
< br>秒
(
t
?
0
)
，△
MPQ
的面积为
S
．
< br>（
1
）点
C
的坐标为
________
，直线
l
的解析式为
__________
．
（
2
）试求
点
Q
与点
M
相
遇前
S
与
t
的
函数关系式，并写出相应的
t
的取值范围．
（
3
）试求题
< br>(2)
中当
t
为何值时，
S
的值最大，并求出
S
的最大值．
（
4
< br>）随着
P
、
Q
< br>两点的运动，当点
M
在线段
CB
上运动时，设
PM
的延长线与直线
l
相交于点
N
．试
探
究：当
t
为何值时，△
QMN
为等腰三角形？请直接写出
t
的值．
1.
y
y<
/p>
AB
＝
6
，
BC
＝
2
，点
O
是
AB
的中点，
点
（
2011
四川重庆）如图，矩形<
/p>
ABCD
中，
y
P
在
AB
的延长线上，且
l
BP
＝
3
．一动点
E
从
O
点出发，以每秒
1
个单位长度的速度沿
OA
匀速运动，到达
A
点后
，立即以原速度
Q
C
Q
C
B
C
M
B
PA
匀速运动，点
沿
AO
返回；另一动点
F
从
P
点出发，以每秒
1
< br>个单位长度的速度沿射线
E
、
F
同时出
M
Q
M
在射线
PA
的同侧，设运动的时间为<
/p>
t
秒（
t
≥0）
．
l
l
B<
/p>
发，当两点相遇时停止运动．在点
E
、<
/p>
F
的运动过程中，以
EF
为边作等边△
EFG
，使△
E
FG
和矩形
ABCD
O
（
1
）当等边△
x
O
C
时，求运动时间
A<
/p>
FG
恰好经过点
P
P
EFG
的边
t
A
的值；
x
关系式和相应的自变量
t
的取值范围；
O
（
2
）在整个运动过程中，设等边△
EFG
和矩形
< br>ABCD
重叠部分的面积为
S
，
请直接写出
S
与
t
之间的函数
（
3
）设
EG
与矩形
ABCD
的对角
线
AC
的交点为
H
，是否存在这样的
t
，使△
AOH
是等腰三角形？若存
在，求出对应的
t
的值；若不存在，请说明理由．
<
/p>
P
A
x
D
C
备用图
D
1
备用图
D
2
C
C
三、测试提高
1
．
A
B
P
B
F
P
O
（
2011
山东烟台）如图，在直角坐标系中，梯形
ABCD
的底边
AB
在
x
< br>轴上，底边
CD
的端点
D
在
y
轴
F
E
E
O
4
16
A
上．直线
CB
的表达式为
y
?
?
x
?
，点
A
、
D
的坐标分别为（－
4
，
0
），（
0
，
4
）．动点
P
自
A
点
B
F
P
O
E<
/p>
3
3
出发，在
A
B
上匀速运动．动点
Q
自点
B
出发，在折线
BCD
上
匀速运动，速度均为每秒
1
个单位．当其中
一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点
P
运动
t
（秒）时，△
OPQ
的面积为
S
（不能构成△
OPQ<
/p>
的动点除外）．
（
1
）求出点
B
、
< br>C
的坐标；
（
2
）求
S
随
< br>t
变化的函数关系式；
（
3
）当
t
为何值时
S
有最大值？并求出最大值．
A
（
201
1
浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，
O
< br>是坐标原点，点
A
的坐标为（
-
4
，
0
），点
B
的坐标为（
0
，
b
）
(
b
＞
0)
．
P
是
直线
AB
上的一个动点，作
PC
⊥
x
轴，垂足为
<
/p>
C
，记点
P
关于
y
轴的对称点为
P
′ (点
P
′不在
y
轴上
)
，连结
P P
′，
P
′
A
，
P
′
C
，设点
P
的横坐标为
a
．
（
1
）
当
b
=3
时，
1
直线
AB
的解析式；
2
若点
P<
/p>
′的坐标是（
-1
，
m
），求
m
的值；
（
2
）若点
P
在第一象限，记直线
AB
与
P
′
C
的交点
为
D
．当
P
′
D
:
DC
=1
:3
时，求
a
的值；
< br>
（
3
）是否同时存在
a
，
b
，使△
P
′
CA
为等腰直角三
角形？若存在，请求出所有满足要求的
a
，
b
的值；若
不存在，请说明理由．
（
2010
武汉）如图，
抛物线
y
1
?
ax
2
?
2
ax
?
b
（
< br>2
，
y
P'
B
P
经过
A
（－
1
，
0
），
C
轴交于另一点
B
．
析式；
3
2
）两点，与
x
（
1
）求此抛物线的解
（
2
）若抛物线的顶点
上一动点
(
不与点
B
重
上移动，且∠
D
为<
/p>
M
，点
P
为线段
OB
合
)
，点
Q
在线段
MB
MPQ
=45°，设线段
OP
=
x
，
x
的函数关系式
，并直
范围；
A
O
C
x
MQ
=
2
y
2
，
求
y
2
与
2<
/p>
接写出自变量
x
的取值
< br>（
3
）在同一平面直角坐标系中，两条直线
x
=
m
，
< br>x
=
n
分别与抛物线交于点
E
，
G
，与
(2)
中的函数图象交于
点
< br>F
，
H
．问四边形
EFHG
能否为平行四边形
?
若能，求
m
，
n
< br>之间的数量关系；若不能，请说明理由．
备用图
(2011
江苏镇江
)
在平面直角坐标系
xOy
中
，直线
l
1
过点
A
(1
，
0)
且与
y
轴平行，直线
l
2
过点
B
(0
，
2)
且与
x
轴
平行，直线
l
1
与
l
2
相交于点
P
．点
E
为直线
l
2
上一点，反比例函数
< br>相交于点
F
．
（
1
）若点
E
与点
P
重合，求
k
的值；
（
2
）连接
OE
、
OF
、
EF
．若
k
>2
，且△
OEF
的
面积
为△
PEF
的面积
2
倍，求点
E
的坐标；
（
3
）是否存在点
E
及
y
?
k
(
k
>0)
的图象过点
E
且与直线
l
1
x
y
轴上的点
M
，使得以点
M
、
E
、
F
< br>为顶点的三角形与△
PEF
全等？若存在，求
E
点
坐标；若不存在，请说明理由．
（<
/p>
2010
浙江舟山)△
ABC
中，∠
A
=
∠
B
=30°，
AB
=
2
3
．把△
ABC
放在平面直角坐标系中，使
AB
的中点
位于坐标原点
O
（如图），△
ABC
可以绕点
O
作任
意角度的旋转．
（
1
）当点
B
在第一象限，纵坐标是
（
2
）如果抛物线
6
时，求点
B
的横坐标；
2
y
?
ax
2
?
bx
?
c
(
a
≠0)的对称轴
经过点
C
，请你探究：
①当
a
?
5
3
5
1
，
b
?
?
，
c
?
?
时，
A
，
B
两点是否都在这条抛物线上？并说
明理由；
4
5
2
②设
b
=
?
2
am
，是否存在这样的
m
值，使
A
，
B
两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出
m
的
值；若不存在，请说明理由．
（湖北黄冈）已知二次函数的图象如图所示．
（
1
）求二次函数的解析式及抛物线顶点
M
的坐标；
y
（
2
）若点
N
为线段
B
M
上的一点，过点
N
作
x
轴的垂线，垂足为点
B
<
/p>
Q
．当点
N
在线
段
BM
上运动时
(
点
N
1
不与点
< br>B
，点
M
重合
< br>)
，设
OQ
的长为
t
，四边形
NQAC
面积为
S
，求
S
与<
/p>
t
之间的函数关系式及自变量
t
的
取值范围；
的坐标；若不存在，请说明理由；
C
-
1 <
/p>
（
3
）在对称轴右侧的抛物线上是否存在
点
P
，使△
PAC
为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点
P
O
-
1
1
x
（
4
）将△
OAC
补成矩形，使得△
OAC
的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边<
/p>
的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标
(
< br>不需要计算过程
)
．
三、测试提高
y
A
y
1
．
（
2011
山东东营）如图所示，四边形
OA
BC
是矩形，点
A
、
< br>C
的坐标分别为
(
?
3
，
0
)
，
(0
，
1)
，点
D
是线
段
BC
上的动点
(
与端点
B
、
C
不重合
)
，过点
D
作直线<
/p>
A
A
B
x
-1
O
O
的面积为
S
．求
2
S
与
b
的函数关系
式；
(1)
-1
记△
< br>ODE
(2)
当点
E
在线段
OA
上时，且
ta
n
∠
DEO
=
y
?
1
x
?<
/p>
b
交折线
OAB
于点
E
．
2
Q
B
2
x
部分的面积；若改变，请说明理由．
C
-2
．试
探究四边形
的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠
O
1
A
1
B
1
C
O
1
A
1
B
1
C
1
与矩形
OABC<
/p>
-2
1
M
M
1
．若矩形
OABC
关于直线
DE
的对称图形为四边形
N
2
C
（
201
1
辽宁大连）如图，抛物线
y
＝
ax
2
+
bx
+
c
经过
A
（－
1
，
0
）、
B
y
（
3
，
0
）、
C
（
0
，
3
）三点，对称轴与
抛物线相交于点
P
、与直线
BC
相交于点
M
，连接
PB
．
（
1
）求该抛物线的
解析式；
D
（
2
）抛物线上是否存在一点
Q
，使△
QMB
与△
PMB
的面积相等，若存在，求点
Q
的坐标；若不存在，说
明理由；
B
C
（
3
）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上
是否存在一点
R
，使△
RPM
与△
RMB
的面积相等，若存在，直接
A
写出点
R
的坐标；若
不存在，说明理由．
3
）．
（<
/p>
1
）求抛物线的解析式；
E
O
x
（
< br>2011
湖北十堰）如图，己知抛物线
y
=
x
2
+
bx
+
c
与
x
轴交于点
A
（
1
，
0
）和点
B
，与
y
轴交于点
C
（
0
，
-
y
P
（
2
）如图（
1
），己知点
H
（
0
< br>，
-1
）．问在抛物线上是否存在点
G
（点
G
在
y
轴的左侧），使得
C
S
△
GHC
=
S
△
GHA
？若存在，求
出点
G
的坐标，若不存在，请说明理由：
（
3
）如图（
2
），抛物线上点
D
在
x
轴上的正投影为点
E
（
﹣
M
2
，
0<
/p>
），
F
是
OC<
/p>
的中点，连接
DF
，
P
为线
段
BD
上的一点，若∠
EPF
=
∠
BDF
，求线段
PE
的长．
y
（
2010
天津）在平面直角坐标系中，已知抛物线
O
A
?
?
x
2
?
bx
< br>
B
x
?
c
与
x
轴交于点
A
、
B
（点
A
在点
B
的左侧），与
y
轴的正半轴交于点
C
，顶
点为
E
．
（
Ⅰ）若
b
?
2
，
c
?
3
，求
此时抛物线顶点
E
的坐标；
（
Ⅱ
）
将
（
Ⅰ
）
中
< br>的
抛
物
线
向
下
平
移
，
若
平
移
后
，
在
四
边
形
ABEC
中
满
足
S
△
BCE
=
S
△
ABC
，求此
时直线
B
C
的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛
物线作适当的平移，若平移后，在四边形
ABEC
中满足
S
△
BCE
=2
S
△
AOC
，且顶点
E
恰
好落
在直线
y
?
?
4
x
?
3
上，
求此时抛物线的解析式．
(2011
山东聊城
)
如图，在矩形
ABCD
中，
AB
＝
12c
m
，
BC
＝
8
cm
．点
E
、
F
、
G
分别从点
A
、
B
、
C
同时出
发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点
< br>E
、
G
的速度均为
2cm/s
，点
F
的速度为
4cm/s
，当点
F
< br>追上点
G
(
即点
F
与点
G
重合
)
时，三个点随之停止移动．设移动开始后第
t
s
时，△
EFG
的面
积为
S
cm
2
．
(1)
当
t
＝
1s
时，
S
的值是多少？
(2)
写出
S
与
t
之间的函数解析式，并指出自变量
t
的取值范围；
(3)
若点
F<
/p>
在矩形的边
BC
上移动，当
t
为何值时，以点
B
、
E
、
F
为顶点的三
角形与以
C
、
F
、
G
为顶点的三
角形相似？请说明理
由．
(2011
江
< br>苏
淮
安
)
如
图
，
在
R
t△
ABC
中
，
∠
C
=90°
，
AC
=8
，
BC
< br>=6
，点
P
在
< br>AB
上，
AP
=2
，点
E
、
F
同时从点
P
出发，分别沿
长度
的速度向点
A
、
B
匀速运动，点
E
到达点
A
后立
运动，点
F
运动到
点
B
时停止，点
E
也随之停止．在
A
E
D
PA
、
PB
以每秒
1
个单位
刻以原速度沿
AB
向点
B
点
E
、
F
运动过程中，以
的同侧．设
E
、
F<
/p>
运动的
分面积为
S
．
时，正方形
EFGH
的边
EF
为边作正方形
E
FGH
，使它与△
ABC
在线段
AB
时间为
t
秒（<
/p>
t
＞
0
），正方
形
EFGH
与△
ABC
重叠部
（
1
）当
t
=1
时，正方形
EFGH
的边长是
．当
t
=3
长是
．
（
2
）当
0
＜<
/p>
t
≤2
时，求
S
与
t
的函数关系式；
< br>
G
B
F
C
（
3
）直接答出：在整个运动过程中，当
t
为何
值时，
S
最大？最大面积是多少？
<
/p>
C
A
C
G
H
E
P
F
B
A
G
H
E
P
F
B
备用
三、测试提高
1.
（
20
10
山东东营）如图，在锐角三角形
ABC
中，
BC
=12
，△
ABC
的面积为
48
，
D
，
E
分别是边<
/p>
AB
，
AC
上<
/p>
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