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第一章 偏微分方程和一阶线性偏微分方程解

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2021-01-30 04:58
tags:

-

2021年1月30日发(作者:significant)


第一章



偏微分方程和一阶线性偏微分方程解



本章介绍典型的几个偏微分方程。给出了最简单的偏微分方程(一阶线性偏微分方程)


解 的特征线方法。



典型的偏微分方程:扩散方程


u


t


?


ku

< br>xx



u


t

?


k


?


u


;波动方程


u


tt


?

< br>c


2


u


xx


u


tt


?


c


2


?


u



这是本课程讨论的主要两类方程。



偏微分方程的各类边值条件也是本章讨论的一个重点。



§


1.1


一维空间中的偏微分方程




1


(刚性污染流的方程)



假设均匀直线 管道中的水流含污染物质的线密度是


u


(


x


,


t


)


( 即


。如果流速是


c


,问题:

< p>
u


(


x


,


t


)


满足什么样的方程?


< /p>


x


处在时刻


t


的 污染物的密度)




如图,在


[


x


,


x


?


?


x


]

< br>内的流体,经过时间


?


t


,一定 处于


[


x


?


c


?


t


,


x


?


?


x


?


c


?


t


]


。所含污


染物应相同,即



x


??


x


x


? ?


x


?


c


?< /p>


t


?


x


u


(


?


,


t

< p>
)


d


?


?


x


?


c


?

t


?


u


(


?


,


t


?


?< /p>


t


)


d


?




由此



u


(


x


,


t


)


?


u

< br>(


x


?


c


?


t


,


t


?


?


t


)




从而,



u


t


?


cu


x


?


0





End




可见偏微分方程是一个至少为两元的函数及其偏导数所满足的方程。



2


(扩散方程)



假设水流静止,在


?


t


时间内,流经


x


处的污染物质(不计高阶无穷小)


与该处浓度的方向导数(浓 度变化)成正比,比例系数为


k



< /p>


dm


(


t


)


?


k


?


u


dt


?


ku


x


dt




?

< p>
x


所以,在时间段


[


t< /p>


1


,


t


2


]


内,通过


[


x


1


,


x


2


]


的污染物为



t


2


?


k


[


u


(


x


,


t


)


?


u

< br>(


x


,


t


)]


dt




x


2


x


1


t


1


x


2


x


2


在时刻


t


1



t


2


,在


[


x


1


,

< p>
x


2


]


内的污染物分别为


u


(


x


,


t


1


)


dx



u


(


x

< p>
,


t


2


)


dx


,由物质守恒定律



x< /p>


1


x


2


2


x


2


1


x

< p>
1


t


2


x


2


x


1


?

?


x


1


?


u


(


x


,


t< /p>


)


dx


?


?


u


(


x


,


t


)


dx


?

< p>
?


k


[


u


(


x


,


t

)


?


u


(


x


,


t


)]


d t



x


1


t< /p>


1



t


1



t


2


的任意性,< /p>



x


2


x


1


?


u


(

< p>
x


,


t


)


dx


?


k


[

< br>u


(


x


,


t


)


?


u


(


x


,


t


)]< /p>




t


x


2


x


1


再由


x


1



x


2


的任意性,



u


t


(


x


,


t


)


?


ku


xx


(


x


,

< br>t


)





end





3


(弦振动方程)假设




1


)弦的两端固定(非本质的假设)


,弦长为


l


,线密度为


?


;< /p>




2


)外力作 用下在平衡位置附近作微小的垂直振动;



< br>3


)弦上各点张力方向与弦的切线方向一致,大小服从


H ooke


定律。



问题:建立


u


(


x


,


t


)


满足的方程。





选定弦的一段

[


x


,


x


?


?


x


]


,< /p>


(此处


0


?


x< /p>


?


l



,考虑其 在时间段


[


t


,


t


?


?


t


]


内的运动情况。



x

< br>处的张力记为


T


(


x

< p>
,


t


)




沿水平方向合力为



T


(


x


,


t


)cos


?


x


?


T


(


x


?

< p>
?


x


,


t


)cos


?


x


??

< p>
x




沿垂直方向合力为



T


(


x


,


t

)sin


?


x


?

< br>T


(


x


?


?


x


,


t


) sin


?


x


??


x




显然,水平方向合力为零(假 设


2


:弦只在垂直方向有运动)


,即< /p>



T


(


x


,


t


)cos


?


x


?


T


(


x


?


?


x


,


t


)cos


?

< p>
x


??


x




垂直方向合力为



?


[tan


?


T


(< /p>


x


?


?


x


,


t


)sin


?


x


??


x


?


T


(


x


,

< p>
t


)sin


?


x


?


T


x


??

< p>
x


?


tan


?

< p>
x


]



?


[


?


u


(

x


?


?


x


,


t


)


?


?< /p>


u


(


x


,


t


)


]


< p>
?


T


?


x


?


x


2


?

?


u


(


x


,


t


)


?


x< /p>


?


o


(


?


x


)



< p>
?


T


?


x


2


由牛顿第二运动定理,



?


2


u


(


x


,


t


)


?


?


u


(


x


,


t


)


?

< br>T


?


x


?


o


(


?


x


)


?


[


?


?


x


]




2


?


x


?


t


?


t


因此



2


2


?

u


(


x


,


t


)


?


u


(< /p>


x


,


t


)


?


T


?


?

< p>



?


x


2


?


t


2


c


?


2


?


T


?


,则得到标准的波动方程,



?


2


u


(


x


,


t


)


2


?


2

< br>u


(


x


,


t


)


?


c


?


0




2


2


?


t


?


x


注:如果弦上有外力


F


(


x


,


t


)


?


x


作用,则



2


?


?


u


(


x


,


t


)


?


x


?


F


(


x


,

< br>t


)


?


o


(


?


x


)


?


?


[


?


?


x


?


u


(


x


,


t


)


]




T

< br>?


x


2


?


t


?


t



f


(


x


,


t


)


?


F


(


x


,


t


)


?


,则非齐次的波动方程为



?


2


u


(


x


,


t


)


2


?


2


u


(


x


,


t


)


?


c


?


f

< br>(


x


,


t


)




?


t


2


?


x


2



end




§


1.2


平面和空间上的偏微分方程




1


(三维空间中的扩散方程)假设 污染流体充满三维空间的某区域,


u


(


x


,


t


)


是其 密度。


任取简单区域


D


,相应的边界< /p>


?


D


。假设,在


dt


时间内,流出


dS


的流与密度关于


dS


处的


法向导数成正比,即


dQ


(


t


)

< p>
?


k


?


u


dSdt


,因此在


[


t


1


,


t


2

< p>
]


流出曲面


?


D


的流量为



?


n


t


2


t


2

< p>
???


dQ


(


t


)


?


???


k


t


1


?


D


t


1


?


D

< br>?


u


dSdt




?


n


同时,该区域在


[


t


1


,

< p>
t


2


]


的流量变化又可表 示为



???


u


(


x


.


y


,


z


,


t


)


dxdydz


?


???

u


(


x


.


y


,


z


,


t< /p>


)


dxdydz




2


1


D


D


利用守恒定律和时间的任意性,



?? ?


u


t


(


x< /p>


.


y


,


z


,


t


)


dxdydz


?


??


k


D< /p>


?


D


?


u


?


dS


?


??


k


?


u


?

< p>
ndS




?

< p>
n


?


D


D


由高斯公式推论,


?


k


?


u


?


ndS


?


???


k


?


(


?


u


)


dxdyd z


?


???


k


?


udxdydz


,所以


< p>
??


?


D


D


???


u


(


x


.


y


,


z

< br>,


t


)


dxdydz

< p>
?


???


k


?

< p>
udxdydz




t< /p>


D


D



D


的任意性,


u


t


?< /p>


k


?


u





end




热传导方程推导类似。




2



(二维 膜振动方程)均匀鼓膜上任意截取区域


?


,在平面上的投影为< /p>


D


。作用于


?










T


?


u


?


u





< br>沿


D







T













?


n


?


n


?

-


-


-


-


-


-


-


-



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