-
第一章
偏微分方程和一阶线性偏微分方程解
本章介绍典型的几个偏微分方程。给出了最简单的偏微分方程（一阶线性偏微分方程）
解
的特征线方法。
典型的偏微分方程：扩散方程
u
t
?
ku
< br>xx
，
u
t
?
k
?
u
；波动方程
u
tt
?
< br>c
2
u
xx
，
u
tt
?
c
2
?
u
。
这是本课程讨论的主要两类方程。
偏微分方程的各类边值条件也是本章讨论的一个重点。
§
1.1
一维空间中的偏微分方程
例
1
（刚性污染流的方程）
假设均匀直线
管道中的水流含污染物质的线密度是
u
(
x
,
t
)
（
即
。如果流速是
c
，问题：
u
(
x
,
t
)
满足什么样的方程？
<
/p>
x
处在时刻
t
的
污染物的密度）
解
如图，在
[
x
,
x
?
?
x
]
< br>内的流体，经过时间
?
t
，一定
处于
[
x
?
c
?
t
,
x
?
?
x
?
c
?
t
]
。所含污
染物应相同，即
x
??
x
x
?
?
x
?
c
?<
/p>
t
?
x
u
(
?
,
t
)
d
?
?
x
?
c
?
t
?
u
(
?
,
t
?
?<
/p>
t
)
d
?
，
由此
u
(
x
,
t
)
?
u
< br>(
x
?
c
?
t
,
t
?
?
t
)
，
从而，
u
t
?
cu
x
?
0
。
【
End
】
可见偏微分方程是一个至少为两元的函数及其偏导数所满足的方程。
例
2
（扩散方程）
假设水流静止，在
?
t
时间内，流经
x
处的污染物质（不计高阶无穷小）
与该处浓度的方向导数（浓
度变化）成正比，比例系数为
k
：
<
/p>
dm
(
t
)
?
k
?
u
dt
?
ku
x
dt
，
?
x
所以，在时间段
[
t<
/p>
1
,
t
2
]
内，通过
[
x
1
,
x
2
]
的污染物为
t
2
?
k
[
u
(
x
,
t
)
?
u
< br>(
x
,
t
)]
dt
。
x
2
x
1
t
1
x
2
x
2
在时刻
t
1
和
t
2
，在
[
x
1
,
x
2
]
内的污染物分别为
u
(
x
,
t
1
)
dx
和
u
(
x
,
t
2
)
dx
，由物质守恒定律
x<
/p>
1
x
2
2
x
2
1
x
1
t
2
x
2
x
1
?
?
x
1
?
u
(
x
,
t<
/p>
)
dx
?
?
u
(
x
,
t
)
dx
?
?
k
[
u
(
x
,
t
)
?
u
(
x
,
t
)]
d
t
x
1
t<
/p>
1
由
t
1
，
t
2
的任意性，<
/p>
x
2
x
1
?
u
(
x
,
t
)
dx
?
k
[
< br>u
(
x
,
t
)
?
u
(
x
,
t
)]<
/p>
，
t
x
2
x
1
再由
x
1
，
x
2
的任意性，
u
t
(
x
,
t
)
?
ku
xx
(
x
,
< br>t
)
。
【
end
】
例
3
（弦振动方程）假设
（
1
）弦的两端固定（非本质的假设）
，弦长为
l
，线密度为
?
；<
/p>
（
2
）外力作
用下在平衡位置附近作微小的垂直振动；
（
< br>3
）弦上各点张力方向与弦的切线方向一致，大小服从
H
ooke
定律。
问题：建立
u
(
x
,
t
)
满足的方程。
解
选定弦的一段
[
x
,
x
?
?
x
]
，<
/p>
（此处
0
?
x<
/p>
?
l
）
，考虑其
在时间段
[
t
,
t
?
?
t
]
内的运动情况。
点
x
< br>处的张力记为
T
(
x
,
t
)
。
沿水平方向合力为
T
(
x
,
t
)cos
?
x
?
T
(
x
?
?
x
,
t
)cos
?
x
??
x
；
沿垂直方向合力为
T
(
x
,
t
)sin
?
x
?
< br>T
(
x
?
?
x
,
t
)
sin
?
x
??
x
。
显然，水平方向合力为零（假
设
2
：弦只在垂直方向有运动）
，即<
/p>
T
(
x
,
t
)cos
?
x
?
T
(
x
?
?
x
,
t
)cos
?
x
??
x
。
垂直方向合力为
?
[tan
?
T
(<
/p>
x
?
?
x
,
t
)sin
?
x
??
x
?
T
(
x
,
t
)sin
?
x
?
T
x
??
x
?
tan
?
x
]
?
[
?
u
(
x
?
?
x
,
t
)
?
?<
/p>
u
(
x
,
t
)
]
?
T
?
x
?
x
2
?
?
u
(
x
,
t
)
?
x<
/p>
?
o
(
?
x
)
。
?
T
?
x
2
由牛顿第二运动定理，
?
2
u
(
x
,
t
)
?
?
u
(
x
,
t
)
?
< br>T
?
x
?
o
(
?
x
)
?
[
?
?
x
]
，
2
?
x
?
t
?
t
因此
2
2
?
u
(
x
,
t
)
?
u
(<
/p>
x
,
t
)
?
T
?
?
。
?
x
2
?
t
2
记
c
?
2
?
T
?
，则得到标准的波动方程，
?
2
u
(
x
,
t
)
2
?
2
< br>u
(
x
,
t
)
?
c
?
0
。
2
2
?
t
?
x
注：如果弦上有外力
F
(
x
,
t
)
?
x
作用，则
2
?
?
u
(
x
,
t
)
?
x
?
F
(
x
,
< br>t
)
?
o
(
?
x
)
?
?
[
?
?
x
?
u
(
x
,
t
)
]
，
T
< br>?
x
2
?
t
?
t
记
f
(
x
,
t
)
?
F
(
x
,
t
)
?
，则非齐次的波动方程为
?
2
u
(
x
,
t
)
2
?
2
u
(
x
,
t
)
?
c
?
f
< br>(
x
,
t
)
。
?
t
2
?
x
2
【
end
】
§
1.2
平面和空间上的偏微分方程
例
1
（三维空间中的扩散方程）假设
污染流体充满三维空间的某区域，
u
(
x
,
t
)
是其
密度。
任取简单区域
D
，相应的边界<
/p>
?
D
。假设，在
dt
时间内，流出
dS
的流与密度关于
dS
处的
法向导数成正比，即
dQ
(
t
)
?
k
?
u
dSdt
，因此在
[
t
1
,
t
2
]
流出曲面
?
D
的流量为
?
n
t
2
t
2
???
dQ
(
t
)
?
???
k
t
1
?
D
t
1
?
D
< br>?
u
dSdt
；
?
n
同时，该区域在
[
t
1
,
t
2
]
的流量变化又可表
示为
???
u
(
x
.
y
,
z
,
t
)
dxdydz
?
???
u
(
x
.
y
,
z
,
t<
/p>
)
dxdydz
。
2
1
D
D
利用守恒定律和时间的任意性，
??
?
u
t
(
x<
/p>
.
y
,
z
,
t
)
dxdydz
?
??
k
D<
/p>
?
D
?
u
?
dS
?
??
k
?
u
?
ndS
。
?
n
?
D
D
由高斯公式推论，
?
k
?
u
?
ndS
?
???
k
?
(
?
u
)
dxdyd
z
?
???
k
?
udxdydz
，所以
??
?
D
D
???
u
(
x
.
y
,
z
< br>,
t
)
dxdydz
?
???
k
?
udxdydz
。
t<
/p>
D
D
由
D
的任意性，
u
t
?<
/p>
k
?
u
。
【
end
】
热传导方程推导类似。
例
2
（二维
膜振动方程）均匀鼓膜上任意截取区域
?
，在平面上的投影为<
/p>
D
。作用于
?
的
张
力
的
垂
直
分
量
T
?
u
?
u
近
似
等
于
< br>沿
D
的
法
向
张
力
T
。
因
此
垂
直
方
向
总
合
力
为
?
n
?
n
?
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