-
第四章
积分变换法
积分变换法是求解偏微分方程的一种基本方法
.
不仅如此，
在自然科学和工
程技术的许多领域也有着
广泛应用
.
本章介绍
Fourier
变换在求解偏微分方程定
解问题中的应用
.
主要以一维热传导方程，一维波动方程及平面上的
Lap
lace
方
程为主
.
对于高维情形，
由于计算过程要复杂一些，
故只做简单
介绍，
也不做过
多要求
.
§
4
?
1 <
/p>
热传导方程
Cauchy
问题
4.1.1
一维热传导方程
< br>Cauchy
问题
考虑如下问题
?
u
t
?
a
2
u
xx
?
f
(
x
,
t
),
?
?
?
x
?
?
,
t
?
0
(1. 1)
?
?
< br>u
(
x
,0)
< br>?
?
(
x
),
?
?
?
x
?
?
(1. 2)
下面利用
Fourier
变换求解该定解问题
.
设<
/p>
?
?
0
为常数，
函数
e
?
?
x
的
Fourier
变换为
F
e
?
< br>?
x
(
?
)
?
2
?
2
?
?
e
?
?
?
2
4
?
(1.3)
?
(
?
,
t
)
?
F
(
f
(<
/p>
x
,
t
))(<
/p>
?
,
t
)
表示对
f
(
x
,
t
)
中的空间变量
x
作
Fourier
< br>变换的像函数，
f
?
(
?
)
?
F
(
f
(
x
< br>))(
?
),
如果
f
为二元函数
f
(
x
,
t
)
，
为书写方便起见，
引入记号
f
,
此时
t
作为参数对待
.
对（
1.1
）—（
1.2
）关
于空间变量
x
作
Fourier
变换得
?
(
?
,
t
)
?
du
?
(
?
,
t
),
t
?
0
?
(
?
,
t
)
?
f
?<
/p>
a
2
?
2
u
?
?
dt
?
?
(
?
) .
?
(
?
,0)
?
?
?
u
上面是一阶线性常微分方程的初值问题，解之可
得
利用（
1.3
）得
t
2
2
?
(
?
,
?
)
e
?
a
2
?
2
(
t
?<
/p>
?
)
d
?
(1.4)
?
(
?
)
e
?
a
?
t
?
?
f
< br>?
(
?
,
t
)
?
?
u
0
e
?
a
?
t
?
F
(
2
2
1
2
a
?
< br>
t
e
?
x
2
4
a
2
t
)(
?
,<
/p>
t
)
?
x
2
4
a
2
(
t
?
?
)
e
?
a
?
< br>
记
2
2
(
t
?
?
)
?
F
(
1
2
a
< br>?
(
t
?
?
)
x
2
4
a
2
t
e
)(
?
,
t
?
?
)
Γ
(
x
,
t
)
?
1
2
a
π
t
e
?
u
(
t<
/p>
)
（
1.5
）
其中
u
(
t
)
为单位阶跃函数
.
则有
?
(
?
,
t
)
e
?
a
?
t
?
F
(
?
(
x
,
t
))(
?
)
?
?
2
2
< br>
e
?
a
?
2
2
(
t
?
?
)
?
(
?
< br>,
t
?
?
)
?
F
(
?
(
x
,
t
?
?
))(
?
)
?
?
利用上面结果将（
1.4
）改写为
t
?
(
< br>?
,
t
)
?
f
?
(
?
,
t
?
?
)
d
?
(1.6)
?
(
?
< br>)
?
?
(
?
,
t
)
?
?
u
?
?
(
?
,
?
)
?
0
对（
1.6
）两边取
Fourier
< br>逆变换，并利用
Fourier
变换卷积公式
?
(
?
)
f
?
(
?
))(
x
)
?
(
f
?
f
)(
x
)
F
?
1
(
f
1
2
1
2
便得
u
(
x
,
t
)
?
?
< br>(
x
)
?
Γ
(
x
,
t
)
?
?
f
(<
/p>
x
,
?
)*
Γ
(
x
,
t
?
?
)
d
?
0
t
?
?
?
(
?
)
?
(
x
?
?
,
t
)
d
?
?
?
< br>d
?
?
??
0
?
t
?
??
f
(
?
,
?
)
?
(
x
?
?
,
t
?
?
)
d
?
(
< br>x
?
?
)
2
?
1
2
a
?
t
?
?
??
?
(
?
)
e
?
(
x
?
?
)
2
4
a
2
t
?
2
?
d
?
d
?<
/p>
?
?
f
(
?
,
?
)
e
4
a
(
t
?
?
)
d
?
(1.7)
?
0
2
a
?
(
t
?
?
)
??
t
（
1.7
）即为定解问题（
< br>1.1
）—（
1.2
）的解
.
在
u
(
x
,
t
)
的表达式（
1.7
）中，函数
?
(
x
;
t
)
起着一个基本作用
.
如果令
f
?
0
，
?
(
x
)
?
?
(
x
)
，则有
u
(
x
,
t
)
?
?
(
x<
/p>
)
??
(
x
,
t
)
?
?
(
x
;
t
).
因此，
?
(
x
;
t
)
是如下问题的解
?
u
t
?
a
2
u
xx
?
0,
?
?
?
x
?
?
,
t
?
0
(1. 8)
?
?
u
< br>(
x
,0)
?
< br>?
(
x
),
?
?
?
x
?
?
.
(1. 9)
而
?
(
< br>x
?
?
,
t
)
和
?
(
x
?
?
,
t
?
?
)
分别是下面两问题的解
?
u
t
?
a
2
u
xx
?
0
,
?
?
?<
/p>
x
?
?
,
t
?
0
(1. 10)
?
?
u
(
x
,0)
?
?
(
x
?
?
),
?
?
?
x
?
?
. (1.
11)
?
u
t
?
a
2
u
xx
?
?
(
x
?
?
)
?
(
t
?
?
),
??
?
x
?
?
,
t
?
0 (1.
12)
?
?
u
(
x
,0)
?
0,
?
?
?
x
?
?
.
(1.
13)
由于知道了
?
(
x
;
t
)
,
就可直接写出（
1.1
）—（
1.2
）的解（
1.7
）式
.
类似于
求解线性方程组
Ax
?
0
，其中
A
为
m
?
n
矩阵
.
如果知道该齐次方程组的一个基
解组，则方程的任一解可由
基解组的线性组合表出
.
因此，
?<
/p>
(
x
,
t
)
的作用就相当
于向量空间中的基，
故称
?
(
x
,
t
)
为定解问题
（
1.1
）
—
（
1.2
）
的基本解
(fundamental
solution).
基本解是线性微分方程的一个很重要的概念，不仅可以表示
Cauchy<
/p>
问题的解，也可用来构造
Green
函数
表示边值问题的解
.
基本解有明确的物理解释
.
若在初始
时刻
t
?
0
时
在
x
?
0
处置
放一单位点热
源，则此单位点热源在
x
轴上产生的温度分布便是
?
(
x
,
t
)
.
类似地，若在初始时
刻
t
?
0
时在
x
?
?
处置放一单位点热源，则此点热源在
x
轴上产生的温度分布为
?
(
x
?
?
,
t
)
.
而将初始时刻<
/p>
t
?
0
变为
t
?
?
时，其温度
分布就是
?
(
x
?
?
,
t
?
?
)
.
注
1
在（
1.1
）—（
1.2
）解的表达式（
1.7
）中，如
果将其中的第一项和
第二项分别记为
u
1
(
x
,
t<
/p>
)
和
u
2
(
x
,
t
)
，
则
u
1
(
x
,
t
)
是相应于
f
< br>(
x
,
t
)
?
0
时齐次方程的解，
而
u
2
(
x
,
t
)
是相应于
?
(
x
< br>)
?
0
时非齐次方程的解
.
若记
u
1
(
x
,
t
)
?
?
(
x
)*
Γ
(
x
,
t
)
?
M
?
(
x
,
t
)
，则
由齐次化原理可知
t
u
2
(
x
,
< br>t
)
?
?
M
f
?
(
x
,
t
?
?
)
d
?
.
0
另外，
和
u
1
(
x
,
t
)
表达式中的卷积形式类似，
< br>u
2
(
x
,
t
)
也可表示成某种卷积形式，<
/p>
请
同学们试给出这一表示形式
.
例
1.1
求解如下定解问题
?
u
t
?
a
2
u
xx
?
bu
x
?
cu
?
0,
?
?
?
x
?
?<
/p>
,
t
?
0
(1.14)
?
?
< br>u
(
x
,0)
< br>?
?
(
x
),
?
?
?
x
?
?
.
(1.15)
其中
a
,
b
,
c
均为常数
.
解
对（
1.14
）
?
（
1.15
）关于
x
作
Fourier
变换得
< br>
?
(
?
,
t
)
?
d
u
?
(
?
,<
/p>
t
)
?
bi
?
u
?
(
?
,
t
)
?
cu
?
(
?
,
t
),
< br>
t
?
0
?
?
a
2
?
2
u
?
?
dt
?
u
?
(
?
)
?
(
?
,0)
?
?
?
解之可得
?
(
?
)
e<
/p>
?
(
a
?
?
(
?
,
t
)
?
?
u
为了求函数
e
?
(
a
2
?
2
?
bi
?
< br>?
c
)
t
2
2
?
bi
?
?
c
)
t
.
(1.16)
的
Fourier
逆变换，利用配方法将其改写为
2
2
e
?
(
a
?
?
< br>bi
?
?
c
)
t
?
e
x
2
4
a
2<
/p>
t
?
b
2
?
4
a
2
c
4
a
2
t
?
a
2
t
(
?
?
bi
2
a
2
e
)
2
.
由于
F
(<
/p>
1
2
a
?
t
e
?
)(
?
)
?
e
?
a
2
t
< br>?
2
,
利用
Fourier
变换的位移性质得
i
?
0
x
?
(
?
?
?
) ,
F
(
f
(
x
)
e
)(
?
)
?
F
(
f
)(
?
?
< br>?
)
?
f
0
0
取
?
0
?
bi
得
2
2
a
F
(
故有
1
2<
/p>
a
?
t
e
?
x
2
4
a
t
2
e
2
a
)(
?
< br>)
?
e
i
bi
2
x
?
a
2
t
(
?<
/p>
?
bi
2
a
2
)
2
.
F
(
g
(
x
,
t
< br>))(
?
)
?
< br>e
?
b
2
?
4
a
2
c
4
a
2
t
?
a
2
t
(
?
?
bi
2
a
2
e
)
2
?
(
a
?
?
e
2
2
?
bi
?
?
c
)
t
,
x
2
其中
<
/p>
g
(
x
,
t
)
?
e
?
b
2
?
4
a
2
c
4
a
2
t
1
2
a
?
t<
/p>
(
x
?
bt
)
2
4
a
2
t
e
?
4
a
2
t
< br>e
?
bx
2
a
2
?
记
e
e
2
a
?
t
ct
?
.
Γ
1
(
x
,
t
)
?
e
e
2
a
π
t
c t
?
(
x
?
bt
)
2
4
a
2
t
u
(
t
)
其中
u
(<
/p>
t
)
为单位阶跃函数
.
?
1
(
x
;
t
)
即
为定解问题（
1.14
）—（
1.15
）的基本解
.
将（
< br>1.16
）改写为
?
(
?
,
t
) ,
?
(
?
)
?
?
< br>(
?
,
t
)
?
?
u
1
.,
求
Fourier
逆变换得
u
(
x
,
t
)
< br>?
?
(
x
)
?
Γ
1
(
x
,
t
)
?
??
?
?
?
(
?
)
?
1
(
x
?
?
,
t
)
d
< br>?
?
如果将
（
1.15
）中的齐次方程改为非齐次方程
，考虑如下定解问题
e
2
a
?
t
ct
?
?
??
?
(
?
)
e
?
(
x
?
?
?
bt
)
2
4
a
2
t
d
?
.
?<
/p>
u
t
?
a
2
u
xx
?
bu
x
?
cu
?
f
(
x
,
t
),
??
?
x
?
?
< br>,
t
?
0
?
?
u
(
x
,0)
?
0,
?
?
?
x
?
?
.
请同学们写出该定解问题的解
.
例
1.2
求解如下定解问题
?
u
t
?
a
2
u
xx
?
0,
?
?
?
x
?
?
,
t
?
0
?
?
u
(
x
,0)
?
?
(
x
), <
/p>
?
?
?
x
?
?
.
其中
?
(
x
)
?
?
?
A
,
x
?
x
0
?
0,
x
?
x
0
.
解
由（
1.7
）可得该问题的解为
u
(
x
,
t
)
?
1
2
a
?
t
< br>?
?
??
?
(
?
)
e
?
(
x
?
?<
/p>
)
2
4
a
t
2
d
?
?
A
2
a
?
t
?
?
x
0
e
?
(
x
?
?<
/p>
)
2
4
a
2
t
d
?
,
对积分作变量代换
?
?
x
?
?
得
2
a
t
A
u
(
x
,
t
< br>)
?
?
?
?
A
?
x
?
x
0
2
a
t
??
0
??
e
?
?
d
?
e
?
?<
/p>
2
2
?
A
[
?
[
d
?
?
?
2
a
t
e
?
?
d
?
]
0
2
x
?
x<
/p>
0
2
?
2
?
?
?
2
a
t
e
?
?
d
?
]
0
x
?
x
0
引入下面函数
< br>?
(
x
)
?
2
?
?
x
0
e
?
?
d
?
（
1.17
）
2
该函数称为误差函数
.
利用误差函数可得
u
(
x
,
t
)
?
A
A
x
?
x
0
?<
/p>
?
(
)
.
2
2
2
a
t
4.1.2
*
二维热传导方程
Cauchy
问题
为加深对线性微分方程基本解的进一步理解
,
下面再求解二维热传导方程
Cauchy
问题
2
2
?
?
u
t
?
a
(
u
xx<
/p>
?
u
yy
)
?
f
(
x
,
y
,
t
),
(
x
,
y
)
?
R
,
t
?
0
(1.18)
?
2
?
?
u
(
x
,
y
,0)
?
?
(
x
,
y
), (
x
,
y
)
?
R
.
(1.19)
为求解
(1.19)
—<
/p>
(1.20)
，先求二维热传导方程的基本解
,
即如下定解问题的
解
2
2
?
?
u
t
?
a
< br>(
u
xx
?
u
yy
)
?
0,
(
x
,
y
)
?
R
,
t
?
0
(1.20)
?
2
?
< br>?
u
(
x
,
y
,0)
?
?
(
x
)
?
(
y
), (
x
,
y
)
?<
/p>
R
.
(1.21)
引入二元函数的
Fourier
< br>变换
F
(
f
)(
?
1
,
?
2
)
?
?
?
??
?<
/p>
?
??
f
(
x
,
y
)
e
?
i
(
x
?
1
?
< br>y
?
2
)
dxdy
和一元函数
Fourie
r
变换的性质相对应，二元函数的
Fourier
变换也有类似性质
.
对
(
1.20)-(1.21)
关于空间变量作
Fourier
变换得
?
(
?
,
t
)
2
?
du
?
(
?
,
t
)
?
0,
t
?
0
?
a
2
?
u
?
?
dt
?
?
(
?
,0)
?
1.
?
u<
/p>
其中
?
?
(
?
1
,
?
2
) ,
?
?
?
1
2
?
?
2
2
.
解之可得
2
?
(
?
,
t<
/p>
)
?
e
u
故有
?
a
2
?
t
2
?
e
?
a
< br>?
1
t
e
?
a
?
2
t
.
1
(2
?
)
2
?
?
??
2
2
2
2
2
u
(
x
,
y
,
t
)
?
F
(
f
)(
?
1
,
?
2
)
?
1
=
2
?
=
=
?
?
1
?
?
??
?
2
e
?
a
2
?
t
i
(
x
?
1
?
y
?
< br>2
)
2
e
d
?
1
d
?
2
??
?
e<
/p>
2
?
a
2
?
1
t
ix
?
1
e
1
d
?
1
2
< br>?
1
e
?
??
y
2
?
a
?
t
iy
?
?
e
2
e
2
d
?
2
1
2
a
?
t
1
e
?
< br>x
2
4
a
2
t
4
a
2
t
2
a
?
t
e
2
?
x
2
?
y
2
4
a
2
< br>t
(2
a
?
t
)
.
即
(1.18)-(1.19)
的基本解为
Γ
(
x
,
y
,
t
)<
/p>
?
1
e
(2
a
π
t
)
2
t
?
x
2
?
y
2
4
a
2
t
u
(
t
).
与（
1.7
）相对应，
（
1.20
）—（
1.2
1
）的解为
0
u
(
x<
/p>
,
y
,
t
)
?
?
(
x
,
y
)*
Γ
(
x
,
< br>y
,
t
)
?
?
f
(
x
,
y
,
?
)*
Γ
(
x
,
y
,
t
?
?
)
d
?
?
?
?
??
?
?
??
?
(
?
,
?
)
?
(<
/p>
x
?
?
,
y
?
?
,
t
)
d
?
d
?
?
?
?
t
0
d
?
?
??
?
?
??
f
(<
/p>
?
,
?
,
?
)
?
(
x
?
?
,
y
?
?
,
t
?
?
)
d
?
d
?
.<
/p>
作为练习，同学们试用
Fourier
变换求解三维热传导方程
Cauchy
问题
.
§
4
?
2 <
/p>
波动方程
Cauchy
问题
4
．
2
< br>．
1
一维波动方程
Cauch
y
问题
考虑如下定解问题
2
?
?
u
tt
< br>?
a
u
xx
?
f
(
x
,
t
),
?
?
?
x
?
?
,
t
?
0
(2.1)
?
u
(
x
,0)
?
?
(
x
),
< br>u
(
x
,0)
< br>?
?
(
x
),
?
?
?
x
?
?
.
(2.2)
?
t
?
2
?
?
u
tt
?
a
u
x
x
?
0,
?
?
?
x
?
?
,
t
?
0
(2.3)
?
?
?
u
(
x
,0)
?
0,
u
< br>t
(
x
,0)
< br>?
?
(
x
),
?
?
?
x
?
?
.
(2.4)
若记（
2.3
）—（
2.4
）的解为
u
(
x
,
t
)
?
M
?
(
x
,
t
)
，则由叠加原理和齐次化原理可得
（
2.1
）—（
2.2
）的解为
t
?
u
(
x
,
t
)
?
M
?
(
x
,
t
)
< br>?
M
?
(
x
,
t
)
?
?
M
f
?
(
x
,
t
?
?
)
d
?
(2.5)
0
?
t
因此，只须求解定解问题（
2.
3
）—（
2.4
）
.
对（
2.3
）—（
2.4
）关于空间变量
x
作
Fourier
变换得
?
d
2
u
?
(
?
,
< br>t
)
2
2
?
(
?
,
t
)
?
0,
t
?
0
?
a
?
u
?
2
?
dt
?
u
?
(
?
).
?
t
< br>(
?
,0)
?
< br>?
?
?
(
?
,0)
?
0,
u
解之可得
?
(
?
)
?
(
?
,
t
)
?
?
u<
/p>
记
sin
a<
/p>
?
t
.
a
?
?
1
?
,
x
?
at
<
/p>
?
(
x
;
t
)
?
?
2
a
?
0,
x
?
at
.
?
查
Fourier
< br>变换表或直接计算可得
?
(<
/p>
?
,
t
)
?
sin
a
?
t
F
(
?
(
x
;
t
))(
?
)
?
?
a
?
故有
?
(
?
,
t
),
?
(
?
)
?
?
(
?
,
t
)
?
?
u
对上式取
Fourie
r
逆变换并利用卷积公式得
u
(
x
,
t
)
?
?
(
x
)*
Γ
(
< br>x
,
t
)
?
?
?
(
?
)
?
(
x
?
?
,
t
< br>)
d
?
??
?
1
x
?
at
?
(
?
)
d
?
.
?
x
?
at<
/p>
2
a
利用（
2.
5
）便得（
2.1
）—（
2.2
）的解为
t
?
u
(
x
,
t
)
?
M
?
(
x
,
t
)
?
M
?
(
x
,<
/p>
t
)
?
?
M
f
?
(
x
,
t
?
?
)
d
?
0
?
t
?
1
x
?
at
1
x
?
at
?
(
?
?
(
?
)
d
?
)
?
< br>?
(
?
)
d
?
?
x
?
at
x
?<
/p>
at
?
t
2
a
2
a
x
?
a
(
t
?
?
)
1
< br>t
?
?
d
?
?
f
(
?
,
?
)
d
?
0
x
?
a
(
t
?
?
)
2
< br>a
1
1
x
?
at
?
?
?
(
x
?
at
)
?
?
(
x
?
at
)
?
?
?
(
?
)
d
?
2
2
a
?
x
?
at
x
?
a
(
t
?
?
)
1
t
?
?
d
?
?
f
(
?
,
?
)
< br>d
?
(2.6)
x
?
a
(
t
?
?
)
2
a
0
?
当
f
?
< br>0
时，
（
2.6
）
称为一维波方程
Cauchy
问题的达朗贝尔
（
D’Alembert
）
公式
.
注
1
在<
/p>
（
2.4
）中取
?
(
x
)
?<
/p>
?
(
x
)
，
则有
u
(
x
,
t
)
?
?
(
x
< br>;
t
)
，即
?
(
x
;
t
)
是如下定
解问题
< br>
2
?
?
u
tt
?
a
u
xx
?
0,
?
?
?
x
?
?
,
t
?
0
?
u
(
x
,0)
?
0,
u
(
x
,0)
?
?
(
x
)
?
?
?
x
?
?
.
?
t
?
的解，称其为一维波动方程的基本解
.
利用基本解
?
(
x
;
t
)
，就可写出（
2.1
）—
< br>（
2.2
）的解（
2.6
）式
.
?
(
x
;
t
)
在（
2.6
）的表达式中也起到一个“基”的作用
.
4.2.2
*
二维和三维波动方程
Cauchy
问题
下面，首先利用
Fourier
变
换求解三维波动方程
Cauchy
问题
,
然后用降维法
求出二维波动方程
Ca
uchy
问题的解
.
考虑三维波动方
程
Cauchy
问题
?
u
tt
?
< br>a
2
?
u
?
f
(
x
,
y
,
z
,
t
),
(
x
,
y
,
z
)
?
R
3
,
t
?
0,
< br> (2.7)
?
3
?
u
(
x<
/p>
,
y
,
z
,0)
?
?
(
x
,
y
,
z
),
(
x
,
y
,
z
< br>)
?
R
,
(2.8)
?
u
(
x
,
y
,
z
,0)
?
?
(
x
< br>,
y
,
z
),
(
x
,
y
,
z
)
?<
/p>
R
3
.
(2.9)
?
t
为求解定解问题
(2.7)
—
(2.9)
，先求出三维波动方程的基本解，即如下问题的解
,
?<
/p>
u
tt
?
a
2
?
u
?
0,
(
x
,
y
,
z
)
?
R
3
,
< br>
t
?
0
(2.10)
?
3
?
< br>u
(
x
,
y
,
z
,0)
?
0, (
x
,
y
,
z
)
?
R
(2.11)
?
u
(
< br>x
,
y
,
z
,0)
?
?
(
x
)
?
(
y
)
?
(
z
),
(
x
,
y
,
z
)
?
R
3
.
(2.12
)
?
t
记
?<
/p>
?
(
?
1
,
?
2
,
?
3
) ,
?
?
?
1
2
?
?
2
2
?
?
3
2
.
对定解问题
(2.10)
—
(2.12)
关于空间变量
作
Fourier
变换得<
/p>
2
?
d
2
u
?
(
?
,
t
)
2
2
?
(
?
,
t
)
?
0,
t
?
0
?
a
?
u
?
dt
2
?
?
?
(
?
,0)
?
0,
u
?
t
(
?
,0)
?
1.
?
u
解之可得
?
(
?
,
t
)
?
u
sin
a
|
?
|
t
.
a
|
?
|
故有
?
)(
x
,
y<
/p>
,
z
,
t
)
u
(
x
,
y
,
z
,
t
)
?
F
?
1
(
u
=
=
1
(2
?
)
1
(2
?
)<
/p>
3
3
i
(
x
?
1
?
y
?
2
?
z
?
3
)
< br>?
u
(
?
,
t
)
e
d
?
1
d
?
2
d
?
3
???
R
3
???
R
3
sin
a
?
t
a
?
e
i
(
x
?
1
?
y
?
2
?
z
?
3
)
d
?
1
d
?<
/p>
2
d
?
3
为计算上面积分
,
首先对上面积分作变量代换
v
?
?
A
?
?
,
其中
v
?
(
v
1
,
v
2
,
v
3
) ,
A
为三阶正交矩阵
.
选
A
使得将
(
x
,
y
,
z
)
变为
(0,0,
r
)
，
< br>r
?
x
2
?
y
2
?
z
2
.
根据正
交变换的保内积性可得，该变换将
?
,
x
?
1
?
y
?
2
?
z<
/p>
?
3
分别变为
v
,
rv
3
.
故有
u
(
x
,
y
,
z
,
t
)
?
sin
a
v
t
i
rv
3
e
dv
1
dv
2
dv
3
，
3
???
(2
?
)
R
3
a
v
1
再利用球坐标变换
?
v
1
?
?
cos
?
sin
?
?
?
v
2
?
?
sin
?
sin
?
?
v
?
?
cos
?
?
3
可得
sin
a
?
t
2
i
r
?
cos
?
u
(
x
,
y
,
z
,
t
)=
d
?
?
d
?
e
sin
?
d
?
3
?
?
?
(2
?
)
0
a
?
0
0
1
i
i
r
?
cos
?
?
=
s
in
a
?
t
e
d
?
2
?
0
ar
(2
?
)
0
?
i
i
r
?
?
i
r
?
=
sin(
a
?
t
) (
e
?
e
)
d
?
a
r
(2
?
)
2
?
0
?
?
2
?
?
?
i
?
?
8
ar
?
2
?
i
r
?
?
i
r
?
sin(
a
?
t
) (
e
?
e
)
d
?
?
?
i
a
?
t
?
i
a
?
t
i
r
< br>?
?
ir
?
(
e
?
e
)(
e
?
e
)
d
?
.
?
??
1
?
?<
/p>
16
ar
?
2<
/p>
注意到
?
?
?
??
i
??
i
??
e
d
?
?
F
(
e
)(0)<
/p>
?
2
??
(
?
?
?
)
?
?
?
?
0
?
2
??
(
?
)
，
1
u
(
x
,
y
,
z<
/p>
,
t
)
?
?
16
ar
?
2
?
?
??
i
a
?
t
?
i
a
?
t
i
r
?
?
ir
?
(
e
?
e
)(
e
?
e
)
d
?
?
1
?
2
?
[
?
(
r
?
at
)
?
?
(
?
(
r
?
at
))
?
?
(
r
?
at
)
?
?
(
at
?
r
)]
2
16
ar
?
1
?
[
?
(
r<
/p>
?
at
)
?
?
(
r
?
at
)]
4
ar
?
1
?
?
(
r
?
at
).
4
ar
?
记
?
(
x
,
y
,
z
,
t<
/p>
)
?
1
?
(
r
?
at
)
4
?
ar
?
(
x
,
y
,
z
,
t
)
即为三维波动方程的基本解
.
因此，当
f
?
?
?
0
时，
(2.7)
—
(2.9)
的
解为
u
(
x
,
y
,
z
,
t
)
?
M
?
(<
/p>
x
,
y
,
z
,
t
)
=
?
(
x
,
y
,
z
)
??
(
x
,
y
,
z
,
t
)
=
???
?
(
?
,
?
,
?
)
?
< br>(
?
?
x
,
?
?
y
,
?
?
z
,
t
)
d
?
d
?
d
?
R
3
=
???
R
3
?
(
r
?
at
)
?
(
?
,
?
,
?
)
d
?
d
?
d
?
.
4
?
ar
其中
r
?
(
?
?
x
)
2
< br>?
(
?
?
y
)
2
?
(
?
?
z
)
2
.
对任一
t
?
0
，
记以点
(
x
,
y
,
z
)
为心
at
为半
径的球面为<
/p>
S
r
(
x
,
y
,
z
)
，即
S
r
(
x
,
y
< br>,
z
)
?
{ (
?
,
?
,
?
)
?
R
3
r
?
at
}
.
将上面的积分化
为累次积分并由
?
函数的定义可得
< br>u
(
x
,
y
,
z
,
t
)
?
M
?
(
x
,
y
,
z
,
t
)
?
=
?
?
(
r
?
at
)(
0
?
(
?
,
?
,
?
)
ds
)
dr
??
< br>4
?
ar
S
(
x
,
y
,
z
)
r
=
=
?
(
?
,
?
,
?
)
ds
?
?
4
?
ar
S
(
x
,
y
,
z
)
r
r
?
at
S
at
?
(
?
,
?
,
?
< br>)
ds
2
??
< br>4
?
a
t
(
x
,
y
,
z
)
=
1
?
(
?<
/p>
,
?
,
?
)
ds
.
(2.13)
4
?
a
< br>2
t
S
at
(
??
x
,
y
,
z
)
最
后，由叠加原理和齐次化原理便得
(2.7)
—
(2.9)
的解为
?
1
?
?
1
1
u
(
x
,
y
,
z
,
t
)
?
?
(
?
,
?<
/p>
,
?
)
ds
?
?
(
?
,
?
,
?
)
ds
?
?
2
??
??
?
4
?
a
2
?
t
?
t
4
?
a
t
S<
/p>
at
(
x
,
y
,
z
)
?
S
at
(
x
,
y
,
z
)
?
?
1
4
?
a
2
1
r
f<
/p>
(
?
,
?
,
?
,
t
?
)
d
?
d
?
d
?
(2.14)
???
r
a
?
其中
?<
/p>
?
B
a
t
(
x
,
y
,
z
)
?
{ (
?
,
?
,
?
)
r
?
at
}
.(2.14)
称为三维波动方程
Ca
uchy
问题
的克希霍夫（
Kirch
hoff
）公式
.
< br>利用
Fourier
变换求二维波动方程的基本解比较难
.
利用三维空间中已有的
结果（
2.13
）
，下面用降维法求二维波动方程
Cauchy
问题
.
考虑如下三维波动方程
Cauchy
问题
2
3
?
<
/p>
（
2.15
）
?
u
tt
?
a<
/p>
?
u
?
0,
(
x
,
y
,
z
)
?
R
,
t
?
< br>0
?
3
?
?
u
(
x
,
y
,
z
,0)
?
0,
u
t<
/p>
(
x
,
y
,
z
,0)
?
?
(
x
,
y
),
(
x
,
y
,
z
< br>)
?
R
（
2.16
）
对于定解问题（
2.15
）—（
2.16
）
，由于
初始数据与
z
无关，可推知解
u
与
z
也无关，故有
u
zz
＝
0
，即
定解问题（
2.15
）－（
2.16<
/p>
）其实是一个二维波动方程
Cauchy
问题
,
由
(2.13)
可得该问题的解为
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