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第四单元
曲线运动
万有引力与航天
§抛体运动
一．知识点
．平抛运动（
定义、条件、性质、方法、规律
）
（）时间
（）位移（水平射程，竖直高度——可拓展到偏移量）
（）速度（大小与方向）
（）变量（相同时间内的△的大小与方向）
< br>（）推论（
αβ
，瞬时速度反向延长线过此刻水平位移的
中点）
．类平抛运动（定义、性质、方法、规律）
（与平抛运动类似）
．斜抛运动（高考只作定性要求，但培优班要适当超越）
（）水平方向以
θ
做匀速直线运动；
（）竖直方向先做上抛运动，再做自由落体运动；
（）时间：
t
?
β
α
α
2
v
sin
?
；
g
2
v
sin
?
v
cos
?
v
2
sin
2
?
?
（）射程：
x
?
（度仰
角时，射程最大）
g
g
（）高程：
（）对称性：上下时间相等，左右速度
对称，轨迹对称，初末速度关于竖直轴对称……
（）逆向性：一是运动可逆，二是可看成两个平抛
二．典例解析
．平抛运动
（）基本规律
【
例
】
从某高度水平抛出一小球，经过时间到达地面时，速度
方向与水平方向的夹角为
θ
．不计空气
阻力，重力加速度为，下列结论中正确的是
．小球初速度大小为
θ
．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
．小球着地速度大小为
gt
cos
?
．小球的速度增量为，方向竖直向下<
/p>
．小球在时间内的位移方向与水平方向的夹角为
?
2
变式：
（年新课标）
如图，轴在水平地面内，轴沿竖直方向
。图中画出了从轴上沿轴正向抛出的三个
小球、和的运动轨迹，其中和是从同一点抛出的
，不计空气阻力，则
．的飞行时间比的长
．和的飞行时间相同
．的水平速度比的小
．的初速度比的大
（）斜面上的平抛
【
例
】
（全国理综）一水平抛出的小球落到一倾角为
?
的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨
迹如图中虚
线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为
．
?
．
?
．
1
tan
?
．
1
2
tan
?
本题中若已知初速度夹角
?
，则小球在空中运动的时间是多少？
变式：
（
全国理综卷第题）如图所示，一物体自倾角为
θ
的固定斜面顶<
/p>
端沿水平方向抛出后落在斜面上，
物体与斜面接触时速度与水平方
向的
夹角
φ
满足
．
φθ
．
φθ
．
φθ
．
φθ
变式：
（年上海卷）
．如图所示，斜面上、
、
三点等距，小球从点正上方点抛出，做
初速为的平抛运动，恰落在点。若小球初速变为，
其落点位于，则
．＜＜．＝
0
C
．＜＜．＞
变式：
如图所示，小球从斜面底端点的正上方以初速度平抛，落点在
斜面
上的点，已知，若将平抛初速度增大为，则落点
．在点
．在点上方
．在间
．在间
变式：
（岳阳市一中届第二次质检）如图所示，两个挨得很近的小球，
从斜面上的同一位置以不同的初速
度
、
做平抛运动，斜面足够长，在
斜面
上的落点分别为、
，
空中运动的时间分别为
、
，
碰撞斜面前瞬间的
速度与斜面
的夹角分别为
?
、
β
< br>，已知
＝。
则有
．
:
:
．
:
:
．
?
>
β
．
球离斜面最远的位置在点的正上方
（）与地形有关的平抛问题
【<
/p>
例
】
如图所示，一个小球从高
10m
处以水平速度
10m
抛出，撞在倾角
θ°
的斜面上的点，已知
5m
，
求：
（）
、之间的距离；
（）小球撞击点时速度的大小和方向。
变式：
（
年海南卷
）
如图，水平地面上有一个坑
，其竖直截面为半圆。为沿水平方向的直径。若在点
以初速度
v
0
沿方向抛出一小球，
小球会击中坑壁上的点。
已知点与水平地面的距离为圆半径的一半，
求圆的半径。
变式：
(
全
国物理
)
一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另
一
侧的坡面呈抛物线形状。
此队员从山沟的竖直一侧，
以速度沿水平方向跳向
另一侧坡面。如图所示，以沟底的点为原点建立坐
标系。已知，山沟竖直一
x
2
侧的高度
为，坡面的抛物线方程为
，探险队员的质量为。人视为质点，
2
h
忽略空气阻力，重力加速度为。
()
求此人落到坡面时的动能；
<
/p>
()
此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动
能的最小值为多少？
（）临界与多解（范围问题，球过网问题，台阶问题等）
【
例
】
如图所示，
为斜面，为水平面，从点以水平速度抛出一小球，此时落
点到的水平距离为；
从点以水平速度抛出小球，
这次落点到点的水平距离为，
< br>不计空气阻力，则：可能等于
．
：
．
：
．
：
．
：
变式
：排
球场总长
18m
，网高
2.25m
，如图所示，设对方飞来一球，
刚好在
3m
线正上方被我方运动员后排强攻击回．假设排球被击回
的初速度
方向是水平的，
那么可认为排球被击回时做平抛运动．
（取
10m
）
（）若
击球的高度
2.5m
，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能
触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？
（）若运动员仍从
3m
线处起跳，起跳高度
满足一定条件时，会出现无论球的水平初速多大都是触网
或越界，试求满足的条件．
（）相遇问题
【
例
】
（年江苏卷）
如图所示，相距
的两小球、位于同一高度
(
,
均
为定值）
。将向水平抛出的同时，
自由下落．
< br>、与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．不计空气阻力及
< br>
小球与地面碰撞的时间，则
．
、在第一次落地前能否相碰，取决
于的初速度
．
、在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰
．
、不可能运动到最高处相碰
．
、一定能相碰
变式<
/p>
：如图所示，我某集团军在一次空地联合军事演习中，离地面高处的飞机以水平对地速度发
射一
颗炸弹欲轰炸地面目标
P
，
地面拦截系统同时以初速度竖直向上发射一颗炮弹拦截
（炮弹运动过程
看
作竖直上抛）
，设此时拦截系统与飞机的水平距离为，若拦截
成功，不计空气阻力，则、的关系应满
足
．
．
2
．
．
（）多次问题
【
例
】
如图所示，和是两块相互平行的光滑竖直弹性板。两板
之间的距
离为，高度为。现从板的顶端以垂直板面的水平速度抛出一个小球。小
球在飞行中与板和板，分别在点和点相碰，并最终在两板间的中点处落地。
求：
()
小球抛出的速度与和之间
满足的关系；
()
、
、在竖直方向上距离之比。
变式：
如
图，子弹从点水平射出，初速度为，穿过两块竖直放置的薄挡板和，留下弹孔和，测量和的
高度差为
0.1m
，两板间距
4m<
/p>
，板离点的水平距离为
14m
，不计挡板
和空气的阻力，求的大小．
（）实验问题
【
例
】
一位同学做平抛实验时，只在纸上记下重垂线
у
方向，未在纸上记下斜槽末端位置，并只描出
如图所示的一段平抛轨迹曲线。现在曲
线上取、两点，用刻度尺分别量出到
у
的距离，′＝，′＝，<
/p>
以及的竖直距离，从而可求出小球抛出的初速度为
2
(
x
2
?
x
1
2
)
g
(
x
2
?
x
1
)<
/p>
2
g
．
．
2
h
2
h
．
x
2
?
x
1
2
x
?
x
1
g
．
2
2
h<
/p>
2
g
2
h
变式：
利用频闪照相技术探究平抛运动规律时，将自由落体运动与平抛运动类比
得出运动规律与结论。
两小球运动的频闪照片如图。拍摄时，
< br>光源的频闪频率为，
球从点水平抛出的同时，
球从点开始
下落，
背景的坐标纸小方格为相同的正方形。
重力加速度取
10m
，不计阻力。
根据照片显示的信息可求，
球沿水平
方向的运动初速度为，
运动过程中球与
球之间的距离最小为。<
/p>
．类平抛运动
电场中的类平抛暂不涉及）
【
例
】
如图所示，一光滑宽阔的斜面，倾角为
θ
，
高为，现有一小球在处以水平速度射出，最后从处
离开斜面，下面说法中正确的是
．小球的运动轨迹为抛物线
．小球的加速度为
θ
．小球到达点的是间为
1
sin
?
2
h
g
v
0
sin
?
2
h
g
．小球到达点的水平方向位移为
<
/p>
变式：
如图所示，
、两质点从同一点分别
以相同水平速度沿轴正方向被抛出，在竖直平面内运动，落
地点，沿光滑斜面运动，落地
点为，和在同一水平面上，不计空气阻力，则
．
、运动时间相同
．沿轴方向的位移比沿轴方向的位移小
．比先落地
．落地时动能相同
．斜抛运动
【
例
】
如图所示，枪口瞄准悬挂于高处处的一只玩具熊，当子弹以初速射出时，处的玩具同时自由<
/p>
落下。试问：
（）子弹能否射中玩具熊？
（）射中
与否跟初速度、抛射角
θ
及射程是否有关？
变式：
一个喷水池的喷头以相同的速
率喷出大量水射流，这些水射流与地面成
°
°
< br>的所有角度喷出，竖
直射流可高达
2.0m
，如图所示。取
10m
，试计算水射流在水池中落点
所覆盖的圆的半径。
典例解析参考答案
例：
变式：
、
例
：
（本题速度夹角已知。水平速度与竖直速度之比是不是
θ
？）
变式：
（本
题位移夹角已知，本题中增大平抛初速度，会不会改变接触时速度与斜面的夹角？）
变式：
变式：
变式：
【
例
】
（）
5
2<
/p>
m
；
（）
10<
/p>
2
m
/
s
，垂直斜面撞击。
变式：
< br>【解析】设圆半径为，质点做平抛运动，则：
x
?
v
0
t
①
y
?
0.5
r
?
1
2
gt
②
< br>2
2
过点做⊥与点，△∽△可得
cd
?
ad
db
即为：
r
(
)
2
?
x
(
2
r
?
x
)<
/p>
③
2
由①②③
得：
r
?
4(7
?
4
3)
2
v
0
g
3<
/p>
mgh
1
2
2<
/p>
mg
2
h
2
变式：
【参考答案】
（）
< br>E
k
?
mv
0
?
2
；
（）
v
0
?<
/p>
gh
,
E
k
min
?
，
2
2
v
0
?
gh
【
例
】
变式
：
（）
6
5
m
/
s
?
v
?
12
2
m
/
s
；
（）
2.4m
【
例
】
变式
：
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