-
Unit
2
通过
Section
（
1
）中的例子进行说明的使用反馈系统的原因，从
某种程度上来说过于简
化。
在那些例子中，
反馈系统的使用被说明是用来减小参考输入和系统输出之间的误差。
然
而，
在控制系统中，
反馈系统的影响的意义远比那几
个例子所表明的要复杂的多。
减小系统
误差只是作用于系统中的
反馈环节的重要意义之一。
我们在下面的文章里将说明反馈环节也
对系统特性（比如稳定性，带宽，总增益，扰动，灵敏性）具有影响。
为了理解在控制系统中反馈环节的影响，广义上检查实验现象是十分必要的。当引用
< br>反馈环节来进行控制时，
它的存在很容易被识别出来。然而，
有许多这样的情形：
我们通常
视为固有非反馈系统的物理系
统，当以某种方式进行观察时，转变成具有反馈环节的系统。
总的来说，
我们可以这样说，
无论何时连续紧凑的因果关系序列存在于系统变量中时，
反馈
都是存在的。这个观点必然使得反馈环节存在于大量的被普遍认
为是非反馈系统的系统中。
然而，
随着反馈环节和控制系统理论
的应用，
反馈环节的一般定义使得大量系统，
无论其有
无物理反馈环节，
一旦从某种意义上说，
按照前
面所述的方式证明反馈环节存在，
那么都可
以按照系统化方法进
行研究。
我们现在应该研究作用在不同系统性能的各个方面的
反馈环节的影响。不具备必要的
线性系统理论的数学基本原理，
此时我们只能依赖于简单的静态系统记录进行讨论。
让我们
假设
简单的反馈系统构造如
Figure
所示，
r
是输入信号，
y
是输出信号，<
/p>
e
是误差，
b
是
反馈
信号。参数
G
和
< br>H
可以被视为恒定增益。通过简单的代数运算，很容易得到系统的输入输
出关系如下：
（略）
利用反馈系统结构的基本关系，我们能够发现一些反馈环节的重要作用。
1.
反馈环节对总增益的影响
观察方程式
1
，反馈环节利用系数
1+GH
影响非反馈环节的增益
G
。如图
Fig1.2.1
的系
统称作负反馈系统，
因为负号作用于反馈信号中去。
符号
GH
本身就包含一个负号，
所以反
馈环节的一般作
用就是增加或减小增益
G
。在实际的控制系统中，
G
和
H
是频率的函数，
所以，
1+GH
增益可能在某一频率范围内
比
1
大在另一范围内比
1
小。因此，反馈环节可以
在一定频率范围内可以增加系统的增益，但在另一频
率范围内可以减小增益。
2.
反馈环节对稳定性影响
稳定性是描述
系统是否能够紧随输入指令，或者普遍适用的一大标志。在某一非严格
缜密的方式中，<
/p>
如果系统输出失控那么系统就是不稳定的。
为了研究反馈环节对稳
定性的影
响，我们可以再次参考表达式
1.
如果
GH=-1
，在任何有限的输入量下，系统的输出都将
无
限大，
那么系统就是不稳定的。
因此
，我们可以认为，反馈环节可以引起原来稳定的系统变
得不再稳定。当然，反馈环节是一
把双刃剑；不合理使用时，是有害的。然而，应当指出，
我们只在这里处理静态情形，一
般来说，
GH=-1
不是不稳定情形的唯一条件。
可以这么说，合成的反馈环节的优势之一就是它可以使不稳定的系统稳定。
让我们假
设图
1.2.1
的反馈环节是
不稳定的，
因为
GH=-1.
如果我们
通过负反馈增益
F
引入另一个反馈
环节
，如图
Fig1.2.2
所示，那么总系统的输入输出关系如下
：
（略）
很显然，尽管
G
和
H
是不稳定的内环反馈
环节，因为
GH=-1
，但是，整个系统可以通
过对外环反馈增益
F
的选择而使其稳定。实际上，
GH
是频率的函数，闭环系统稳定性条件
依
赖于增益以及
GH
的相角。总的来说，反馈环节既可以提高稳定
性，在使用不当时，也可
能降低稳定性。
3.
反馈环节对灵敏性的影响
灵敏性设计
通常在控制系统设计中十分重要。因为所有的物理参数都具有随着环境以
及时间改变的性能，
我们不能认为控
制系统的参数在任何完整的系统工作周期中总是完全符
合要求。比如，
< br>电动机的线圈绕组会随着其再运行时温度的升高而改变。当刚被启动时，由
于预热
时系统参数持续变化，
Section1
描述的电子打印机有时
可能不会正常工作。这个现象
有时被称为孕期反应。
大部分复印
机都会有预热器，
而在这期间初次开启时运行可能就会受
阻。<
/p>
总而言之，一个好的控制系统必须不受参数变化影响但要对输入
指令敏感。我们应该
研究反馈环节对受参数变化的感应上，有何影响。参考
1.2.1
的系统，我们将
G
视为可变增
益参数。这个整个系统的增益的对与变化的灵敏性，
G
中的
M
，被定义为：
（略）
始终偏
M
表示由于
G
，
偏
G
的缓慢增加变化带来的
M
< br>的缓慢增加变化。
通过运用式一，
灵敏度函数记作：
（略）
此函数关系表明，
如果
GH
是恒正数，
灵敏度函
数的幅值可以通过增加
GH
而随意减小，
只要系统保持稳定。很明显，在开环系统中，系统的增益将对
G
的变化进行一对一映射响
应。我们再次提醒你，在实际运用中，
GH
是频率的函数；
1+GH
的幅值
可能在某些频率范
围内比其整体幅值要小，
所以，
在某些情况下，
反馈环节可能对参数变化的受影响上是有害
< br>的。
总的来说，
反馈系统的系统增益对参数变化的感应依
赖于参数所设置的位置。
读着可以
通过改变
H
得到系统的灵敏度。
4.
反馈环节对外部干扰信号的影响
所有
的物理系统在运行时都容易遭受某些外部信号或者是干扰的影响。这些信号有电
路中的热
噪声电压或者电动机的电刷或者换向器干扰。
外部扰动，
比如一
阵风作用在天线上，
在控制系统中极为普遍。
因此，
在设计控制系统时，
应该再三考虑使系统不易受干扰信号的
影响而对输入指令保持敏感。
反馈环节对干扰信号的
影响主要依赖于外部信号在系统中产生的位置。没有得出一般
性结论，但是在很多情形下
，反馈可以减少干扰信号对系统性能的影响。我们来看
1.2.3
所
示的系统，
r
代表指令信号，
n
代表干扰信号。在没有反馈环节时，
H=
0
，仅由
n
作用的输
< br>出信号
y
为：
y=Gn
带有反馈环节后，只有
n
作用的系统输出为：
（略）
。
比
较式
6
和式
5
，表明式
6
输出中的干扰信号部分被减小
1+G1G2H
分之一。如果后面
的式子比单一的
G2n
要大，那么系统就是稳定的。
在第四章前馈环节和前馈控制器的与反馈环节一起使用以减少干扰输入的影响。总的
来说，反馈环节也影响着系统性能比如带宽，阻抗，瞬时响应，频率响应。这些影响会在我
们的继续学习中进行掌握。
Reading
material
：
根轨迹技术
我们已经知道线性控制系
统中的闭环传递函数中零极点对系统动态性能的重要意义。
特征方程的根，
也就是闭环传递函数的极点决定了线性系统是完全稳定还是相对稳定。
请记<
/p>
住系统的瞬时特性取决于闭环传递函数的零点。
线性系统中一个重要的课题就是对特征方程的根的发射曲线的研究，简单的说，就是
根轨迹——产生于某个系统参数的变化。
根轨迹的基本特
性和系统组成首先来源于
。在这份材料中，
我们看到通过一
些简单的法则怎样去构造这些轨迹。
为了准
确画出根轨迹，
通常可以使用根轨迹程序还有数
字计算机。比如
，在
ACSP
包中的程序
ROOTLO
CI
，
CSAD
工具箱中的
rlplot
，程序
CC
的
ＲＯＯＴ
ＬＯＣＵＳ，
仅列举一小部分，
这些所有都可以被用来通过传递函数来产生数据
并刻画根轨迹。
如果我们正在研究并将成为技术人员，
我们所要做的就是熟悉这些软件中的
一个的用法。然而，更重要的是，学习根轨迹的
根本原理，它们的特性，以及怎样解释由根
轨迹提供的数据，
以
达到分析和设计的目的。
作为一名聪明的工程师，
我们必须知道
由根轨
迹提供的数据是否确实正确，
并且要能够从根轨迹中获得
重要信息。
这份材料要与这些观点
一起存入脑中。
根轨迹技术并不限制于对控制系统的研究。一般来说，此方法也能被应用于
带有变量
参数的任何代数方程式的根作用的研究中。
普通的根轨
迹问题可以通过参考下面的复杂变脸
的代数方程建立：略
式中Ｐ（ｓ）是ｓ的ｎ次多项式，Ｑ（ｓ）是ｓ的ｍ次多项式；ｎ和ｍ都是正整数
就式子来看，我们并没有在ｎ和ｍ之间的相对幅值上给予任何限制。方程
式１中的Ｋ
是一个实数恒量，其变化范围时负无穷到正无穷。
参数。
。
。
。
。是实数并且固定不变。
多变量参数
的根轨迹可以认为是在某一时刻改变参数而得。因此产生的轨迹被称为根
轨线。
式１中用ｚ替换ｓ得到式３，
我们可以用相似的方式构画线性离散系统特
征方程的根
轨迹。
为了达到辨识的目的，我们根据符号ｋ定义下面的根轨迹分类：
１．ＲＬ：党ｋ是正数时的根轨迹部分
２．ＣＲＬ（补偿根轨迹）
：ｋ是负数时的根轨迹部分
３．ＲＣ（根轨线）
：当有多个变量变化时的根轨线
４．Ｒｏｏｔ
ｌｏｃｉ：指整个根轨迹
根轨迹的基本性能
因为我们主要关注
的是控制系统，让我们假设单循环控制系统的闭环传递函数如下：
（略）
。
记住多闭合回路系统的传递函数也能用相似的方式
表达。闭环系统的特征方程通过使
得
Y(s)/R(s)
的特征多项式等于得到。因此特征方程的根必满足
1+GH=0. <
/p>
假设
G(s)H(s)
包含变量参数
K
作为放大系数，那么这个有理函数可以记为：略
< br>
式中
P(s)
和
Q(s)
分别是在式二和式三中定义的特征多项式。因此，式五可写作：略<
/p>
式七中分数的分子与式一相等。
因此通
过考虑闭环传递函数
G(s)H(s)
可以写成式
6
的形
式，我们就可以用普遍的根轨迹原理去辨识控
制系统的根轨迹。
当变量
k
没有作为
G(s)H(s)
的放大系数时，
我们可以将函数限制为式一的形式。
作为解
释引用下面实例，假设控制系统的特征方程为：
（略）
为了表示式七中的最后一个等式，
我们将等式两边同时除以不含
K
的各项，
我们得到：
（略）
比较式七，可得：
现在
K
被提出作为函数
Q(s)P(s)
的放大倍数。
我
们应该说明式五的根轨迹可以依据
Q(s)/P(s)
的性质构
造。假如在
GH=KQ/P
中，根轨
迹
问题是另外一种情况，
即通常是由特征方程的根所表现出来的闭环系统的特性，
是由传递
函数
GH
决定
的。
现在，我们准备研究一种式五或者式七能满足的情形。我
们将
G(s)H(s)
表示为：略
<
/p>
式中
G1H1
不包含变量参数
K
。那么式五可以记作：略
为了满足式
12
，必须同时满足下面的条件：
幅值条件：略
相角条件：略
实际上，式
13
到
15
所表达的条件在根轨迹的构造中扮演着不同的角色。
?
式
14
或者
15
的相
角条件被用来确定根轨迹在
s
平面的曲线。
?
一旦画下根轨迹，根轨迹上
的
K
值就可以通过使用式
13
中的幅值条件确定。
根轨迹的构造是基本的作
图问题，尽管一些性质是通过分析得来的。根轨迹图的构画
是基于函数
< br>GH
的零极点知识而来。换句话说，
GH
必须先记作如下形式：略
式中零点和极点是实数或者是共轭复数对
应用式
13,14,15,16
的条件，得到：略
式
18
的图像解释是
任何在符合正数
K
值的
RL
上的点
s
必须满足以下条件：任何从零
点出发的向量角之和减去从极点出发的向量角都是
180
< br>°的奇数倍。
对于负数的
K<
/p>
值，任何在
CRL
上的
< br>s
点必须满足以下条件：任何从零点出发的向量角
之和减
去从极点出发的向量角之和都是
180
°的偶数倍。
一旦根轨迹构造完毕，值
K
就可以按照式
17
确定为：略
<
/p>
根轨迹上的任何点
s
的
< br>K
值都可通过将
s1
替代
s
写入方程，
由式
2
0
获得。
通过图像可
见，式
20
的分子代表由
GH
的
各极点画至点
s1
的向量长度的乘积，
分母表示由
GH
的极点
画至
s1
的各向量长度的乘积。如果点
s1
在
RL
上，
K
为正；如果点
s1
在
CR
L
上，
K
为负。
为了说明式
18
到式
20
的构造根轨迹的用途，我们假设函数：略
GH
的零极点位置可以如图
1.2.4
所示随意排放。我们在
s
平面随机选择测试
点
s1
然后
画出从
GH
零极点到该点的向量。如果
s1
确实为
RL
上的点（
K
为正）
，它必须满足式
18
；
也就是说，图
1.2.4
中的向量角
必须满足：略
如图
1.2.4
所示，向量角是以
x
轴正向为参考向进行测量
。相似地，如果
s1
是
CRL
上
的点，
（
K
为负数）
，那么它必须满足式
19
；也就是：略
如果
s1<
/p>
满足式
22
或者式
23
，那么式
20
就可以用来在该点
上求出增益。正如图
1.2.4
所示，各向量长度用
A
，
B
，
C
，
D
表示，增益
K
为：略
K
的符号取决于
s1
是否在
RL
上或者
CRL
上。
因此，
假设已知带有
K
作为增
益系数的
函数
G
（
s
）
H
（
s
）和其零极点，那么
1+G(s)H(s)
< br>的零点轨迹的构造包括以下两个方面：
1.
在
s<
/p>
平面查找所有满足式
18
的点
s1
以得到正数
K
。
如果要得到负值
K
的根轨迹，
那么必须满足式
19.
2.
用式
2
0
得到根轨迹增益
K
我们已经建立根
轨迹图像构造的基本条件。
然而，
如果我们利用描述过的试差法
，
那么
查找所有在
s
< br>平面上的满足式
18
或者
19<
/p>
或者
20
的点将是一件非常繁琐沉闷的工
作。几年
之前，
当
Evans
第一次发明了根轨迹技术的时候，
数字计算机技术仍处于启蒙期；
他不得不
发明特殊的工具，叫做
Spirul
e
，可以用来帮助快速将向量角进行求和或者求差运算。
随着数字计算机以及有效的根轨迹子程序的应用，
Spirule<
/p>
法和试差法已经过时。但是，
即使运用高速运算计算机和高效的根
轨迹程序，
当用根轨迹去分析和设计控制系统时，
分析
者仍然需要对根轨迹的性能有深入的理解，
以此能够手工绘制出简单的和
适度复杂的系统的
根轨迹，同时也能正确的解释计算机得出的结果。
Unit 3
反馈系统一个
重要的作用就是它能够引起震荡响应。
如果震荡具有小幅值并且衰减迅速
的话，
那么一般就会认为控制系统的性能满足要求。但是，在某些特定的环境下
，
震荡可能
不会衰减甚至随着时间一直增大直到某个物理极限，
比如控制阀的完全开启或者完全关闭。
在这样的情况下，就认为闭环系统时不稳定的。<
/p>
在这个单元，
我们分析了闭环系统的稳
定性特征以及决定系统是否稳定的几个有用的标
准。
基于频率响
应分析的附加稳定标准不再这里讨论。
但是，
首先我们来考虑一
个具有说明
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