-跷跷板
1
、应力和应变
应力和应变的概念可以通过考虑一个棱柱形杆的拉伸这样一个
简
单的方式来说明。
一个棱柱形的杆是一个遍及它的长度方向和直轴
都是恒定的横截面。
在这个实例中，
假设在杆的两端施加有轴
向力
F
，
并且在杆上产生了均匀的伸长
或者拉紧。
通过在杆上人
工分割出一个垂直于其轴的截面
mm
，我们可以分
离出杆的部分作为自由体【如图
1(b)
】
。在左端施加有拉力
P
，在另
< br>一个端有一个代表杆上被移除部分作用在仍然保存的那部分的力。
这
些力是连续分布在横截面的，
类似于静水压力在被淹没表面的连续分
布。
力的
集度，
也就是单位面积上的力，叫做应力，通常是用希腊字
母，
来表示。假设应力在横截面上是均匀分布的【如图
1(b)
】<
/p>
，我们
可以很容易的看出它的合力等于集度，乘以杆的横截面积<
/p>
A
。而且，
从图
1
所示的物体的平衡，
我们可以看出它的合力与力
P
必须的大小
相等，方向相反。因此，我们可以得出
等式
(1)
可以作为棱柱形杆上均匀应力的方程。这个等式表明应
力的单位是，力除以面积。当杆被力
P
拉伸时，如图所示，产生
的应
力是拉应力，
如果力在方向是相反，
使杆被压缩，
它们就叫做压应力。
使等式
(1)
成立的一个必要条件是，应力，必须是均匀分布在杆
的横截面上。
如果轴向力
P
作用在横截面的形心处，
那么这个条件就
实现了。当力
P
没有通过形心时，杆会发生弯曲，这就需要更复杂的
分析。目前，我们假设所有的轴
向力都是作用在横截面的形心处，除
非有相反情况特别说明。同样，除非另有说明，一般
也假设物体的质
量是忽略的，如我们讨论图
1
< br>的杆一样。
轴向力
使杆产生的全部伸长量，
用希腊字母
δ
表示
【如图
1(a)
】
，
单位长度的伸长量，或者应变，可以用等式来决定。
L
是杆的总长。
注意应变
ε
是一个无量纲的量。只要应变是在杆的长度方向均匀的，
应变就可以从等式
(2)
中准确获得。如果杆处于拉伸状态，应变就是
拉应变，
代表材料的伸长或者延长?如果杆处于受压状态，
那么应变
就是压应变，这也就意味着杆上临近的横截面是互相靠近的。
当材料的应力和应变显示的是线性
关系时，
也就是线弹性。
这对
多数固体
材料来说是极其重要的性质，包括多数金属，塑料，木材，
混凝土和陶瓷。
处于拉伸状态下，
杆的应力和应变间的线性关系可以
用简单的等式来表示。
E
是比例常数，叫做材料的弹性模量。<
/p>
注意
E
和应力有同样的单位。在英国科学家托马斯·杨
(1773
~
1829)
研究杆的弹性行为之后，弹性模量有时也叫做杨
氏模量。对大
多数材料来说，
压缩状态下的弹性模量与处于拉伸
时的弹性模量的一
样的。
2
、拉伸应力应变行为
一个特殊材料中应力和应变的关系是通过拉伸测试来决
定的。
材
料的试样通常是圆棒的形式，被安置在测试机上，承受
拉力。当载荷
增加时，
测量棒上的力和棒的伸长量。
力除以横截面积可以得出棒的
应力，
伸长量除以伸
长发生方向的长度可以得出应变。
通过这种方式，
材料的完整应
力应变图就可以得到。
图
1
所示的是结构钢的应力应变图的典型形状，
轴向应变显示在
水平轴，对应的应力以纵坐标表示为曲线
OABCDE
。从
O
点到
A
点，
应力和应变之间是直接成比例的，图形也是线性的。过了
A
点，应力
应变间的线性关系就不存在了，因此
A
点处的应力叫做比例极限。
随着荷载的增加，
应变比应力增加的更快，直到在
B
点，在拉应
力没有明显增大的情况下，
物体也
发生了相当大的伸长。
这种现象叫
做材料的屈服，点
B
处的应力叫做屈服点或者屈服应力。在区域
BC
材料开始具有塑性，
棒也开始塑性伸长，
伸长量是在比例极限处伸长
量的
10
或者
15
倍。
在
C
点，材料开始应变硬化，并且进一步的阻力，阻止载荷
的增
加。这样，随着进一步的伸长，应变增加，并且在
D
点达到最大值，
或者极限应变。
过了这一点，
棒的拉伸伴随着载荷的减少，试样最后
在图上
E
点断裂。
在棒伸长期间，
发生了侧面的收缩，导致棒的横截面积减小。这
个现象在
C
点之前，对应力应变图没有影响，但是过了这一点，面积
的减小对应
力的计算值有明显的影响。棒就会发生明显的颈缩
(
如图
2
所示
)
，并且如果
颈处狭窄部分的实际横截面积被用于计算
ζ
，将
会发现真实的应力应变曲线是虚线
CE
。尽管在极限应
力达到之后，
棒上的总荷载有实际的减小，
这个减小是由于面积
的减少，
而不是材
料强度的减小。
在失效点之前，
材料实际经受了应力的增加。然而，为了多数实
用目的，常规的应力应变曲线
OABCDE
是基于试样最初的横截面积，
为设计目的提供了令人满意的信息。
< br>
图
1
的图形，
画出来是为了表示应力应变曲线的一般特性。
在应
力
应变曲线的最初区域，
材料表现的既有弹性又有线性。
钢材的应
力
应变图上的从
O
到
< br>A
的区域就是很好的例子。紧接着大的塑性应变，
明显屈
服点的出现，
对于在今天是很普通的结构化金属——钢材来说
稍
微有点独特。铝合金从线性到非线性区域是更渐渐的转变。
在失效之前，
钢和许多铝合金承受了更大的应变，
所以被归类为
易延展的。另一方面，脆性材料在很低的应变时就失效了。实例包括
陶瓷，铸铁，混凝土，某些金属合金，和玻璃。
3
、圆棒的扭转
让我们设想一下，一个具有圆形横截面的棒被作用在其末
端的力
偶扭转
(
如图
< br>1)
。以这种方式加载的棒据称是处于纯扭转。从考虑对
称性可以看出，
圆棒的横截面在纵轴方向是作为刚体扭转的，
半
径依
然是直的，
横截面是圆形的。
并且
，
如果棒扭转的总角度比较小的话，
棒的长度和半径
r
都不会改变。
在扭
转期间，
对应于棒的一端，
棒的另一端绕着纵轴会发生扭转。<
/p>
例如，如果我们把棒的左端看做固定的，那么对应于棒的左端，棒的
右端会旋转一个角度。同时，棒表面的纵向线例如
nn
，会旋
转一个
小的角度到位置。因为扭转，棒表面的矩形单元，例如图中所示的在
两个横截面之间相距的单元，被扭转成长菱形。
当一个杆状物承受纯扭转时，
扭转角的变化率沿着棒的长度方向
是恒定不变的。这个常数代表单位长度的扭转角，用符合?表示。这
样，我们得出，
L
是轴的长度。然后，我们可以得到切应变。作用在
单元边线处的切应力有图
1
所示的方向。
对于线弹性材料，
切应力大
小是。
< br>等式
(1)(2)
把杆状物的应变和应力与单位长度的扭
转角联系起
来。
杆状物内部的应力表
述用的方式类似于用于杆状物表面的表述
方式。因为棒横截面的半径依然是直的，在扭转
时没有扭曲，我们看
到位于半径为
ρ
的
圆柱体表面的内部单元，
是纯剪切并伴随着对应的
切应变，应力
可以从下述的表达式得出。这些等式表明，从轴心处切
应力和切应变随着径向距离是线性
变化的，并且在外表面达到最大
值。
作用在横截面的切应力，
由等式
(3b)
给出，
伴随着作用在杆状物
纵向平面的相等的切应力。
这个结果是从这样一个事实得到的，
就是
相
等的切应力总是存在于相互垂直的平面。
如果材料纵向受剪弱于侧
向受剪
(
例如，
木材
)
，
受扭杆状物的第一次断裂将会出现在它的纵向
表面。
杆状物表面的纯剪切应力的表述等
效于，对于杆状物轴扭转
45
。
的单元
上的拉应力和压应力。
如果一种受拉比受剪弱的材料受扭，
那<
/p>
么材料将会沿着与轴成
45
。的螺旋线处
以收缩的方式失效。通过扭
转一支粉笔的方式就可以很容易的演示这种失效。
可以建立施加的扭矩
T
和产生的扭转角间的关系。
切应力的合力
必须静定的等于合扭
矩。作用在单元面积
dA
上的剪切力是，这个力
对于棒轴的力矩是。在等式
(3b)
中，力矩等于。合
力矩
T
是整个横截
面上的单元力矩的总
和，因此，总和，因此，是圆截面的极惯性矩。
从等式
(4)<
/p>
我们可以得到，是单位长度的扭转角，与扭矩
T
< br>成正比，
与乘积，是相反的，是杆的扭转刚度。
4
、梁的挠曲
一根承受轴横向力的棒叫做梁。图
1
中的梁，一端是针状支撑
，
另一端的滚动支撑，
叫做简支梁或者简单的梁。
简支梁的本质特征是
在弯曲时梁的两端可以自由转动，但是它不能够横向移动
。另外，梁
的一端可以沿轴向自由移动。
一端是嵌入式或者固定
，
另一端的自由
的梁，叫做悬臂梁。梁的固定端既不可以转动也
不可以移动，自由端
则可以转动和移动。
< br>梁上的荷载可以分为集中力，
例如图
1
< br>中的力?，
或者分布载荷，
可以表述为沿着梁轴单位距离
作用单位力。
轴向力?作用于横截面的
法向，通过横截面的质心
。
剪力
??
平行于横截面，弯矩?作用
于平面
梁，被叫做合应力。
剪力、
弯矩?和梁上荷载的关系可以表述为。这个等式表示，在
分布载荷
(
或者没有载荷
)
作用于梁上时，<
/p>
弯矩的变化率等于剪力的代
数值。如果梁上作用有集中力，那么在
集中力作用点剪力处，将会有
突变，或者不连续。
作用在梁侧面的载荷将会引起梁的挠曲。
如图?所示，
< br>在力?作
用前，
梁的纵轴是直的。
在弯曲后，
梁的轴变成了曲线，
表现为曲线，
让我们假设
xy
平面是对称与梁的平面，并且所有的载
荷都作用在平
面内。那么曲线，叫做梁的挠曲线，也会在平面内。
从图形的几何形状可以看出，是曲率，等于曲率的半径的倒数。
< br>这样，曲率等于角度在沿着挠曲线测量的长度方面的变换率。
梁挠曲线的基本微分方程可以表述为，是梁从初始位置的挠度。
必须在每个事例
中求积分来获得挠度。这个步骤包括方程的连续积
分，作为结果的积分常数从梁的边界条
件获得。应该明白，只有在材
料适用于胡克定律并且挠曲线的斜率是很小的时候，方程才
是有效。
另一种获得梁挠度的方法是力矩面积法。
这个方法得名于它利用
了弯矩图的面积。
当想得
到挠度或者梁上一点处的斜率，
而不是获得
挠曲线的整个方程，
这个方法是特别有用的。
作用在横截面上任意一点处的正应
力和切应力，可以使用方程，
其中?是在横截面中性轴方面的第二力矩
< br>(
或者惯性矩
)
，
Q
是梁平面
面积的第一力矩
(
或者静态矩
)
。可以看出梁外缘处正
应力是最大的，
在中性轴处为零，在外缘处切应力为零，在中性轴处经常达到最大。
梁上的剪力
V
和弯矩
M
经常随着距离变化，距离规定
是从它们
作用在梁上的横截面处开始的。
当设计一个梁时，
非常想知道梁上所
以横截面处和的值，
提供
这方面信息的一个很简便的方法是画一个表
达它们沿着梁轴变化的图。
< br>为了画出图，
我们把横截面的位置作为横
坐标，
把对应的剪力或者弯矩的值作为纵坐标。
这样的图像叫做剪力
图或者弯矩图。
图
1
中的简支梁是静定梁中的一种。
这种梁的特征的它所有的反
作用力都是由静力平衡方程决定的。
反作用力的数目多于静力平衡方
程数目的梁叫做超静定梁。
对于静定梁，
我们可以通过求解静力平衡
方程快速获得梁的反作用力。然而，当梁是超静定时，我们
不能仅从
静力方面求解解决。取而代之的是，我们必须考虑梁的挠度，并且获
得相容方程作为静力方程的补充。
6
、刚体的平衡
< br>静力学的主要目标是建立一个基本理论，
来管理作用在处于平衡
< br>状态的物体上的力。
描述阻止物体移动的力的一个手段是自由体受力
图，它使物体从周围的事物中隔离出来。在受力图中，我们展示了施
加在物体
上的所有力，
记住牛顿第三定律告诉我们的，
力是物体之间
相互作用的结果。
构建受力图的过程帮助我们理解系统的参数是很重
要的。
构建自由体受力图的部分任
务的为了检查支撑结构，
以便我们可
以推导出应用在物体上的什
么类型的力。
这些力有时叫做约束力，
因
为它们代表支撑结构约束物体移动的方式。
对这些力的另一个术语是
< br>反作用力，因为它们代表支撑结构对物体移动趋势做出反应的方式。
反作用力被用
来约束物体的移动，反作用力偶被用来约束物体的转
动。
在任何
时候支撑结构的类型允许物体在特定方向移动，
或者是绕
着特定
轴转动，那么在哪个方向将没有反作用力或力偶。
我们可以
为条件建立一个数学推导公式，
如果物体处于精力平衡
状态，<
/p>
那么这个公式必须满足。
在我们研究作用在处于静力平衡的物
体上的力之间的关系之前，
让我们想象用作用在一些合适点
C
的等效
的力偶系，来代替作用在物体上的真实
的力。力
R
是真实力的合力，
描述了在
点
C
处合力压或拉的效果。
力偶是在点
C
真实力的力偶之和。
这个力偶描述了
真实力引起的物体绕着点
C
转动的合趋势。
为了使一
个刚体处于静力平衡状态，
应该使作用在物体上的
力系满足合力为
0
，
合力偶为
0
。
设定合力和合
力偶为
0
的最直接的方式是，
实际计算
所以力的合
力和在任意点处力偶的和。我们接着使合矢量等于
0
，这样我们就得
到?
F =
0
，?
Mc= 0
。在空间力系的
事例中，力和合力偶每个有
三个组成部分，因此等式，
1
，等效于下面的六个静力平衡的标量等
式。?
Fx= 0
，?
Fy=
0
，?
Fz= 0
，
Fcx=
0
，?
Fcy=
0
，?
Fcz=
0
。对于并发系统力的平衡方程是方程式，
2a
，
b
，的特殊例子，可
以从令点
C
成为并发点看出。
一个
求解静力平衡方程的方法，
得出了反作用力和自由体受力图
上显
示的未知力。
点
C
对于合力偶来说是任
意的。
我们一般应该选择
点
C
沿着至少一个未知反作用力的作用线的方向，
这是为了从力偶方
程中消除未知力。
这个过程简化了要求解的方程。
简化方程的能力启
-跷跷板
-跷跷板
-跷跷板
-跷跷板
-跷跷板
-跷跷板
-跷跷板
-跷跷板
-
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