-铿锵
许老师奥数
第三部分
行程问题
第一讲
行程基础
【专题知识点概述】
行程问题是一类
常见的重要应用题，在历次数学竞赛中经常出现。行程问
题包括：相遇问题、追及问题、
火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题
等等。行程问题思维灵活性大，辐射面广，
但根本在于距离、速度和时间三个
基本量之间的关系，即：距离
?
速度
?
时间，时间
< br>?
距离
?
速度，速度
?
距离
?
时
间。在这三个量中，已知两个量，即可求出第三个量。掌握这三个数量关系式，
是解决行程问题的关键。在解答行程问题时，经常采取画图分析的方法，根据
题意画出
线段图，来帮助我们分析、理解题意，从而解决问题。
一、行程基本量
我们把研究路程、速
度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称
为行程问题
.<
/p>
我们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时
间（
t
）
、速度（
v
）和路程（
s
）这三个基本量，它们
之间的关系如下：
（
1
）速度×时间
=
路程
可简记为：
s = vt
（
2
）路程
÷
速度
=
时间
可简记为：
t =
s
÷
v
（
3
）路程
÷
时间
=
速度
可简记为：
v =
s
÷
t
显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量
.
二、平均速度
平均速度的基本关系式为：
平均速度
?
总路程
?
总
时间；
总时间
?
总路程
?
平均速度；
总路程
?
平均速度
?
总时间。
【重点难点解析】
1.
行程三要素之间的关系
2
．平均速度的概念
3
．注意观察运动过程中的不变量
【竞赛考点挖掘】
1.
注意观察运动过程中的不变量
改
变
教
育，从
改
变
关
系
开
始
！
- 1 -
许老师奥数
【习题精讲】
【例
< br>1
】
（难度等级
※）
邮递员早晨
7
时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走
12
千米上坡路，
8
千米
下坡路。他上坡时每小时走
4
千米，下坡时每小时走
5
千米，到达目的地停留
1
小时
以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局
?
【分析与解】
< br>法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。
①
邮递员到达对面山里需
时
间
：
12
÷
4+8
÷
5=4.6(
小
时
< br>);
②
邮
递
员
返
回
到
邮
局
共
用
时<
/p>
间
：
8
÷
4+12
÷
5+1+4.6
=2+2.4+1+4.6 = l0(
小时
< br>)
③
邮递员回到邮局时的时刻是：
7+10-12=5(
时
).
邮递员
是下午
5
时回到邮局的。
法二：从整体上考虑，邮递员走了（
12+8
）千
米的上坡路，走了（
12+8
）千米的下坡路，
所以共用时间为：
（
12+8
）
÷
4+
（
1
2+8
）
÷
5+1=10(
小时
)
，邮递员是下午
7
+10-12=5(
时
)
回
到邮局的。
．
【例
2
】
（难度等
级
※）
甲
、乙两地相距
100
千米。下午
3
点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走
10
< br>千米；
晚上
9
点，一辆汽车从甲
地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时
最少要行驶多少千米？<
/p>
.
【分析与解】
马车从甲地到乙地需要
100
÷
10=10
小时，在汽车出发时，马车已
经走了
9-3=6(
小时
)
。依
题意，汽车必须在
10-6=4
小时内到达乙地，其每小时最少要行驶
100
÷
4=25(
千米
)
．
【例
3
】
（难度等级
※※）
小明每天早晨
6
：
50
从家出发，
7
：
20
到校，老师要
求他明天提早
6
分钟到校。如果小明明
天早晨还是
6
：
50
< br>从家出发，那么，每分钟必须比往常多走
25
米才能按老
师的要求准时到
校。问：小明家到学校多远？（第六届《小数报》数学竞赛初赛题第
1
题）
【分析与解】
原来花时间是
30
分钟，后来提前
6
分钟，就是路上要花时间为
24
分钟。这时每分钟
必须多走
25
米，
所以总共
多走了
24
×
25=600
米，
而这和
30
分钟时间
里，
后
6
分钟走
的路程是一样的，所以原来每分钟走
600
÷
6=100
米。总路程就是
=100
< br>×
30=3000
米。
【例
4
】<
/p>
（难度等级
※）
韩雪的家距离学校
480
米，
原计划
7
点
40
从家出发
8<
/p>
点可到校，
现在还是按原时间离开家，
不
过每分钟比原来多走
16
米，那么韩雪几点就可到校？
【分析与解】
原来
韩雪到校所用的时间为
20
分钟，速度为：
480
÷
20=24
（米
/
分）
，现在每分钟比原来多
< br>走
16
米，即现在的速度为
24
+16=40
（米
/
分）
，那么现在上学所用的时间为：
480
÷
40=12
（分钟）
，
7
点
40
分从家出发，
< br>12
分钟后，即
7
点
52
分可到学校．
改
变
教
育，从
改
变
关
系
开
始
！
- 2 -
许老师奥数
【例
5
】
（难度等级
※※）
王师傅驾车从甲地
开往乙地交货
.
如果他往返都以每小时
60
千米的速度行驶
,
正好可以按时<
/p>
返回甲地
.
可是
,
当到达乙地时
,
他发现从甲地到乙地
的速度只有每小时
50
千米
.
如果他想按
时返回甲地
,
他应以多大的速度往回开
?
【分析与解】
假设甲地到乙地的路
程为
300,
那么按时的往返一次需时间
300
÷
60
×
2=10
（小时）
,
现在从
甲到乙花费了时间
300
÷
< br>50=6
（小时）
,
所以从乙地
返回到甲地时所需的时间只能是
10-6=4
（小时）
.
即如果他想按时返回甲地
,
< br>他应以
300
÷
4=75
（千米
/
时）的速度往回开．
【例
6
< br>】
（难度等级
※※）
刘老师骑电动车从学校到韩丁
家家访，
以
10
千米
< br>/
时的速度行进，
下午
1
点到；
以
15
千米<
/p>
/
时的速度行进，上午
11
点到
.
如果希望中午
12<
/p>
点到，那么应以怎样的速度行进？
【分析与解】
这道题没有出发时
间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎
无法求速度
.
这就需要通过已知条件，求出时间和路程
.
假设有
A
，
B
两人同时从学校出发到韩丁家，
A
每小
时行
10
千米，下午
1
点到；
B
每小时行
15
千米，上午
11
点到
.B
到韩丁家时，
A
距韩丁家还有
10
×
2=20
（
千米）
，这
20
千米是
B
从学校到韩丁家这段时间
B
比
A
多行的路程
.
因为
B
比
A
每小时多行
15-10=5
（千米）
，
所以
B
从学校到韩丁家所用的时间是
20
÷
（<
/p>
15-10
）
=4
（时）
.
由此知，
A
，
B
是上午
7
点出发的，
学校离韩丁家的距离是
15
×
4=60
（千米）
.
刘老师要想中午
12
点到，即想（
12-7=
）
5
时行
60
千米，刘老师骑车的速度应为
60
÷（
12-7
）
=12
（千米
/
时）
．
【例
7
】
（难度等级
※※※）
小红上山时每走
30
分钟休息
10
分钟，
下山时每走
30
分钟休息
5
分钟
.
已知小红下山的速
度是上山速度的
2
倍，如果上山用了
3
时
50
分，那么下山用了多少时间？<
/p>
【分析与解】
上山用了
3
时
50
< br>分，即
60
×
3+50=230
（分）
，由
230
÷（
30+10
）
=5
……
30
，得到上山休息
了
5
次，走了
230-10
×
5=180
（分）
.<
/p>
因为下山的速度是上山的
2
倍，所以下山
走了
180
÷
2=90
（分）
.
由
90
÷
30=3
知，下山途中休息了
2
次，所以下山共用
90+5
×<
/p>
2=100
（分）
=1
< br>时
40
分
.
【例
8
】<
/p>
（难度等级
※※※）
老王开汽车从
A
到
B
为平地（见右图）<
/p>
，车速是
30
千米／时；从
B
到
C
为上山路，车速是<
/p>
22.5
千米／时；
从
< br>C
到
D
为下山路，车速是
36
千米／时
.
已
知下山路是上山路的
2
倍，从
A
到
D
全程为
72
千
米，老王开车从
A
到
D
共需要多少时间？
【分析与解】
设上山路为
x
千米，下山路为
2x
千
米，则上下山的平均速度是：
（
x+2x
）÷（
x
÷
22.5+2x
÷
36
）
=30
（千米
/
时）
，正好
是平地的速度，所以行
AD
总路程的平均速度就是
30
千米
/
时，
与平地路程的长短无关
.
因此共需要
72
÷
30
＝
2.4
（时）
．
改
变
教
育，从
改
变
关
系
开
始
！
- 3 -
许老师奥数
【例
9
】<
/p>
（难度等级
※※※）
汽车以
72
千米
/
时的速度从甲地到乙地
，
到达后立即以
48
千米
/
时的速度返回甲地。
求该车
的平均速度。
【分析与解】
想求汽车的平均速度
=
汽车行驶的全程÷总
时间
，在这道题目中如果我们知道汽车行驶的
全程，进而就能求出总时间，那么问题就迎刃而解了。在此我们不妨采用“特殊值”法，
这是奥数里面非常重要的一种思想，在很多题目中都有应用。①把甲、乙两地的距离视为
1
千米，总时间为：
1
÷
72+1
÷
48
，
平均速度
=2
÷（
1
< br>÷
72+1
÷
48
）
=57.6
千米
/
时。
②我们发
现①
中的取值在计算过程中不太方便，我们可不可以找到一个比较好计算的数呢？在此我
们可
以把甲、乙两地的距离视为
[72
，
4
8]=144
千米，这样计算时间时就好计算一些，平均
速度<
/p>
=144
×
2
÷
（
144
÷
72+144
÷
48
）
=57.6
千米
/
时。
【例
10
】
（难度等级
※※）
A
D
如图，
从
A
到
B
是
12
千米
下坡路，
从
B
到
C
是
8
千米平
路，
从
C
到
D
是
4
千米上坡路
.
小张步行，
下坡的速度都
B
是
6
千米
/
小时，平路速度都是
4
千米
< br>/
小时，上坡速度
都是
2
千米
/
小时
.
问小张从
A
到
D
的平均速度是多少
?
【分析与解】
从
A
到
B
的时间为：
12
÷
6=2
（小时）<
/p>
，从
B
到
C
的时间为：
8
÷
4
=2
（小时）
，从
C
< br>到
D
的时间为：
4
÷
2=2
（
小时）
，
从
A
到
D
的总时间为：
2+2+2=6
（
小时）
，
总路程为：
12+8+4=24
（千米）
，那么从
A
到
D
的平均速度为：
24
÷
6=4
（千米
/
时）
．
C
【例
11
】
（难度等级
※※）
有一座桥，
< br>过桥需要先上坡，
再走一段平路，
最后下坡，
并且上坡、
平路及下坡的路程相等。
某人骑自行车
过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为
4
米
/
秒、
6
米
< br>/
秒和
8
米
/
秒，求他
过桥的平均速度。
【分析与解】
< br>假设上坡、走平路及下坡的路程均为
24
米，那么总时间
为：
24
÷
4+24
< br>÷
6+24
÷
8=13
（秒）
，
过桥的平均速度为
．
7
（米
/
秒）
24
?
3
?
13
?
5
13
【例
12
】
（难度等级
※※※）
汽车往返于
A
，
B
两地，去时速度为
40
千米／时，要想来回的平均速度为
48
千米／时，回
来时的速度应为多少？
【分析与解】
假设
AB
两地之间的距离为
480
÷
2=240
千米，那么总时间
=4
80
÷
48=10
（小时）
，回来时的
速度
=240
÷（
10-240
÷
40
）
=60
（千米
/
时）
．
改
变
教
育，从
改
变
关
系
开
始
！
- 4 -
许老师奥数
【例
13
】
（难度等级
※※※）
有一座桥，<
/p>
过桥需要先上坡，
再走一段平路，
最后下
坡，
并且上坡、
平路及下坡的路程相等
.
某人骑电动车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为
11
米／秒、
22
米／秒和
33
米／
秒，求他过桥的平均速度
..
【分析与解】
假设上坡、
平路及下坡的路程均为
66
米，那么总时间
=66
÷
11+66
÷
22+66
÷
33=6+3+2=11
（秒）
，过桥的平均速度
=66
< br>×
3
÷
11=18
（米
/
秒）
【例
14
】
（难度等级
※※※）
一只蚂蚁沿等边三角形的三
条边由
A
点开始爬行一周
.
在三条边上它每
分钟分别爬行
50cm
，
20cm
，
40cm
（如右图）
.
它爬行一周平均每分钟爬
行
多少厘米？
【分析与解】
假
设
每
条
边
长
为
200
厘
米
，
则
总
时<
/p>
间
=200
÷
5
0+200
÷
20+200
÷
40=4+10+5=19
（分钟）
，爬行一周
的平均速度
=200
×
3
÷
19=
31
11
（厘米
/
分钟）
.
19
【例
1
5
】
（难度等级
※※※）
甲、乙两地相距
6
千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行
80
米，后一半
时间平均每分钟行
70
米
.
问他走后一半路程用了多
少分钟？
【分析与解】
全程的平均速度是每分钟（
80+70
）÷
2=75
米，走完全程的时间是
6000/7
5=80
分钟，走前
一半路程速度一定是
80
米，
时间是
3000
÷
80=37.5
分钟，
后一半路程时间是
80-37.5=42.5
分钟．
改
变
教
育，从
改
变
关
系
开
始
！
- 5 -
许老师奥数
第二讲
相遇与追及
【专题知识点概述】
在今天这节课中
，我们来研究行程问题中的相遇与追及问题．这一讲就是
通过例题加深对行程问题三个基
本数量关系的理解，使学生养成画图解决问题
的好习惯！
在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相
遇问题和追及问题
.
一、相遇
甲从
A
地到
B
地，
乙从
B
地
到
A
地，
然后两人在途中相遇，
实质上是甲
和乙一起走了
A,B
之间这段路程，如果两人同时出发，那么
相遇路程
=
甲走的路程
+
乙走的路程
=
甲的速度×相遇时间
+
乙的速度×相遇时间
=
（甲的速度
+
乙的速度）
×相遇时间
=
速度和×相遇时间
.
一般地，相遇问题的关系式为：速度和
×
相遇时间<
/p>
=
路程和，即
二、追及
有两个人同时行走，一个走
得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的
过了一些时间就能追上他
.
这就产生了
“追及问题”
.
实质上，
要算走得快的人在
某一段时间
内，
比走得慢的人多走的路程，
也就是要计算两人走的路程之差
（追
及路程）
.
如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：
追及路程
=
甲走的路程
-
乙走的路程
=
甲的速度
×追及时间
-
乙的速度×追及时间
<
/p>
=
（甲的速度
-
乙的速度）×追及时间
=
速度差×追及时间
.
一般地，
追击问题有这样的数量关系：
追及路程<
/p>
=
速度差×追及时间，
即
改
变
教
育，从
改
变
关
系
开
始
！
- 6 -
S
差
?
v
差
t
-铿锵
-铿锵
-铿锵
-铿锵
-铿锵
-铿锵
-铿锵
-铿锵
-
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