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2017
年北京市高考文科数学试卷逐题解析
数学（文）
（
北京卷
）
本试卷共
5
页，<
/p>
150
分。考试时长
120
分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷
上作答无效。考试结束后，将本
试卷的答题卡一并交回。
第一部分（选择题共
40
分）
一、选择题
1.
已知全集
U
?
R
< br>，集合
A
?
{
< br>x
|
x
?
?
2
或
x
?
2}
，则
C
U
A
?
A.
?
?<
/p>
2,2
?
C.
?
?
2,2
?
B.
?
??
,
?
2
?
U
?
2,
??
?
D.
?
??
,
?
2
?
U
?
2,
??
?
【答案】
C
【解析】
?
A
?
?
x
|
x
?
?
2
或
x
?
2
?
=
?
??
,2
?
?
?
2,
??
?
，
?
C
U
A
?
?
< br>?
2,2
?
，故选
C
.
2.
若复数
?
1
?
i
??
a
?
i
?
在复平面内对应的点在第二象限，则实数
a
的
取值范围是
A.
?<
/p>
??
,1
?
<
/p>
C.
?
1
,+<
/p>
?
?
B.
?
??
,
?
1
?
D.
?
?
1
,+
?
?
【答案】
B
【解析】
?
(1
?
i
)(
a
?
i
)
?
a
?
1
?
(1
?<
/p>
a
)
i
在第二象
限
.
?
a
?
1
?
0
?
?
得
a
?
?
1
.
故选
B
.
?
1
?
a
?
0
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3.
执行如图所示的程序框图，输出的
s
值为
A.
2
3
B.
2
5
C.
<
/p>
3
8
D
.
5
【答案】
C
2
【解析】
k
?
0,
S
?
1
.
k
?
3
成立，
k
?
1
，
S
?
=2
.
1
3
+1
5
2
=
2+1
3
S
?
=
.
k
?
3
成立，
k
?
3
，
k
?
3
成立，
k
?
2
，
S
?
3
3
.
2
2
2
5
S
?
k
?
3
不成立，输出
.
故选
C
.
3
?
x
?
3
?
4
.
若
x
,
y
满足
?
x
?
y
?
2
，则
x
?
2
y
的最大值为
?
< br>y
?
x
?
A.
1
C.
5
B.
3
D.
9
【答案】
D
1
z
【解析】
设
z
?
x
?
2
y
，
则
y
?
?
x
?
，
当该直线过
?
3,3
?
时，
z
最<
/p>
2
2
大
.
?
当
x
?
3,
y
?
3
时，
z
取得最大值
9
，故选
D
.
2
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1
x
5.
已知函数
f
(
x
)
?
3
?
(
)
，则
f
(
x
)
3
x
A.
是偶
函数，且在
R
上是增函数
B.
是奇函数，且在
R
上
是增函数
C.
是偶函数，且在
R
上是减函数
D.
是奇函数，且在
R
上是减函数
【答案】
B
1
?
x
1
x
?
x
x
【解析】
f
(
?
x
)
?
3
< br>?
(
)
?
(
)
?
3
?
?
f
(
x
)
且定义域为
R
.
3
3
1
x
y
?
(
)
在
R
上单调递减
?
f
(
x
)
为奇函数
.
?
y
?
3
在
R
上单调递增，
3
x
1<
/p>
?
y
?
?
(
)
x
在
R
上单调递增
.
3
1
?
f
(
x
)
?
3
x
?
(
)
< br>x
在
R
上单调递增，故选
B
.
3
6.
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A.
60
B.
30
C.
20
D.
10
3
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【答案】
D
【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如下：
S
?
ABC
1
1
?
V
S
?
ABC
?
?
?
3
< br>?
5
?
4
?
10
，故选
D
.
3
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
7.
设
m
,
n
为非零向量，
则
“
存在负数
?
，
使得
m
?
?
n
”
是
“
m
?<
/p>
n
?
0
”
的
A.
充分而不必要条件
C.
充分必要条件
【答案】
A
?
?
?
?
?<
/p>
?
【解析】
?
存
在负数
?
，使得
m
?
?
n
，且
m
,
n
为非零向量
< br>.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?<
/p>
?
m
与
n
方向相反
.
?
m<
/p>
?
n
?
|
m
|
?
|
n
|
?
cos
?
?
?
|
m
|
?
|
n
|
?
0
?
?
?
?
?
?
?
“存在负数
?
，使得
m
?
?
n
”是“
m
?
n
?
0
”的充分条件
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
若
m
?
n
?
0
，则
m
?
n
?
|
m
|
?
|
n
|
?
cos
?
?
0
，则
cos
< br>?
?
0
.
B.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件
?
?
?
?
?
?
(
,
< br>?
]
，
?
m
与
n
不一定反向
< br>.
2
?
?
?
?
不一定存在负数
?
，
使
m
?
?
n
.
故选
< br>A
?
8.
根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限
M
约为
3
361
，而可观测
4
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宇宙中普通物质的原子总数
N
约为
10
80
< br>.
则下列各数中与
是
（参考数据：
lg3
?
0.48
）
A.
10
33
C.
10
73
B.
10
53
D.
10
93
M
最接近的
N
【答案】
D
361
< br>M
3
【解析】
M
?
3
361
，
N
?
10
80
，
?
80
，两边取对数
N
10
M
3
361
lg
?
lg
80
?
lg3
36
1
?
lg10
80
?
361
?
lg3
?
80
?
93
N
10
M
< br>?
?
10
93
< br>
N
第二部分（非选择题共
11
0
分）
二、填空题共
6
小题，每小题
5
分，共
30
分
。
9
.
在平面直角坐标系
xOy
中，角
?
与角
?
均以
Ox
为始边，它们的终
边
关于
y
轴对称
.
若
sin
?
?
，则
sin
?
?
.
1
【答案】
3
1
3
【解析】根据题意得
?
?
?
?
?
?
2
k
?
,
k
?
Z
所以
sin
?
?
sin
?
?
1
3
y
2
10.
若双曲线
x
?
?
1
的离心率为
3
，则实数
m
?
m
2
.
5
<
/p>
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【答案】
2
【解析】根据题意得
a
2
?
1,
b
2
?
m
?
a
< br>2
?
b
2
?
c
2
?
且
?
c
，解得
m
?
2
?
e
?
?
3
?
a
11
.
已知
x
?
0,
y
?
0
，且
x
?
y
?
< br>1
，则
x
2
?
y
2
的取值范围是
?
1
< br>?
【答案】
?
,1
?
?
2
?
.
【解析】
?
x
?
0,
y
?
0,
x
?
y
?
1
?
x
?
?
0,1
?
1
?
1
?
?
x
?
y
?
x
< br>?
(1
?
x
)
?
2
x
?
2
x
?
1<
/p>
?
2
?
x
?
?
?
2
?
2
?
2
2
2
2
2
2
?
当
x
?
1
1
时，
x
2
?
y
2
取得最小值为
2
2
当
x
?<
/p>
0
或
x
?
1
时，
x
2
?
y
2
取得最大值为<
/p>
1
?
1
?
?
x
2
?
y
2
的取值范围为
?
,1
?
?
2
?
12.
已知点
P
在
圆
x
2
?
y<
/p>
2
?
1
上，点<
/p>
A
的坐标为
?
?
2,0
?
，
O
为原点，则
???
?
< br>???
?
AO
?
AP
的最大值为
_______.
【答案】
6
【解析】
?
点
P
在圆
x
2
?
y
2
?
1
上<
/p>
6
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设点
< br>P
坐标
?
x
0
,
y
0
?
，满足
x
0
2
?
y
0
2<
/p>
?
1
???<
/p>
?
???
?
??
?
?
???
?
AO
?
?
2,0
?
，
AP
?
?
x
0
?
2,
y
0
?
，
AO
?
AP
?
2
?
x
0
?
2
?
?
2
x
0
?
< br>4
???
?
< br>???
?
?
?
< br>1
?
x
0
?
1
，
2
?
AO
?
AP
?
6
???
?
???
?
?
A
O
?
AP
的最大值为
< br>6
13.
能够说明“设
a
,
b
,
c
是任意实数
.
若
a
?
b
?
c
，则
a
?
b
?
c
”是假命题
的一组整数
a
,
b
,
c
的值依次为
_
______.
【答案】
?
1
,
?
2,
?
3
【解析】取
a
,
b
,
c
分别为
?
1
,
?
2,
?
3
不满足
a
?
b
?
c
，故此命题为假命题
（此题答案不唯一）
14.
某学习小组由学生和教师组成，
人员构成同时
满足以下三个条件：
(i)
男学生人数多于女学生人数；
(ii )
女学生人数多于教师人数；
(iii)
教师人数的两倍多于男学生人数
.
①
若教师人数为
4
，则女学生人数的最大值为
_______
；
②该小组人数的最小值为
_______.
【答案】
6,12
< br>【解析】①若教师人数为
4
人，则男生人数小于
8
人，则男生人数最
多为
7
人，女生最多为
6
人。
②若教师人数为
1
人，
则男生人数少于
2
人，与已知矛盾
<
/p>
若教师人数为
2
人，则男生人数少于
4
人，与已知矛盾
7
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若教师人数为
3
人，
则男生人数少于
6
人，
则男生为
5
人，
女生
4
人。
所以小组人数最小值为
3
?
4
?
5
?
12<
/p>
人
三、解答题共
6
小题，共
80
分
< br>。解答应写出文字说明，演算步骤
或证明过程。
15.
（本小题
13
分）
已知等差数列
?
a
n
?
和等比数列
?
b
n
?
满足
a
1
?
< br>b
1
?
1
，
a
2
?
a
4
?
10
，<
/p>
b
2
b
4
?
a
5
.
（Ⅰ）求
?
a
n
?
的通项公式；
<
/p>
（Ⅱ）求和：
b
1
?
b
3
?
b
5
?
?
?
b
2
n
?
1
.
【解析】（Ⅰ）
设
?
a
n
?<
/p>
公差为
d
，
?<
/p>
b
n
?
公比为<
/p>
q
.
则
a
2
?
a
4
?
2
a
3
?
10
，即
a
3
?
5
.
故
a
3
?
a
1
?
2
d
?
5
?
1<
/p>
?
4
，即
d
?
2
.
?
a
n
?
1
?
2
?
n
?
1
?
?
2
n
?
1
(
n
?
N
*<
/p>
)
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
a
5
?
9
，即
b
2
b
4
?
9
，则
b
1
2
q
4<
/p>
?
9
，
q
2
?
3
.
?
?
b
n
?
为公比为
q
的等比数列<
/p>
.
?
b
1
,
b
3
?
b
5
?
?
,
b
2
n
?
1
构成首项为
1
，公比为
q
2
?
3
的等比数列
.
?
b
1
?
b
3
?
b
5
?
?
?
b
2
n
?
1
?
1
?
?<
/p>
1
?
3
n
?
1
?
3
3
n
?
1
(
n
?
N
*
)
.
?
2
16<
/p>
.
（本小题
13
分）
8
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