humans-顺藤摸瓜
题
41
E
、
F
是椭圆
点
P
?
l
（
）
，
x
y
右焦点，<
/p>
l
是椭圆的准线，
?
?
1
的左、
4
2
2
2
y
l
则
?
EP
F
的
最
大
值<
/p>
是
A
、
15
°
B
、
30
°
C
、
45
°
C
D
、<
/p>
60
°
（第十
三届高二培训题第
21
题）
解法
1
不
妨设
l
是右准线，点
P
在
x
轴上方（如图所示），
P
A
o
F
x
E
a
2
则
l
的方程为
x
?
?
2
2<
/p>
，故可设点
P
为
2
2,
y
c
?
?
?
y
?
0
?
，
y
图
1
P
记
?
EPF
?
?
，由
PE
到
PF
的角为
?
，得
tan
?
?
k
PF
?
k
PE
.
1
?
k
PF
?
k
PE
θ
E
O
F
D
l
又知
k
PF
y
y
y
y
，
代入上
?
?
,
k
PE
?
?
2
2
?
2
2
2
2
?
2
3
2
2
2
y
.
由
假
设
知
y
?<
/p>
0
，
所
以
2
y
?
6
x
式
并
化
简
，
得
tan
?
?
2
2
< br>y
3
?
?
?
?
，所以
?
的最大值为
30
°，当
y
P
?
6
时取得
tan
?
?
0,
?
?
?
0,
?
.
由基本不等式得
ta
n
?
?
3
2<
/p>
2
6
y
?
?
最大值
.
故选
B.
解法
2
如上图，设
?
EPD
?
?
,
?
FPD
?
?
，则
?
< br>?
?
?
?
,
tan
?
?
tan
?
?
?
?
?
?
2
2
?
2
2
2
?
2
?
tan
?
?
tan
?
2
2
2
2
2
2
3
y
y
?
?
< br>?
?
?
?
?
?
,
因为
?
?
?
0,
?
,
1
?
tan
?
?
tan
?
3
2
2
?
2
2
2
?
2
y
?
6
6
2
6
< br>?
2
?
1
?
?
2
y
?
y
y
y
y
所以
?
的最大值为
30
°
.
故选
B.
解法
3
由
?
EPF
面积的两种表示方法，
即
s
?
1
1<
/p>
EF
?
y
?
EP
FP
?
sin
?
，得
sin
?
?
2
2<
/p>
EF
y
EP
?<
/p>
FP
?
2
cy<
/p>
y
2
?
2
2
?
2
?
y
2
?
2
2
?
2
?
?
2
?
?
2
?
2
2
y<
/p>
y
4
?
20
y
2
?
36
?
2
2
36
y
2
?
2
?
20
y
?
2
2
36
< br>2
y
2
?
2
?
20
y
?
2
2
1
?
，因为
?
为锐角，所以
?
的最大值为
30
°
.
故选
B.
4
2
2
1
解法
4
依题意，经过
E
、
F
且与椭圆的准线
l
相切于点
P
的圆，使
?
EP
F
最大
.
如图
1
，不妨设
l
是右
a
2
准线，
点
P
在
x
轴上方，
< br>则准线方程为
x
?
?
2
2
，
易得圆心
C
的坐标为
0,
6
，
因此点
P
2
2,
6
c
?
?
?
?
使
?
EPF
最大
.
又
PE
、
PF
的斜率分别为
?
3
?<
/p>
?
、
3
，设准线
l
?
x
轴于点
A
，则
?
PE
A
?
30
,
?
PFA
?
60
，
3
此时
?
E
PF
?
30
.
故选
B.
评析
< br>一般说来，要求某个角的最值，常常先求出此角的某一三角函数的最值
.
然后根据角所在范围内
此三角函数的单调性确定角的最值
.
解法
1
运用到角公式与基
本不等式求出了
?
EPF
正切的最大值
，又利用
?
为锐角时
tan
?
单调增，求
出了
?
EPF
的最大值
.
解法
2
将
?
表
示成两角差，并利用基本不等式求出了
tan
?
的最大值，进而求出
?
的
最大
值
.
而解法
3
利用同一三角形面积的两种不同表示方法
,
求出了
sin
?
的最大值
,
再由
sin
?
在
?
0,
?
?
?
?
上
2
?
?
单调增
,
求出了
?
的最大值
.
此法颇有新意
.
解法
4
则利用平几中
“
同弧所对的圆周角
总大于圆外角
”
巧妙地解
决问题
.
我们知道，平面解析几何研究的就是平面几何问题，只不过所用研
究方法是代数方法，即解析法而已
.
解法
4
告诉我们，若能直接运用平几中的结论解决解析几何问题，常可收到化繁为简的效果
.
拓展
经研究，我们还可得到下面的
x
2
y
2
定理
若点
P
在过椭圆
2
?
2
?
1
的长轴的一个端点的切线
l
上移
a
b
动，则当点
P
到长轴的距离等于半短轴长时，点
P
与两焦点连线的夹角
?
取得最大值
arcsin
e
.
证明
如图
2
，
不妨设
a
?
b
?
0,
l
的方程为
x
?
a
，
则以椭圆的上顶
点
Q
为圆心，且过焦
点
E
、
F
的圆必与
l
相切（设切点为
P
ˊ）（因为
E
Q
y
l
P
’
F
A
QF
?
Q
P
?
?
a
）根
据同圆
Q
的弦
EF
所对的圆周角总大于圆外角，可
知
o
图
2
x
?
EP
?
F
就<
/p>
是
最
大
的
?
，
此
时
P
?
?
,
a
?
b
，
又
E
?
?
,
C
?
0
?<
/p>
,
F
?
b
C
P
,
??
?
0
k
,
a
?
c
< br>,
k
P
?
F
?
k
?
k
P
?
E
b
.tan
?
EP
?
F
?
P
?
F
a
?
c
1
?
k
P
?
F
k
P
< br>?
E
c
b
2
?
c
2
?
b
b
?
2
bc
2
bc
c
?
a
?
c
a
?
c
?
2
2
?
?
< br>,
2
2
b
b
a
?
c
?
b
2
b
b
1
?
a
?
c
a
?
c
sin
?
EP
?
F
?
练习
c
?
e
< br>,
??
EP
?
< br>F
?
arcsin
e
.
原命题得证
.
a
1
．
在直线
x
?
y
?
2
?
0
上求一点
P
，使它与点
A
?
?
1,1
?
,
B
?
1,
1
?
连线的夹角
?
APB
最大
.
2
．
足球比
赛场地宽为
m
米，球门宽为
n
米，在足球比赛中，甲方边锋带球过人沿边线直进，试问该
2
边锋在距乙方底线多远处起脚射
门，能使命中角最大？最大角是多少？
答案
1.
P
?
1,
?
1
?
,
?
A
PB
?
45
?
2.
1
n
m
2
?
n
2
米
,arcsin
2
m
x
2
y
2
题
42
椭
圆
2
?
2
?<
/p>
1
?
a
?
b
?
0
?
的两焦点是
F
1
、
F
2
，
M
为椭圆上与
F
1
、
F
2
不共线的任意一点，
I
a
b
为
?
MF
1
F
2
的内心，延长
MI
交线段
F
1
F
2
< br>于点
N
，则
MI
:
IN
的值等于
( )
A
、
a
a
b
c
B
、
C
、
D
、
b
c
c
a
（第十三届高二培训题第
19
题）
解法
1
如图<
/p>
1
，设点
M
的坐
标为
?
x
,
y
?
，
?
MF<
/p>
1
F
2
的内切<
/p>
圆半径为
r
，
S
?
MF
1
F<
/p>
2
?
y
M
I
F
1
O N
F
2
x
S
?
MF
1
F
2
1
F
1
F
2
?
y
?
c
y
,
又
< br>2
1
1
?
?
MF
1
?
MF
2
?
F
1
F
2
?
r
?
?
2
a
?
2
c
?
r
2
2
y
< br>r
?
y
?
r
a
a
?
c
?
，
，
c
r
c
?
?
a
?
c
?
r
.
?
c
< br>y
?
?
a
?
c
?
r
，
图
1
y
M
I
F
1
O
N
F
2
x <
/p>
?
MI
:
IM<
/p>
?
a
.
故选
B.
c
解法
2
如图
2
，不
妨令
M
为椭圆与
y
轴的正半轴的交点
.
由
已知，
I
必在线段
MO
上
，且
N
与
O
重
合
.
?
I
为<
/p>
?
MF
1
F
2
的内心，
a
?<
/p>
?
?
?
.
故选
B.
IN
IO
OF
2
c
评析
按常规，可设
< br>M
?
x
,
y
??
y
?
0
?
,
然后求出
?
F
1
MF
2
与
MI
MI
MF
2
图
2
的平分线的方程，
解方程组求出点
I
的
坐标，
令
?
F
1
MF
2
平分线的方程中的
y
?
0
，
?
MF
1
F
< br>2
（或
?
MF
< br>2
F
1
）
得点
N
的坐标，
再求出
MI
与
IN
.
求比值时如何消去
x
，
y<
/p>
还不得而知，
其复杂程度也是完全可以想象的
.
作为一个选择题，轻易地这样去解显然是不可取的
.
解法
1
灵活运用平面几何等知识巧妙地解决了问题
.
解法
2
更是抓住了选择题的本质特征，
运用特殊化
思想，轻而易举地解决了问题
.
由题意，不
论点
M
在椭圆上的何种位置（只要与
F
1
、
F
2
不共线即可），
MI
:
IN
的值总是定值，
即结论对一般情形成立，
故对其中的特殊情形
M
为椭圆与正半
y
轴的交点时也应
当成立，从而排除特殊情形下不成立
的选择支，进而得出正确答案
.
充分显示了运用特殊化思想解某
些选择
题的优越性
.
拓展
对此题作研究，可得下面的
x
2
y
2
定理
1
设
F
1
、
F
2
是椭圆
C
:
2
?
2
?
< br>1
?
a
?
b
?
0
?
的
左，
右焦点，
点
P
在此椭圆上，
且点
P
、
F
1
、
a
b
3
< br>F
2
不共线，椭圆的离心率为
e
，则
（
1<
/p>
）
?
PF
1
F
2
的内心内分
?
F
1
PF
2<
/p>
的平分线
PM
所成的比是定值
1
.
e
（
2
）
?
PF
1
F
2
的与边
PF
1
?
PF
2
?
相切的旁切圆的圆心横坐标为定值
?
a
?
a
?
；
?
PF
1
F
2
的与边
F
1
F
2
相
切
的旁切圆的圆心外分
?
F
1
PF
2
的平分线
PQ
的比为定值
?
1
.
e
（
3<
/p>
）由焦点向
?
PF
1
F
2
的
?
F
1
PF
2<
/p>
的外角平分线作垂线，垂足必在以坐标原点为圆心，
a
为半径的圆
上
.
证明
（
1
）
如图
3
，<
/p>
设
I
为
?
PF
1
F
2
的内心，
连接
F
1
I
、
y
P
I
F
2
I<
/p>
，
则
在
?
F
1
PM
及
?
F
2
PM
中
由
角
平
分
线
定
理
得
PI
IM
PI
< br>IM
?
F
1
P
F
1
M
?
F
2
P
F<
/p>
2
M
?
，
所
以
F
1
O
M
F
2
x <
/p>
?
F
1
P
?
F
2
P
F
1
M
?
F
2
M
2
a
1
?
.
2
c
e
图
3
（
2
）如图
4
，设旁切圆圆心为
I
?
x
0
,
y
0
?
，
M
、
N
、
R
为切
N
点，则
PN
?
PM
，
F
1
M
?
F
1<
/p>
R
，
I
.
P
M
y
F
2
R
?
F
2
N
?
c
?
x
0
?
F
2
P
?
PM
?
c
?
x
0
?
F
1
M
?
F
2
P<
/p>
?
PM
?
F
1
M
?
PF
2
?
PF
1
?
2
a
?
c
?
x
0
< br>?
F
1
R
?
2
a
?
c
?
x
0
?
c
?
x
0
?
2
a
R
F
1
O
F
2
x <
/p>
?
x
0
?
?
a
为定值
.
同样的方法可以证明与
?
PF
1
F
2
的边
PF
2
相切的旁
切圆的圆心
横坐标为定值
a
.
如
图
5
，
设
PQ
交
F
1
F
2
与
< br>R
.
由
外
角
平
分
线
定
理
得
F
1
图
4
P
y
R
O
F
2
x <
/p>
PQ
QR
PQ
?
PF
1
F
1<
/p>
R
?
PF
2
F
2
R
,
由
合
比
定
理
得
y
P
Q
B
2
a
1
PQ
1
?<
/p>
?
?
，
?
?
?
.
QR
F
1
R
?
F
2
R
2
c
e
QR
e
< br>（
3
）如图
6
< br>，过
F
2
作
?
F
1
PF
2
的外角平分线的垂线，
A
为
F
1
PF
1
?
PF
2
图
5
O
A
F
2
x
4
图
6
垂足，
延长
F
2
A
交
F<
/p>
1
P
的延长线于
B
，
则
PF
2
?
PB
，
F<
/p>
2
A
?
AB
.
由椭圆定义可知
PF
1
?
PF
2
?
2
a
，
故
F
1
B
?
PF
1
?
PB
?
PF
1
?
PF
2
?
2
a
.
又
F
1
O
?
< br>OF
2
，
?
OA
∥
F
1
B
且
OA
?
1
F
1
B
，<
/p>
所
以
2
OA
?
a
.
?
垂足
A
在以
O
点为圆心，
a
为半径的圆上
.
若将定理
1
中的椭圆该为双曲
线，又得
x
2
y
2
定理
2
设
F
1
、
F
2
是双曲线
C<
/p>
:
2
?
2
?
1
?
a
?
b
?
0
?
的两个焦点，
点
P
在此双曲线上，
且点
P
、
F
1
、
a<
/p>
b
F
2
不共线，
双曲线的离心率为
e
，则
（
1
）
?
PF
1
F
2
的内心横坐标是定值，
且当点
P
在左支上时，
定值为
?<
/p>
a
；
当点在右支上时，
< br>定
值为
a
.
（
2
）
?
PF
1
F
2
的与边
PF
1
（或与边
PF
2
）
相切的旁切圆的圆心分
?
F
1
PF
2
的外角平分线
P
M
的比为
定值
1
；
?
PF
1
F
2
的与边
F
1
F
2
相切的旁切圆的圆心横坐标为常
数（当点
P
在右支上时常数为
e
?
a
；当点
P
在左支上时，常数为
a
）
.
（
3
）
由焦点向
?
PF
1
F
2
的
?
F
1
PF
2
的平分线作垂线，垂足必在以坐标原点为圆心，
a
为半径的圆上
.
读者可仿照定
理
1
的证明，证明定理
2.
题
43
过
椭圆左焦点
F
作直线交椭圆于
A
、
B
两点，
若
AF
:
BF
?
2
:
3
，
且直线与长轴的夹角为
则椭圆的离心率为
（
）
A
、
?
，
4
2
1
B
、
5
5
B
’
M
y
B
y
B
C
、
F
O
A
’
A
（第十一届高二第一试第
8
题）
解
法
1
由
3
2
D
、
5
5
x
A
F
O
x
AF
AA
'
?
BF
BB
'
?
e
及
图
1
图
2
AF
：
BF
?
2
：，
3
得
‘
AA
：
BB
’
?
2
：
3.
如
图
1
，
过
A
作
AM
?
B
B
?
< br>于
M,
则
1
AA
?
BM
AF
< br>2
2
1
5
2
’
?
2
?
.
由
?
得
e
?
.
故
BM
?
AA
，
AB
?
AF
，
?
MBA
?
45
.
?
?
，
'
5
5
AB
2
2
2
< br>2
AA
AF
2
< br>选
B.
5
x
2<
/p>
y
2
解法
2
设椭圆
2
?
2
?
1
（
a
?
b
?
0
）
< br>，
a
b
A
（
x
1
,
y
1
）
,
B
(
x
2
,
y
2
),
则
AF
?
a
?
ex
1
,
BF
?
a
?
< br>ex
2
,
BF
< br>?
AF
?
e
(
x
2
?
x
1
)
①，
BF
?
2
：<
/p>
3
②，由①、②得
BF
?
3
e
(
x
2
?
x
1
),
AF
?
2
e
(
x
2
?
x
1
),
又
AF
：
AB
?
AF
?
BF
?
5
e
(
x
2
?
x
1
)
③
．
又
AB
与
长
轴
夹
角
为
?
4
，
所
以
k
AB
?
y
2
?
y
1
?
1,
y
2
?
y
< br>1
?
x
2
?
x
1
,
A
B
?
2(
y
2
?
y
1
)
?
2(
x
2
?
x
1
)
④
.
由③、④得
x
2
?
x
1
2
5
.
故选
B.
5
e
(
x
2
?
x
1
)
?
2
(
x
2
?
x
1
)
,
?
e
?
评析
解法
1
是运用椭圆第二定义求离心率
e
的
,
AA
?
与
BM
及
BM
与
AB
的关系沟通了
A
A
?
与
AF
的关系
,
也是用此法解题的关键所在．
解法
2
则先设出椭圆方程及
A
、
B
的坐标，运用焦半径公式带出
BF
?
2
：
3
解
出
AF
< br>与
BF
,
由
AB
与
长
轴
夹
角
为
45
?
得
e
，
由
BF
?
AF
?
e
(
x
2
?
x
1
)
及
AF
：
y
2
?
y
1
?
x
2
?
x
1
,
又
由
弦
长
公
式<
/p>
求
出
AB
，
同
为
AB
，
得
5
e
(
x
2
?
x
1
)
?
2
(
x
2
?
x
1
)
，从而
e
?
2
，是典型的运用方程思想
5
l
A
’
F
B
’
B
y
A
解题的实例．
拓展
以此
题为背景，对于椭圆、双曲线、抛物线有以下一般结
论．
O
C
x
x
2
y
2
命题
1
如图<
/p>
3
，过椭圆
2
?
2
?
1
的焦点
F
作直线交椭圆于
a
< br>b
A
、
B
两点，若
AF
?
m
< br>,
BF
?
n
，直线与长轴的夹角为
?
，椭圆
的
离心率为
e,
则有
cos
?
?
图
3
m
?
n
．
e
(
m
?
n
)
证明
设直线过椭圆的左焦点，
过
A
、
B
作相应准线
l
的垂线
A
A
?
和
B
B
?
，
A
?
和
B
?
< br>为垂足．
过
A
作
B
B
?
的垂线与
B
?
B
的延长线交于点
C
，则
?
ABC<
/p>
?
?
．由椭圆定义，可知
AF
:
A
A
< br>?
=
BF
:
BB
?
?
e
.
?
AA
?
?
m
n
m<
/p>
?
n
．在
Rt<
/p>
?
ABC
中，
,
BB
?<
/p>
?
．于是
BC
?
A
A
?
?
B
B
?
?
e
e
e
6
cos
?
ABC
?
cos
?
?
m
?
n
．当直线过右焦点时，证法与上相同．又由于
?
为直线与长轴的夹角，
e
(
m
?
n
)
m<
/p>
?
n
．
e
(
m
?
n
)
y
A
F
B
O
x
?
cos
?
?
0
.
故<
/p>
cos
?
?
x<
/p>
2
y
2
命题
2
如图
4
，过双曲线
2
?<
/p>
2
?
1
的焦点<
/p>
F
作直线与双曲线
a
b
中的
一支交于
A
、
B
两点，若
AF
?
m
,
BF
?
n
，且直线与实轴的夹
角为
?
，
双
曲线的离心率为
e,
则有
cos
?
?
m
?
n
．
e
(
m
?
n
)
图
4
y
B
O
A
F
x
x
2
y
2
命题
3<
/p>
如图
5
，过双曲线
2
?
2
?
1
的焦点
F
作直线与双曲线
a
b
< br>的
两支分别交于
A
、
B
两点，若
AF
?
m
,
BF
?
n
，且直线与实轴的夹角
为
?
，双曲线的离心率为
e,
则有
cos
?
?
2
m
?
n
．
e
(
m
?
n
)
图
5
y
A
命题
4
如图
6
，过
抛物线
y
?
2
px
的焦点
F
作直线与抛物线交于
A
、
B
两点，若<
/p>
AF
=
m
,
BF
?
n
，且直线
与抛物线的对称轴的夹角为
?
，则有
m
?
n
．
cos
?
?
m
?
n
命题
2
、
3
、
4
的证明与命题
1
的证明类似，留给读者完成．
对于焦点在
y
轴
上的圆锥曲线与过焦点的直线交于两点，
弦被焦点分成的两段
O
F
B
x
图
6
m
、<
/p>
n
与圆锥曲线的离心率
e
及直线和
y
轴的夹角
?
之间仍有上述关系成立．
运用上述命题可得本题如下解答：
令
AF
?
m
?<
/p>
2
t
,
BF
?
n
?
3
t
(
t
?
0),cos
?
?
m
?
n
2
t
?
3
t
1
?
?
，
e
(
m
?
n
)
e
(2
t
?
3
t
)
5
e
?
?
?
?
4
,
?
2
2
1
?
< br>,
e
?
．
2
5
5
e
请读者完成下面两题：
2
1
．过抛物线
y
?
3
x
的焦点
F
的直线与抛物线相交于
A
、
< br>B
两点．
AF
：
BF
=3
：
1
．求该直线的方
7
程．（答案：
y
?
?
3
(
x
?<
/p>
)
）
3
4
y
2
2
．
过双曲线
x
?<
/p>
求
AF
1
:
BF
1
的
?
1
的左焦点
F
1
作倾斜角为
30
?
的直线与双曲线交于
A
、
B
两点，
3
2
值．（答案：
2
?
3
）
题
44
如果点
A
的
坐标为
(1,1)
，
F
1
是椭圆
5
x
?
9
y
?
45
的左焦点，点
P
是椭圆上的动
点，则
2
2
PA
?
PF
1
的最小值为
_________________.
（第十一届高二培训题第
66
题）
x
2
y
2
解
己
知
椭
圆
< br>方
程
可
化
为
?
?
1
，
其
半
长
轴
长
a
?
3
，
由
椭
圆
定
义
，
可
< br>得
9
5
6
?
2
a
?
P
F
1
?
PF
2
?
PF
1
?<
/p>
PA
?
AF
2<
/p>
,
?
PA
?
PF
1
?
6
?
AF
2
，
?
右
焦
点
F
2
的
坐
< br>标
为
(
2
,
0
),
?
AF
2
?
1
?
1
?
2
,
?
(
PA
?
PF
1
)
m
in
?
6
?
2
，（此时
P
,
A
,
F
2
共线，且
A
在
P
,
F
2
之间）
.
评析
此题运用了
椭圆定义及
PA
?
PF
1
?
AF
1
< br>，体现了二次曲线的定义在解题中的作用
.
如果将此题
改为求
PA
?
PF
1
的最大值，又如何解答呢？设
PA
?
PF
1
?
t
(
t
?
0<
/p>
)
，则
t
?
PA
?
PF
2
?
(
PF
1
?
PF
2
)
?
PA
?
PF
2
?
6
?
AF
2
?
6
?
6
?
2,
?
(
PA
?
PF
1
)
max
?
6
?
2
（此时
P
、
F
2
、
A
共
线且
F
2
在
P
、
A
之间）
.
拓展
此题可作如下推广：
x
2
y
2
推广
1
如果
< br>A
是椭圆
2
?
< br>2
?
1(
a
?
b
?
0)
内的定点，则
a
b
(
PA
?
PF
1
)
m
ax
< br>?
2
a
?
AF
2
,
(
PA
?
PF
1
)
m
in
?
2
a
?
AF
2<
/p>
.
证
明
由
椭
圆
定
义
，
得
PF
1
?
2
a
?
PF
2
，
则
PA
?
PF
1
?
2
< br>a
?
(
PA
?
PF
2
)
?
2
a
?
A
F
2
，
又
PA
?
PF
1
?<
/p>
2
a
?
(
PF
2
?
PA
)
?
2
a
?
AF
2
，
故
当
P
在
< br>AF
2
的
延
长
线
上
时
，
(
PA
?
P
F
1
)
m
ax
?
2
a
?
AF
2
；当
P
在
F
2
A
的延长线上时，
(
PA
?
PF
1
)
m
in
?
2
a<
/p>
?
AF
2
（如图
1
）
.
说明
：如果点
A
在椭圆上，推广
1
仍成立
.
推广
2
如果
A
是椭圆
是
两
个
焦
点<
/p>
，
P
y
P
A
F
1
O
F
2
P
8
x
y
?
?
1(<
/p>
a
?
b
?
0)
外的定点，
F
1
,
F
2
2
2
a
b
是
椭
圆
上
的
动
点
，
则
< br>2
2
(
PA
?
PF
1
)
m
ax
?
2
a
?
AF
2
,
(
PA
?
PF
1
)
m
in<
/p>
?
AF
1
.
x
图
1
证明
由椭
圆定义，得
PF
1
?
< br>2
a
?
PF
2
，于是
y
< br>PA
?
PF
1
< br>?
2
a
?
(
PA
?
PF
2
)
?
2
a
?
AF
2
，故
当
P
在
AF
2
的延长
线
上
时
，
(
PA
?<
/p>
PF
1
)
m
a
x
?
2
a
?
AF
2
;
当
P
在
线
段
AF
1
< br>上
时
，
P
A
(
PA
?
PF
1
)
m<
/p>
i
n
?
AF
1
（如图
2
）
.
F
1
O
P
图
2
F
2
x <
/p>
x
2
y
2
推广
3
如果
A
是椭圆
2
?
2
?
1(
a
?
b
?
0)
内的定点，
F
1
,
F
2
是
a
b
两
个
焦
点
，
P
是
椭
圆
上
的
动
点
，
则<
/p>
m
i
PA
?
PF
1
m
a
?
AF
1
,
PA
?
PF
1
x
?
n
0
.
P
y
P
A
F
1
O
F
2
x
证明
?
PA
?
PF
1
?
AF
1
,
?
当
P
,
A
,
F
1
三点共线时，
PA
?
P
F
1
max
?
AF
1
;
当
P
在
线
段
AF<
/p>
1
的
中
垂
线
上
，
即
min
PA
?
PF
1
时，
PA
?
PF
1
?
0
（如图
3
）
.
P
P
图
3
说明：如果点
A
在椭圆上，推广
3
仍成立
.
x
2
y
2
推广
4
如果
A
是椭圆
2
?
2
?
1
(
a
?
b
?
0
)
外的定点，
a
b
F
1
,
F
2
是
两
个
< br>焦
点
，
P
是
椭
圆
上
的
动
点
，
则
y
P
A <
/p>
PA
?
PF
1<
/p>
max
?
AF
1
,
PA
?
PF
1
min
（当线段
AF
1
的中点
?
< br>0
在椭圆内或椭圆上
时）
.
证明
?
P
A
?
PF
1
?
AF
1
,
?<
/p>
当
P
在
AF
1
的延长线上时，
P
F
1
O
F
2
P
图
4
x
P
A
?
PF
1
m
ax
?
AF
1
;
当
P
在线段
AF
1
的中垂线上（当线段
AF
1
的
中
点
在
椭
圆
内
或
椭
圆
上
）
，
即
PA
?
PF
1
时
，
P
A
?
P<
/p>
1
F
m
i
n
?
0
（如图
4
）
.
以此题为背
景，通过猜想与探索，还能得到下面关于圆锥曲线的一些一般结论：
命题
1
<
/p>
如图
5
，若
M<
/p>
为椭圆内一定点，直线
F
1
M
与椭圆
交于
P
,
Q
两点，则
P
,
Q
分别为椭圆上到
M
及
F
2
的距离
之和的
最小和最大的点
.
证
明
设
K
y
P
M
F
1
Q
O
F
2
x <
/p>
为
椭
圆
上
任
意
一
点
，
?
KF
1
?
MF
1
?
KM
?
KF
1
?
F
1
M
,
9
图
5
?<
/p>
2
a
?
MF
1
?
KF
1
?
KF
2
?
MF
1
?
KM
?
KF
2
?
KF
1
?
KF
2
?
F
1
M
?
2
a
?
F
1
M
，以上两不等式左端取等号的条件为点
M
在线段
KF
1
上，右
端取等号的
条件为点
F
1<
/p>
在线段
KM
上，即
P
,
Q
分别为椭圆上到
M
及
F
2
< br>距离之和的最小和最大点
.
命题
2
<
/p>
如图
6
，若
M<
/p>
为椭圆外一定点，直线
F
1
M
与椭圆
交于
P
,
Q
两点，则有
（
1
）
点
P
(
Q
)
为椭圆上到
F
1
及
M
距离之差
（和）
最大<
/p>
（小）
点
.
（
2
）
点
P
(
Q
)
为椭圆上到
M
及
F
1
距离之和
（差）
最小
（大）
点
.
证明
（
1
）设
K
为椭圆上任意一点，
图
6
Q
F
1
O
F
2
x
y
P
M
?
MF
1
?
K
F
1
?
KM
?
KF
1
?
F<
/p>
1
M
,
?
KF
2
?
KM
?
KF
1
?
KF
2
?
F
1
M
?
2
a
?
F
1
M
①，
KF
2
?
KM
?
KF
2
?
KF
1
?
MF
1
?
2
a
?
F
1<
/p>
M
②，不等式①取等号的条件为点
F
1
在线段
KM
上，
不等
式②取等号的条件为点
K
在线段<
/p>
MF
1
上，故点
P
(
Q
)
为椭
圆上到
F
2
及
M
距离之差（和）最大点
.
对于（<
/p>
2
），同理可证
.
命题
3
<
/p>
如图
7
，若
M<
/p>
为双曲线右支内一定点，直线
MF
1
与
双曲线分别交于
P
,
Q
两点，则有
< br>（
1
）点
P
(
Q
)
为双曲线右（左）支上到<
/p>
F
2
(
F
1
)
及
M
距离之
和最小的点；
（
2
）点
Q
(<
/p>
P
)
为双曲线左（右）支上到
F
2
(
F
1
)
及
M
距离之和最小的点
.
证明
<
/p>
（
1
）设
K
为双曲线右支上任意一点，
图
7
?
KM
?
F
1
M
?
KF
1
,
?
KF
2
?
KM
?
F
1
M
?
KF
1
?
KF
2
?
F
1
M
?
2
a
,
当
K
在
线
段
F<
/p>
1
M
上
时
取
等
号，故
P
为双曲线右支上到
F
2
及
M
距离之和最小的点，对于点
Q<
/p>
，命题显然成立
.
(2)
设
K
为双曲线左支上任意一点，
由
（
1
）
易得
KM
?
KF
2
?
F
1
M
?
2
a
,
，
当且仅当
K
在线
段
F
1
M
上<
/p>
时取等号，故
Q
为双曲线左支上到
F
2
及
M
距离之和最小点，对于点
P
，命题显然成立
.
命题
4
如图
8
，若
M
为双曲线外一定点，直线
MF
1
与双曲线左、
右支分别交于
Q
,
P
两点，则
10
（
1
）点
P
(
Q
)
为双曲线右（左）支上
到
F
2
(
F<
/p>
1
)
及
M
距离之差（和）最大（小）的点；
（
2
）点
Q
(
P
)
为双曲线左（右）支上到
< br>F
2
(
F
1
)
及
M
距
离之和（差）最小（大）的点
.
证明
（
1
）设
K<
/p>
为双曲线右支上任意一点，
?
KM
?
KF
1
?
MF
1
,
?
KF
2
?
KM
?
KF
2
?
KF
1
?
MF
1
?
MF
1
?
2
a
,
当且仅当点
M
在线段
KF
1
上时取等号，即
P
为双曲线右支
上到
F
< br>2
及
M
距离之差最大的点，对于
点
Q
，命题显然成立
.
（
2
）设
K
为双曲线左支上任意一点，
?
KM
?
MF
1
?
KF
1
,
?
KF
2
?
K
M
?
MF
1
?
KF
2
?
KF
1
?
MF
1<
/p>
?
2
a
,
当且仅当
K
在线段
M
F
1
上时取
等号，即
< br>Q
为双曲线左支上到
F
2
及
M
距离之和最小的点，对于点
P
，命题显然
y
P
成立
.
M
命题
5
<
/p>
如图
9
，若
M<
/p>
为抛物线内一定点，
过
M
作抛物线准线
l
的垂线交抛
物
线于点
P
，则点
P
为抛物线上与
M
及
F
距离之和最小的点
.
O
F
x
命题
6
<
/p>
如图
10
，若
M
为抛物线外一定点，过
M
作抛物线准线
l
的垂线交
l
抛物线于点
P
，则点
< br>P
为抛物线上与
F
及
M
距离之差最大的点
.
命题
5
、
6
留
给读者自己证明
.
运用这些命题，可以很容易地解决下列问题：
图
9
1
、如
果点
A
的坐标为（
2
< br>，
2
），
F
2
是椭圆
5
x
?
9
y
?
45
的右焦点，点
P
是椭圆上的动点，
则
PF
2
?
P
A
的最大值为
____
，
PF
2
?
PA
的最大值为
____.
2
、
如果点
A
的坐标为
< br>(3,1)
，
F
1
,
F
2
分别是双曲线
x
?
3
y
?
3
的左、
右焦点，
点
Q
,
P
分别为双曲线左、右支上的动点，则
PA
?
PF
2
的最小值为
____
，
2
2
2
2
M
y
P
O
F
x
l
图
10
QA
?
QF
2
的最小值为
< br>____.
3
、
如果点
A
的坐标为
(1,1)
，
F
1
,
F
2
分别是双曲线
3
x
?
y
?
3
的左、
右焦点，
点
< br>Q
,
P
分别为双曲线左、右支上
的动点，则
PF
2
?
< br>PA
的最大值为
____
，
QF
2
?
QA
的最小值为
____.
2
4
、如果点
A
的坐标为
(1,3)
，
F
是抛
物线
y
?
4
x
的焦点，点
P
为抛物线上的动点，则<
/p>
PF
?
PA
的<
/p>
2
2
最大值为
_
___.
答案：
1
、
6
?
2
5
;
6
?
2
5
<
/p>
2
、
26
?
2
3
;
26
?
2
3
3
、
10
?
2
;
10
?
2
4
、
2
题
45
设
F
1
、
F
2
是椭圆的两
个焦点，若椭圆上存在点
P
，使
?
F
1
PF
2
?
120
，则椭圆离心率
e
的范
o
11
围是
______.
（第十二届高二
第一试第
20
题）
解法
1
如
图
1
，
当点
P
与短轴端点
B
重合时，
?
F
1
PF
< br>2
最
大
.
故由题设可知
?
F
1
PF
2
?
120
.
∴
tan
?
F
1
BO
?
tan
60
?
即
tan
?
F
1
BO
?
o
o
y
B
P
3
，
c
?
3
.
则
b
?
1
b
(
)
2
< br>?
1
c
?
1
3
?
.
又
椭圆离
2
1
?
1
3
F
1
o
F
2
x
e
?
c<
/p>
?
a
c
b
2
?
c
2
图
1
心率
e
?
1
，∴
3
?
e
?
1
< br>.
2
解法
2
设
PF<
/p>
1
?
m
，
PF
2
?
n
，
F
1
F
2
?
2
c
< br>.
则由椭圆定义及余弦定理，得
4
c
2
?
m
2
?
n
2
?
2
mn
cos
12
0
o
?
m
2<
/p>
?
n
2
?
mn
，即
4
c
2
?
(
m
?
n
)
2
?
mn
，亦即
4
c
2
?
4
< br>a
2
?
mn
.
从而，
4
a
2
?
4
c
2
?
mn
?
(
故
m
?
n
2
2
a
3
)
?
(
)
2
?
a
2
< br>，即，
4
a
2
< br>?
4
c
2
?
a
2
，
4
c
2
?
3
a
2
∴
e
2
?
.
又知
0
?
e
?
1
，
4
2
2
3
?
e
?
1
为所求
.
2
解法
3
不妨设点
P
(
x
,
y
)<
/p>
在
x
轴上方，又知
F
1
(
?
c
,
0
)
，
F
2
(
c
,
0
)
，则
tan
120
?
o
k
PF
2
?
k
PF
1
1
?
k
PF
2
?
k
PF
1
y
y
?
a
2
2
2
cy
2
2
x
?
c
x
?
c
?
2
.
由椭圆方程有
x
?
a
?
2<
/p>
y
，代入上式，
?
y
y
x
?
y
2
?
c
2
b
1
?
?
x
?
c
x
?
c
4
得
< br>3
c
y
?
2
b
cy
?
3
b
?
0
.<
/p>
解得
y
?
2
2
2
3
b
2
3
b
2
?
0
或
y
< br>?
?
?
0
（舍去）
.
又知，
0
?
y
?
b
故有，
c
c
0
?
3
b
2
?
bc
，
b
?
3
b
c
a
?
b
c
.
∴
e
2
?
2
?
?
1
< br>?
?
1
?
a
2
a
a
2
3
2
2
2
2
(
3
2
c
)
3
2
a
3
1
< br>3
?
e
?
1
为所求
.
?
1
?
e
2
，即
e
2
?
.
又
0
?
e
?
1
，∴
2
4
3
解法
4
设
?
PF
1
F
2
?
?
，
?
PF
2
F
1
?
?
，则
?
?
?
?
180
?
120
?
60
.
由正弦定理得，
o
o
o
12
2
c
m
n
m
?
n
2
a
，故
?
?
?
?
sin
120
o
sin
?
sin
?
sin
?
?
sin
?
sin
?<
/p>
?
sin
?
2<
/p>
c
sin120
o
3
3
3
e
?
?
?
?
?
.
2
a
sin<
/p>
?
?
sin
?<
/p>
4sin
?
?
?
?
cos
?
?
?
4sin
30
o
cos
?
?
?
2
2
2
2
又
0
?
e
?
1
，故
3
?
e
?
1
为所求
.
2
2
2
2
o
解法
5
由焦半径公式及余弦定理得
4
c
?
(
a
?
ex
p
)
?
(
a
?
e
x
p
)
?
2<
/p>
(
a
?
ex
p
)(
a
?
ex
p
)
cos
120
，
解得
x<
/p>
p
2
4
c
2
?
3
a
2
2
2
2
2
2
2
0
?
x
.
由椭圆的范围知
?
p
?
a
，故有
0
?
4
c
?
3
a
?
e
a
.
∵
0
?
e
?<
/p>
1
，∴
2
e
3
?
e
?
1
为所求
.
2
解法
6
由已知及椭圆焦点三角形的面积公式得
S
?
F
PF
1
2
120
o
?
b
tan
?
3
b
2
.
由椭圆的范围知
2
2
(
S
?
F
1
PF
2
)
m
ax
?
bc
，∴有
3
b
2
?
bc
，
b
?
3
c<
/p>
以下同解法
3.
3
评析
<
/p>
椭圆的离心率
e
反应了椭圆的扁平程度，
而扁平程度与椭圆的范围相关
.
解法<
/p>
1
中的
“∠
F<
/p>
1
PF
2
最
大”，解法
3
中的“
0
?
y
?
b
”，解法
5
中的“
0
?
x
p
?
a
”，解法
6
中的“
(
S
?
F
1
PF
2
)
m
ax
?
bc
”，
都是运用椭圆的范围求离心率
e
的范围
.
解
法
2
运用椭圆定义、余弦定理及基本不等式，解法
4
运用三角函
数的有界性，巧妙地求出了离心率
e
的范围
.
拓展
解法
1
的依据是下面的
定理
<
/p>
椭圆上的任意一点与其长轴上关于中心对称的两点连线所成张角中以短轴端点所成的张角为
最大
.
证明
如图
2
，经
过对称的两点
P
1
、
< br>P
2
及短轴端点
A
作圆，则点
A
显然在圆上，椭圆在
< br>x
轴上方部分
（含左、右顶点）的任意一点
P
（
A
除外）都在圆外
，根据平几中“同弦上的圆周角大于圆外角”，可
知
?
P
可知当点
P
是椭圆上
1
AP
2
?
?
P
1
PP
2
.
由椭圆的对称性，
任意一点时，也都有
?
P
1
AP
2
?
?
P
1
PP
2
，故定理成立
.
该定理是椭圆的一个重要性质，它对与椭圆有关的离心
率、
范围、
字母讨论、
位置等问题能起到优化解题思路的
作用
.
本赛题可作如下推广
A
y
P
2
2
P
1
O
.
P
2
x <
/p>
x
2
y
2
推广
1
设
F
1
、
F
2
是椭圆
2
?
2
?
1
a
b
图
2
13
humans-顺藤摸瓜
humans-顺藤摸瓜
humans-顺藤摸瓜
humans-顺藤摸瓜
humans-顺藤摸瓜
humans-顺藤摸瓜
humans-顺藤摸瓜
humans-顺藤摸瓜
-
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