亮白-防御素
范德蒙行列式的相关应用
（一）范德蒙行列式在行列式计算中的应用
范德蒙行列式的标准规范形式是：
1
x
1
D
n
?
x
1
2
L
x
1
n
?
1
1
x
< br>2
2
x
2
L
n
?
1
x
2
L
L
L
L
L
1
x
n
2
x
n
?
?
(
x
< br>i
?
x
j
)
n
?
i
?
j
?
1
L
n
?
1
x
n
根据范德蒙行列式的特点，
将所给行列式包括一些非范德蒙行列式利用各种
方法将其化为范德蒙行列式，<
/p>
然后利用范德蒙行列式的结果，
把它计算出来。
< br>常
见的化法有以下几种：
1.
所给行列式各列
（或各行）
都是某元素
的不同次幂，
但其幂次数排列与范德蒙
行列式不完全相同，需利
用行列式的性质（如提取公因式，调换各行（或各列）
的次序，拆项等）将行列式化为范
德蒙行列式。
例
1
计算
1
1<
/p>
L
1
2
n
n
3
n
n
2
2
2
L
D
n
?
3
3
2
L
n
n
2
L
解<
/p>
D
n
中各行元
素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列，
但不是从
0
变
到
n
?
r
。
而是由
1
递升至
n
。
如提取各行的
公因数，
则方幂次数便从
0
变到
n
?
1
.
1
1
D
n
?
n
!
1
< br>L
1
1
2
3
L
n
1
2
2
3
2
L
n
2
L
L
L
L
L
1
2
n
?
1
< br>3
n
?
1
?
n
!(2
?
1)(3
?
1)
L
< br>(
n
?
1)(3
?
2)
L
(
< br>n
?
2)
L
?
n
?
(
n
?
1)
?
L
n
n
?
1
?
n
!(
n
?
1)!(
n
?
2)!
L
2!1!
例
2
计算
a
n
(
a
?
1)
a
n
?
1
(
a
?
1)
n
?
1
D
n
?
< br>1
?
L
L
a
a
?
1
1
1
L
L
L
L
L
(
a
?
n
)
n
(
a
?
n
< br>)
n
?
1
L
a
?
n
1
解
本项中
行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使
D
n
?
1
中各列元素的方幂次数自上而下
递升排列，
将第
n
?
< br>1
列依次与上行交换直至
第
1<
/p>
行，
第
n
行依次
与上行交换直至第
2
行
L
第
2
行依次与上行交换直至第
n
行，
于是共经过
n
?
(
n
?
1)
?
(
n
?
2)
?
L
?
2
?
1<
/p>
?
次行的交换得到
n
?
1
阶范德蒙行列式：
1
D
n
?
1
?
(
?
< br>1)
n
(
n
?
1)
2
n
(
n
?
1)
2
1
L
L
L
L
L
1
a
?
n
L
(
a
?
n
< br>)
n
?
1
(
a
?
n
)
n
n
a
a
?
1
L
L
a
n
?
1
(
a
?
1)
n
?
1
a
n
(
a
?
1)
?
(
?
1
)
n
(
n
?<
/p>
1)
2
(
a
?
1
?
a
)(
a
?
2
?
a
)
L
(
a
?
n
?
a
)
?
a
?
2
?
(<
/p>
a
?
1)
?
L
?
a
?
n
?
(
a
?
(
n
?
< br>1))
?
?
?
< br>k
!
k
?
1
若
D
n
的第
i
行（列）由两个分行（列
）所组成，其中任意相邻两行（列）均
含相同分行（列）
；且<
/p>
D
n
中含有由
n
个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将
D
< br>n
的第
i
行（列）乘以
-1
加到第
i
?
1
行（列）
，消除一些分行（列）即可化成范
德蒙行列式：
例
3
计算
D
?
1
1
?
sin
?
1
2
1
1
?
sin
?
2
2
1
1
?
sin
?
3
2
1
1
?
sin
?
4
2
sin
?
1
?
sin
?
1
sin
?
2
?
sin
?
2
sin
2
?
1
?
sin
3
?
1
sin
2
?
2
?
sin
3
?
2
1
sin
?
1
2
sin
?
3
?
sin
?
3
sin
?
4
?
sin
?
4
sin
2
?
3
?
sin
3
?
3
sin
2
?
4
?
sin
3
?
4
1
< br>sin
?
3
1
< br>sin
?
4
2
< br>2
解
将
D
的第一行乘以
-1
加到第二行得：
1
sin
?
2
2
sin
?
1
?
sin
?
1
sin
?
2
?
sin
?
2
sin
2
?
1
?
sin
3
?
1
sin
2
?
2
?
sin
3
?
2
sin
?
3
?
sin
?
3
sin
?
4
?
sin
?
4
sin
2
?
3
?
sin
3
?
3
sin
2
?
4
?
sin
3
?
4
再将上述行列式的第
2
行乘以
-1
加到第
3
行，再在新行
列式中的第
3
行乘以
-1
加到第
4
行得：
D
?
1
sin
?
1
2
1
sin
?
2
2
1
sin
?
3
2
1
sin
?
4
2
sin
?
1
sin
?
2
sin
3
?
1
sin
3
?
2
sin
?
3
sin
?
4
sin
3
?
3
sin
4
?
4
?
1
?
j
?
i
< br>?
4
?
(sin
?
i
?
sin
?
j
)
例
4
计算
1
?
x
1
1
?
x
1
2
L
2
1
?
x
2
1
< br>?
x
2
L
D
?
L
L
L
2
1
?
x
n
1
?
x
n
L
1
?
x
1
n
n
< br>1
?
x
2
（
1
）
L
n
1
?
x
n
解
先加边，那么
1
1
D
?
1
L
1
2
1
L<
/p>
1
0
0
1
?
x
1
1
?
x
1
2
2
1
?
x
2
1
?
x
2
L
L
2
1<
/p>
?
x
n
1
?
x
n
0
x
1
L
x
n
0
L
x
1
2
L
L
L
2
x
n
L<
/p>
L
L
L
L
L
0
x
1
n
L
n
x
n
0
1
1
?
x
1
n
1
n
1
?
x<
/p>
2
?
1
L
L
n
1
?
x
n
1
1
1
L
1
n
?
1
x
1
x
2
L
x
n<
/p>
1
L
x
1
2
L
L
L
2
x
n
L
?
1
x
1
2
2
x
2
L
2
x
n
1<
/p>
x
1
n
L
n
x
n
L
L
L
L
L
?
1
x
1
n
n
x
2
L
n
x
n<
/p>
再把第
1
行拆成两项之和，
1
x
1
< br>L
x
n
D
?
?
?
2
x
1
L
x
n
?
1
?
j
?
k
?
n
?
(
x
< br>k
?
x
j
)
?
?
(
x
i
?
1)
i<
/p>
?
1
n
n
1
?
j
?
k
?
n
?
(
x
k
?
x
j
)
1
?
j
?
k<
/p>
?
n
?
(
x
k
?
x
j
)[2
?
x
i
?
?
(
x
i
?
1)]
i
?
1
i
?
1
2.
加行加列法
各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，
可用此方法：
例
5
计算
1
1
L
1
2
x
1
2
x
2
3
D
?
x
1
3
< br>x
2
L
L
n
x
1
n
x
2
L
L
L
L
2
x
n
x
3
3
n
L
n
x
< br>n
解
作
n
?
1
阶行列式：
< br>
1
z
z
2
z
3
L
z
n
1
x
1
x
1
2
x
1
3
L
x
1
n
1
L
< br>1
x
n
2
x
n
3
x
n
D
n
?
1
?
x
2
L
2
x
2
L
3
x
2
L
< br>=
?
(
x
i
?
z
)
i
?
1
n
l
?
k
?
j
?
n
?
(
x
j
?
x
< br>k
)
L
L
L
n
x
n
n
x
2
L
由所作行列式可知
z
的系数为
?
D
，而由上式可知
z
的系数为：
(
?
1)
通过比较系数得：
2
n
?
1
< br>1
x
1
x
2
L
x
n
(
?
)
?
(
x
j
?
x
k
)
i
?
1
x
i
< br>n
?
j
?
k
?
l
n
n
1
D
?
x
1
x
2
L
x
n
(
?
)
?
(
x
< br>j
?
x
k
)
i
?
1
x
i
n
?
j
?
k
?
l
3.
拉普拉斯展开法
运用公式
D
=
M
1
A
1
?<
/p>
M
2
A
2
?
L
M
n
A
n
来计算行列式的值：
例
6
计算
1
0
1
D
?
0
L
1
0
0
1
0
1
L
0
1
< br>x
1
0
x
2
0
L
x
n
0
0
y
1
0
y
2
L
0
y
n
L
L
L
L
L
< br>L
L
n
?
1
x
1
0
n
?
1
x
2
0
L
n
?
1
x
n
0
0
n
?
1
< br>y
1
0
n
?
1
y
2
L
0
n
?
1
y
n
解
取第
1<
/p>
，
3
，
L
2
n
?
1
行，第
1
，
3
，
L
2
n
?
1
列展开得：
D
?
1
1
L
1
x
1
L
x
2
L
L
L
x
n
L<
/p>
x
1
n
?
1
1
n
?
1
x
2
1
L
L
n
?
1
x
n
1
y
1
L
y
2<
/p>
L
L
L
y
n
L
y
1
n
?
1
n
?
1
y
2
L
n
?
1
y
n
=
n
?<
/p>
j
?
i
?
l
?
(
x
j
?
x
i
)(
y
j
?
< br>y
i
)
4.
乘积变换法
例
7
设
s<
/p>
k
?
x
?
x
?
L
?
x
?
?
x
i
k
(
k
?
0,1,
L
2
< br>n
?
2)
，计算行列式
k
1
k
2
k
n
i
< br>?
1
n
s
0
s
1
L
s
n
?
1
s
n
L
s
2
n
?
2
s
1
s
2
< br>L
D
?
L
L
L
s
n
?
1
s
n
L
解
n
?
x
i
?
1
n
i
n
i
L
L
L
?
x
i
?
1
n
i
?
1
n<
/p>
n
?
1
i
D
?
?
x
i
?
1
n
?
x
i
?
1
2
i
?
x
L
n
i
<
/p>
L
L
n
?
1
i
?
x
i
?
1
n
?
x
i
?
1
n
n
2
L
?
x
i
?<
/p>
1
n
2
n
?
2
i
1
x
1
?
x
1
2
L
x
1
n
?
l
?
i
?
j
?<
/p>
n
1
x
2
2
x
2
L
L
L
1
x
n
2
x
n
L
n
?
1
x
n
L
L
n<
/p>
?
1
x
2
L
(
x
j
?
x
i
)
2
1
1
L
1
x
1
x
1
2
2
x
2<
/p>
x
2
L
L
2
x
n
x
n
L
L
L
L
x
1
n
?
1
n
?
1
x
2
L
<
/p>
n
?
1
x
n
?
例
8
计算行列式
D
?
(
a
0
?
b
0
)
n
(
a
1
?
b
0
)
n
L
(
a
n
< br>?
b
0
)
n
(
a
0
?
b
1
)
n
L
(
a
1
?
b
1
)
n
L
L
L
< br>(
a
n
?
b
1
)
n
L
(
a
0
?
b
n
)
n
(
a
1
?
b
n
)
n
< br>L
(
a
n
?
b
n
)
n
解
在此行
列式中，
每一个元素都可以利用二项式定理展开，
从而变成乘积
的和。
根据行列式的乘法规则，
D
?<
/p>
D
1
g
D
2
，其中
0
C
n
0
C
n
D
1
?
L
0
C
n
1
C
n
a
0
L
1
C
n<
/p>
a
1
L
L
L
1
C
n
a
n
L
n
n
C
n
a
0
b
0
n
b
1
n
n
n<
/p>
C
n
a
1
b
0
n
?
1
b
1
n
?
1
D
< br>2
?
L
L
L
n
n
C
n
a
n
1
1
L
L
L
L
n
b
n
n
?
1
b
n
< br>
L
1
对
D
2
进行例
2
中的行的变换，就得到范德蒙行列式，于是
D
?
D
1
g
< br>D
2
?
C
C
L
C
1
n
2
n
n
n
1
1
L
1
a
0
L
a
1
L
L
L
< br>n
(
n
?
1)
2
n
a
0
a
1
n
1<
/p>
g
(
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1)
n
(
n
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1)
2
1
L
1
b
n
L
n
b
n
L
n
a
n
a
n
L
b
0<
/p>
b
1
L
g
L
L
L
b
0
n
b
1
n
L
=
C
C
L
C
1
n
2
n
n
n
0
?
j
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/p>
i
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n
?
(
a
i
?
a
j
)
g
(
?
1)
0
< br>?
j
?
i
?
n
?
(
b
i
?
b
j
)
1
2
n
=
C
n
C
n
L
C
n
0
?
j
?
i
?
n
?
(
< br>a
i
?
a
j
)(
b
i
?
b
j
)
5.
升阶法
例
9
计算行列式
1
1
D
?
L
1
1
x
1
x
2
L
x
n
?
1
x
n
x
1
x
2
< br>L
x
n
?
1
x
n
x
x
1
2
2
x
2
L
2
x
n
?
1
2
x
n
x
1
< br>2
2
x
2
L
L
L
L
L
x
1
n
?
2
n
?
2
x
2
L
n
?
2
x
n
< br>?
1
n
?
2
x
n
x
1
n
?
2
n
?
2
x
2
x
1
n
n
x
2
L
< br>n
x
n
?
1
n
x
n
x
1
n
?
1
n
?
1
x
2
解
将
D
升阶为下面的
n
?
1
阶行列式
1
1
V
n
?
1
?
L
1
1
1
L
L
< br>L
L
L
L
x
1
n
n
x
2
L
x
x
2
n
?
1
2
n
2
L
x
x
x
n
< br>?
2
n
?
1
n
?
2
n
n
?
2
L
x
x
x
n
?
1
n
?
1
n
?
1
< br>n
n
?
1
L
x
x
n
n
?
1
n
n
n
x
x
即插入一行与一列，
使
V
n
?
1
是关于
x
1
,
x
2
,
L
x
n
,
x
的
n
?
1
阶范德蒙行列式，
此处
x
是
变数，于是
< br>V
n
?
1
?
(
x
?
x
1
)(
x
?<
/p>
x
2
)
L
(
x
?
x
n
)
多项式，它可以写成
1
?
j
?
i
?
n
?
(
x
i
?
x
j
)
故
< br>V
n
?
1
是一个关于
x
的
n
< br>次
V
n
?
1
?
1
?
j
?
i
?
n
?
(
x
i
?
x
j
)
?
x
n
?
< br>(
?
1)(
x
< br>1
?
x
2
?
L
?
x
n
)
x
n
?
1
?
L
?
另一方面，将
V
n<
/p>
?
1
按其第
n<
/p>
?
1
行展开，即得
V
n
?
1
?
1
?
j
?
i
?
n
?
(
x
i
?
x
j
)
< br>x
n
?
(
?
1)
2
n
?
1
Dx
n
?
1
?
L
比较
V
n
?
1
中关于
x
n
?
1
的系数，即得
D
?
(
x
1
?
x
2
?
L
?
x
n
)
(
二
)
范德蒙行列式在多项式理论中的应用
1
?
j
?
i<
/p>
?
n
?
(
x
i
?
x
j
)
例
1
设
f<
/p>
(
x
)
?
c
0
?
c
1
x
?
L
c
n
x
n
,
若
f
(
x
)
至少有
n
?
1
个不同的根，则
f
(
x
)
?
0
。
证明
取
x<
/p>
1
,
x
2
,
L
x
n
?
1
为
f
(
x
)
的
n
?
1
个不同的根，则有齐次线形
方程组
?
c
0
?
c
1
x<
/p>
1
?
c
2
x
1
2
?
L
?
c
n
x
1
n
?
0,
?
2
n
?
c
0
?
c
1
x
2
?
c
2
x
2
?
L
?
c
n
x
2
?
< br>0,
?
(2)
?
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
?
c
?
c
x
?
c
x
2
?
L
< br>?
c
x
n
?
0,
n
n
?
1
?
0
1<
/p>
n
?
1
2
n
?
1
其中
c
0
,
c
1
,
L
c
< br>n
看作未知量
因为方程组（<
/p>
2
）的系数行列式
D
是
Vander
monde
行列式，且
D
?
1
?
i
?
j
?
n
?
(
x
j
?
x
i
)
?<
/p>
0,
所以方程组（
2
）只有零解，从而有
c
0
?
c
1
?
L
?
c
n
?
0,
即
f
(
< br>x
)
是零多项式。
例
2
设
a<
/p>
1
,
a
2
L
a
n
是数域
F
中互不相同的数，
b
1
,
b
2
,
L
b
n
是数域
F
中任一
组
给定的不全为零的数，则存在唯一的数域
F
上次数小于
n
的多项式
f
(
x
)
，使
f
(
a
i
)
=
b
i
< br>，
i
?
1,2,
L
n
证明
设
f<
/p>
(
x
)
?
c
0
?
c
1
x
?
L
?
c
n
?
1
x
n
?
1
,
由条件
f
(
a
i
)
?<
/p>
b
i
，
i
?
1,2,
L
n
知
?
c
0
?
c
1
a
1
?
L
< br>?
c
n
?
1
a
1
n
?
1
?
b
1
,
?
n
?
1
?
c
0
?
c
1
a
< br>2
?
L
?
c
n
?
1
a
2
?
b
2
,
?
（
3
）
?
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
?
< br>c
?
c
a
?
L
?
c
a
n
?
1
?
b
,
n
?
1
n
n
?
0
1
n
因为
a
1
,
a
2
,
L
a
n
互不相同，所以方程组（
3
）的系数
行列式
D
?
1
1
L
1
a<
/p>
1
a
2
L
a
n
a
1
2
L
2
a
2
L
L
L
2
a
n
L
n
?
1
a
n<
/p>
n
?
1
a
2
L
n
?
1
a
n
?
1
?
i
?
j
?
n
?
(
a
j
?
a<
/p>
i
)
?
0
则方程组（
3
）有
唯一解，即唯一的次数小于
n
的多项式
f
(
x
)
?
c
0
?
c
1
x
?
L
c
n
?
< br>1
x
n
?
1
,
使得
f
(
a
i
)<
/p>
?
b
i
，
i
?
1,2,
L
n
例
3
设多项式
f
(
x
)
?
a
1
x
p
1
?
a
2
x
p
2
?
L
?
a
n
x
p
n<
/p>
,
a
i
?
0,
i
?
1,
2,
L
n
，
p
i
?
p
j
,
i
?
j
,
i
,
j
?
1,2,
< br>L
n
，则
f
(
x
)
不可能有非零且重数大于<
/p>
n
?
1
的根。<
/p>
证明
反设<
/p>
?
?
0
是
f
(
x
)
的重数大于
n
?
1
的根，则
f
(
?
)
=0
，
f
?
(
?
)
?
0,
L
f
(
n
?
1)
(
?
)
?
0,
进而
f
(
?
)
?
0,
?
f
?
(
?
)
< br>?
0,
L
?
n
?
1
f
(
n
?
1)
(
?
)
?
0.<
/p>
即
?
a
1
?
p
1
?
a
2
?
p
2
?
L
?
a
n
?
p
n
?
0,
?
p
p
p
?
p
1
a
1
?
1
?
p
2
a
2
?
< br>2
?
L
p
n
a
n
?
n
?
0,
?
?<
/p>
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
?
p
(
p
?
1)
L
(
p
?
n
?
2)
a
?
p<
/p>
1
?
p
(
p
?
1)
L
(
p
?
n
?
2)
a
?
p
2
?
L
?
p
(
p
?
1)
L
(
p
?
n
?
2)<
/p>
a
?
p
n
?
0
1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
?
1
1
（
4
）
把（
4
）看成关于
a
1
?
p
1
,
a
2
?
p
2
,
L
,
a
n
?
p
n
为未知量的齐次线形方程组则（
4
）的系数
行列式
1
p
1
p
1
(
p
1
?
1)
p
1
(
p
1
?
1)
L
(
p
1
?
n
?
2)
1
p<
/p>
2
L
L
1
p
n
p
n
(
p
n
?
1)
p
n
(
< br>p
n
?
1)
L
(
p
n
?
n
?
2)
D
?
p
2<
/p>
(
p
2
?
1)
L
p
2
(
p
2
?
1)
L
(
p
2
?
n
?
2)
L
1
p
2
2
p
2
L
n
?
1
p
2
L
L
L
L
L
=
1
p
1
2
p
1
L
n
?
1
p
1
1
p
n
2
p<
/p>
n
?
?
(
p
j
?
p
i
)
?
0
1
?
i
?
j
?
n
L
n
?
1
p
n<
/p>
所以方程组（
4
）只有零解，从而
a
i
?
p
i
?
0,
i
?
1,
2,
L
n
，所以必有
?
?
0,
这与
?
?
0
矛盾，故
f
(
x
)
没有非零且重
数大于
n
?
1
的根。