捡便宜-琉璃砖
第七章九点圆定理及应用
【基础知识】
九点圆定理三角形三条
高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，这九点共圆．
如图
7-1
，设
△<
/p>
ABC
三条高
AD
，
BE
，
CF
的垂足分别为
D
，
E
，
F
；三边
BC
，
CA
，
AB
的中点分
别为
L
，
M
，
N
；又
AH
，
BH
，
CH
的中点分别为
P
，<
/p>
Q
，
R
．求证：
D
，
E
，
F
，
L
，
M
，
N
，
P
，
Q
，
< br>R
九点共圆．
A
F
N
O
V
< br>Q
B
L
图
7-
1
P
H
E
M
R
D
C<
/p>
1
证
法
1
连
PQ
，
QL
，
LM
，
MP
，
则
知
LM
∥
BA
∥
为
平
行
四
边
形
．
又
QP
，
即
知
L
M
P
Q
2
LQ
∥
CH
?
BP
∥
LM
，
知
LMPQ
为矩形．从而
L
，
M
，
P
，
Q
四点共圆，且圆心
V
为
PL
与
QM
的
交点．同理，
MNQR
< br>为矩形，从而
L
，
M
，
N
，
P
，
Q
，
R
六点共圆，且
PL
，
QM
，
NR
均为这个
圆的直径．
由
?
PDL
?
?
QEM
?
?
RFN
< br>?
90
?
，知
< br>D
，
E
，
F
三点也在这个圆上．故
D
，
E
，
F
，
L
，
M
，
N
，
P
，
Q
，
R
九点共圆．
1
证法
2
< br>设
△
ABC
的外心为
O
，取
OH
的中点并记为
V
，连
AO
，
以
V
为圆心，
AO
为半径作
V
，如
2
图
7
?
1
．
1
由
VP
∥
OA
，知
P
在
V
上
．同理，
Q
，
R
也在
V
上．
2
1
由
OL
∥
AH
（可由延长
AO
交
△
ABC
的外接圆于
K
，
得
H
B
K
C
为平行四边形，<
/p>
此时
L
为
KH<
/p>
的中点，
2
PH
．
又
OV
?
V
H
，
知
△
O<
/p>
则
OL
为
△
AKH
的中位线即得）
，
< br>知
OL
∥
L
V
≌
△
H
P
V
1
，
从而
VL
?
VP
=
OA
，
2
且<
/p>
L
，
V
，
P
共线，故
L
在
V
上．
同理，<
/p>
M
，
N
在
V
上．
由
L
，
V
，
P
共线知
LP
为
V
的一条直径．
又
?
LDP
?
90<
/p>
?
，
?
MEQ
?
90
?
，
?
NFR
?
90
?
，知
D
，
E
，
F
在
V
上，
故
D
，
E
，
F
，
L
，
M
，
N
，
P
，
Q
，<
/p>
R
九点共圆．
上述圆通常称为九点圆，也有人叫费尔巴哈圆或欧拉圆，显然，正三角形的九点圆即为其内切圆．
证法
3
由
< br>Rt
△
CBF
∽
Rt
△
ABD
，有
则
BC
BA
．注意到
L
、
N
分别为
BC
、
BA
的中点
，
?
BF
B
D
BL
BN
，即
BL
?
BD
?
BF
?
BN
，这表明
L
、
D
、
F
、
N
四点共圆（或者联结
NL
、
DF
，则由<
/p>
?
BF
BD
．同
理，
L
、
D
、
E
、
M
及
E
、
M
、
F
、
N
分
?
BDF
?
?
BAC
?
?
BNL
知
L
、
D
、
F
、
N
< br>四点共圆）
别四点共圆．
由戴
维斯定理，即知
L
、
D
、
E
、
M
、
F
、
N
六点共圆于
?
．
CH
CB
CR
CL
，注意
R
、
L
分别为
CH
、
CB
中点，则
，知
R
、
F
、
?
?
CD
CF
CD
CF
L
、
D
共圆，即点<
/p>
R
在圆
?
上．<
/p>
同理，点
P
、
Q
也在圆
?
上
，故九点均在圆
?
上．
又
Rt
△
CHD
∽
Rt
△
CBF
，有
注戴维斯定理指的是：三角形每边所在直线有一对点（可以重合）<
/p>
，若每两对点同在一个圆上，则三对
点（六点）均在同一圆上．<
/p>
事实上，若所说三个圆不重合．则由根轴共点或平行推得三条边
共点或平行，这是不可能的，所以三
个圆非重合不可，特别地，三角形内切圆是其特殊情
形．
由上述定理及其证明，我们可得如下一系列推论：
推论
1
△
ABC
九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，
九点圆的半径是
△
ABC
的外接圆半径的
1
．
2
注
意到
△
PQR
与
△
ABC
是以垂心
H
为外位似中心的位似形，位似比是
HP
∶
HA
?
1
∶
2
，因此，可得
推论
2
三角形的九点圆与其外接圆是以三角形的垂心为外位似中心，位似比
是
1
∶
2
的位
似形；垂心与
三角形外接圆上任一点的连接线段被九点圆截成相等的两部分．
注意到欧拉定理（欧拉线）
，又可得
推论
3
△
AB
C
的外心
O
，重心
G
，九点圆圆心
V
，垂心
H
，这四点（心）共线，且
OG
∶
GH
?
1
< br>∶
2
，
OG
OH
．
?
GV
HV
推论
4
△
ABC
的九点圆与
△
ABC
的外接圆又是以
△
ABC
的重心
G
为内位似中心，
位似比为
1
∶
2
的位似
形．
事实
上，因
G
为两相似三角形
△
LMN
与
△
ABC
的相似中心，而
△
LMN
的外接圆即
△
ABC
的九点圆．<
/p>
推论
5
一重心
组的四个三角形有一个公共的九点圆；已知圆以已知点为垂心的所有内接三角形有共同
的
九点圆．
【典型例题与基本方法】
例
1
如图
7<
/p>
?
2
，
设
H
为
△
ABC
的垂心，
L
为
BC<
/p>
边的中点，
P
为
AH
的中点．
过
L
作
PL
的垂线交
AB
于
G
，交
AC
的延长线于
K
．求证：
G<
/p>
，
B
，
K
，
C
四点共圆．
<
/p>
GV
∶
VH
?<
/p>
1
∶
3
，或
O
和
V
对于
G
和
H
是调和共轭的
，即
A
F
N
G
B
V
O
L
D
图
7-
2
P
H
E
M
C
证明设
△
ABC
的外心为
O
，连<
/p>
OH
，取
OH
的
中点
V
，
则
V
为
△
ABC
九点圆的圆心．
连
< br>AO
，
则
A
，
从而
AO
?
GK
．
设
N
为
AB
的中点，
连
< br>ON
，
则
O
由此知
?
AON
?
?
AGL
．
O
∥
P
V
N
?
A
G
，
又
?
ACL
?
?
AON
，则
?
ACL
?
?
AGL
．
从而
?
BGL
?
?
BGK
?
?
KCL
?
?
KCB
．故
B
，
K
，
< br>C
，
G
四点共圆．
例
2
试证：
△
ABC
的垂心
H
与其外接圆上的点的连线被其九点圆平分．
证
明如图
7
?
3
，过垂心
H
作
△
ABC
外接圆的两条弦
DE
，
FG
，连
DF
，
EG
．
D
A
M
H
F
B
图
7-
3
T
G
C
S
< br>N
E
设
M
，
N
，
S
，
T
分别为
H
D
，
HE
，
H
F
，
HG
的中点，则
< br>
?
FDH
?
< br>?
SMH
，
?
< br>EGH
?
?
NTH
．
又
?
< br>FDH
?
?
EGH
，则
?
SMH
?
?
NTH
．
故
M
，
S
，
T
，
N
四点共圆，
由
DE
，
得
H
与
< br>△
ABC
外接圆上任意点连线的中点在同一圆上，
由于这个圆过
HA
，
FG
的任意性，
HB
，
HC
的中点，故这个圆就是
△
ABC
的九点圆，从而命题获证．
例
3
如图
7
?<
/p>
4
，
△
ABC<
/p>
中，
O
为外心，三条高
< br>AD
，
BE
，
< br>CF
交于点
H
，直线
ED
和
AB
交于点
M
，
（
1
）
OB
?
DF
，
OC
?
DE
；
（
2
）
OH
?
MN
．
FD
和
AC
交于点
N
．求证：
（
2001
年全国高中联赛题）
A
O
F
B
M
图
7-
4
H
D
V
E
C
N
证明（
1
）设
△
ABC
的外接圆半径为
R
，由相交弦定理，有
R
2
?
OF<
/p>
2
?
AF
?
FB
，
R
2
?
OD
2
?
BD
?
DC
，
从而
OF
2
?
OD
2
?
BD
?
DC
?
AF
?
FB
．
C
?
B
F
由
A
，
F
，
D
，
C
四
点
共
圆<
/p>
，
有
BD
?
BC
?
BF
?
BA
，
即
B
D
?
?
B
D
?
D
?
?
F
B
?
A
亦
即
，
?
F
2
2
B<
/p>
F
2
?
B
D
?
B
D
?
DC
?
A
F
?
F
?
< br>B
2
OF
?
，故
OD
OB
?
< br>DF
．同理，
OC
?
DE
．
（
2
）由九点圆定理的推论
1
，知
OH
的中点
V
为
△
DEF
的外心．又由
D
，
E
，
A
，
B
及
< br>D
，
F
，
A
，
C
分别四点共圆，有
M
D
?
M
E
?
M
B
?
M
A
，
ND
?
NF
?
NC
?
NA
．
由此，即知
M
，
N
对
△
ABC
的外接圆与
△
DEF
的外接圆的幂相
等，从而
M
，
N
在这两个外接圆的根
轴上，即有
MN
?
OV
，故
MN
?
OH
．
【解题思维策略分析】
1
．注意题中九点圆的显现形式
例
4
如图
7
?
5
，
△
ABC
中，
O
为外心，<
/p>
H
是垂心，作
△
CHB
，
△
CHA
和
△
AHB
的外接圆，依次记
它们的圆心为
A
1
，
B
1
，
C<
/p>
1
，求证：
△
A
BC
≌
△
A
1
B
1
C
1
，且这两个三角形的九点圆重合．
（
IMO
?
31
预选
题）
A
C
1
B
1
H
K
O
B
M
A
1
图
7-
5
C
证明由于
?
CHB
?
180
?
?
?
90
?
?
?
B
?
?
(90
?
?
?
C
)
?
?
B
?
?
C
?
180
?
?
?
A
，知
△
CHB
外接圆的半径和
△
CAB
外接圆的半径相等，从而，有
A
1
是
O
关于
BC
的对称点．
设
M
是
BC
中点，则知
AH
?
2
OM
，即
AH
?
OA
1
．
又
AH
∥
OA
1
，则连
AA
1
与
OH
的交点
K
为平行四边形
AHAO
的中心，即
AA
1
与
OH
互相平分于
K
．
1
同理，
BB
1
，
从而
△
A
1
B
1
C
1
与
△
ABC
关于
K
中心对称，
故
△
A
1
B
1
C
1
≌<
/p>
△
ABC
．
<
/p>
CC
1
也经过
K
且被它平分，
显然，
K
是
△
ABC
九点圆的圆心．<
/p>
因此，
这个圆关于
K
作中心对称时不变，
它也是
△
A<
/p>
1
B
1
C
1
的九点圆．
例<
/p>
5
如图
7
?
6
，在
△
ABC<
/p>
中，
AD
是
BC
边上的高，
M
，
N
分别是
CA
，
AB
两边的中点，设直线
l
通
过
A
点，且
BC<
/p>
在
l
上的射影为
B
?
C
?
，连
B
?
N
与
C
?
M
交于点
P
．求证：
B
?<
/p>
，
C
?
，
D
，
P
四点共圆，且
其圆心
O
与
P
点均在
△
ABC
的九点圆上．
l
B'
A
O
1
N
< br>2
C
'
M
B
图
7-
6
P
D
C
?<
/p>
??
1
．
证明<
/p>
BB
?
，
CC<
/p>
?
，
ND
，
MD
．
在
Rt
△
AB
?
B
中，
N
为斜边
AB<
/p>
的中点，
令
?
B
AB
?
?
?
1
，
则
?
N
BA
同理，
<
/p>
?
NAD
?
?<
/p>
NDA
，
?<
/p>
MAD
?
?
MD
A
．令
?
CAC
?
?
?
2
，
则
?
MC
?
A
?
?
2
．
于是，
?
NB
?
A
?
?
MC
?
A
?
?
1
?
?
2
?
180
?
?
?
A
< br>，
故
?
MPN
?
180
?
< br>?
?
?
NB
?
A
?
?
MC
?
A
?
捡便宜-琉璃砖
捡便宜-琉璃砖
捡便宜-琉璃砖
捡便宜-琉璃砖
捡便宜-琉璃砖
捡便宜-琉璃砖
捡便宜-琉璃砖
捡便宜-琉璃砖
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