大数字-净胜球
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第五章习题答案
1.
已知某
10
年期零息票债券兑现值为
1000
，试对收益率为
10%
和
9%
分别计算当
前价格。并说明如果收益率下调
10%
，债券价格上涨
的百分比。
解：
< br>(1)
记
P
为买价，则有价值方
程
:
P
1
(1 +
10%)
10
= 1000
P
2
(1 +
9%)
10
= 1000
解得
:
P
1
= 385
.
54
元
P
2
= 422
.
41
元
(2)
收益率下降后
P
0
1
(1 + 10%
×
90%)
10
=
1000
P
0
2
(1 + 9%
×
90%)
10
= 1000
解得
:
P
0
1
= 422
.
41
元，上涨百分比
:9
.
56%;
P
0
2
= 458
.
93
元，上涨百分
比
:8
.
65%
。
2.
已知
26
周的短期国债的发行价格为
9600
元，到
期兑现
10,000
元。
1
〕按短期国债计算天数的典型方法计算贴现率；
2
〕假定投资期恰为半年，计算年收益率。
解：
(1)
由短期国债的定价公式
10000(1
?
Y
d
t
360
) = 9600
解得：
Y
d
= 7
.
91%
(2)
由定义设年换算收益率为
i
，则：
9600(1 +
i
)
1
=
10000
解得：
i
=
8
.
51%
3.
< br>短期国债的贴现率均为
8%
，计算
52
周国债与
13
周短期国债的年利率之
比。
52
周实际天数已经超过
360
，如何处理；年利率之比是指等价年利率之比还
是贴现率的比。
4.
某
10
年期面值为
100<
/p>
元的债券半年名息率
10%
，
到期兑现
105
元，
如果
收益率为
半年换算
8%
，计算债券的买价。
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解：
由基本公式：
P
=
Fra
n
p
i
+
Cv
n
= 100
×
5%
×
13
.
5903 + 105
×
1
.
04
?
20
=
115
.
87
2
5.
由债券价格计算公式，给出以下导数的计算公式，并解释
其含义。
1)
?
P
?
i
,
?
P
?
n
和
?
P
?
g
2)
?
n
?
P
和
?
n
?
P
解：
(1.1)
由基本公式对
i
求导：
?
P
?
i
=
F
r
(
Da
)
n
p
i
?
nP
(
n
+
1
, i
)
<
0
解释：债券的买价随着年限的增加而递减。
< br>(1.2)
由基值公式对
n
求导
：
?
P
?
n
=
Cln
(1 +
i
)
i
(
g
?
i
)
v
n <
/p>
解释：当债券溢价出售时，债券的价格是年限的增函数；当债券折价出售
< br>
时，债券的价格是年限的减函数。
< br>(1.3)
由
Makeham
公
式对
g
求导：
?
P
?
g
=
1
i
(
C
?
K
) =
C
i
(1
?
v
n
)
>
0
解释：债券的价格是修正息率的增函数。
(2.1)
由
(1.2)
得由
P
=
Fr
1
?
v
n
i
+
Cv
n
得
n
=
f
(
P, i,
g
) =
ln
iP
?
Fr
iC
?
Fr
ln
v
故
?
n
?
P
=
1
?
P
?
n
=
i
(
iC
?
Fr
)
C
ln(1 +
i
)
·
(
g
?
i
)(
iP
?
Fr
)
解释
:(1)
若
g
>
i
,
当
i
、
g
保持不变时，要使价格增加，期限必然增加；
(2)
若
g
<
i
,
当
i
、
g
保持不变时，要使价格增加，期限必然减少。
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(2.2)
利用链式法则
?
n
?
g
=
?
n
?
P
?
P
?
g
=
i
(
C
?
P
)
ln(1 +
i
)
·
(
g
?
i
)(
iP
?
Fr
)
解释
:(1)
若
g > i
,
当
P
、
i
保持不变时，增加
g
，即减少兑现值，期限必然增
加；
(2)
若
g <
i
,
当
P
、
i
保持不变时，增加
g
，即增加兑现值，期限必然减少。
6.
两种面值为
100
元，
半
年名义息率
8%
的债券以面值出售。
债
券甲在
5
年后到期，
债券乙在
10
年后到期，
兑现
值均为面值。
如果市场利率突然上升至半年换算名利
率
10%
，分别计算两种债券的价格变化百分比
，并对你的结果给出一般的解释。
解：
1)
记
P
i
为买价
:
P
1
= 4
a
10
p
4%
+ 100
×
(1 +
4%)
?
10
= 100
P
2
= 4
a
20
p
4%
+ 100
×
(1 +
4%)
?
20
= 100
半年换算名利率上升到
5%,
由
F
=
C
得到
g
=
r
,
由溢价折价公式有：
P
1
= 100
×
(1 +
(0
.
04
?
0
.
05)
a
10
p<
/p>
5%
)
=
92
.
27
元
P
2
= 100
×
(1 +
(0
.
04
?
0
.
05)
a
20
p<
/p>
5%
)
=
87
.
53
元
P
1
的变动百分比：
< br>92
.
27
?
< br>100
100
=
?
7
.
73%
P
2
的变动百分比：
< br>87
.
53
?
< br>100
100
=
?
12
.
47%
2)
价格变动的百分比
η
一般可以写成
:
η
=
P
0
?
P
P
=
(
g
?
i
)
a
n
p
i
?
?
η
?
n
=
(
g
?
i
)
i
ln
(1 +
i
)
v
n
题目中是
g <
i
从而变动百分比是在数值上依年限递减的。
7.
两种面值均为
1000
元，期限相同均以面值兑现的债券，半年实际收益率均
为
4%
。第一种债券的半年实际息率为
5%
，价格为
1136.78
；第二种债券的半年实
际息率为
2.
5%
，计算第二种债券的价格。
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解：
Fr
=
Cg
,
由
F
=
C
得到
g
=
r
.
由溢价折价公式：
第一类债券的价格：
1136
.
78 = 1000
×
(1 +
(0
.
05
?
0
.
04)
×
a
n
p
4%
?
得：
a<
/p>
n
p
0
.
04
=
13
.
678
第二类债券的价格：
P
= 1000
×
(1 + (0
.
025
?
0
.
04)
a
n
p
4%
)
= 1000
×
(1
?
0
.
015
×
13
.
678)
= 794
.
83
元
8.
面值
< br>1000
元的债券，半年名息率
9%
，经过一定时间后以
1125
元兑现。已知半
年
换算收益率
10%
，依此计算的兑现值的现值为
225
元。计
算债券的价格。
解：
g
=
Fr
C
=
1000
×
4
.
5%
1125
= 4%,
由
Makeham
公式：
P
=
K
+
g
i
(
C
?
K
) =
945
元
9.
某
n
年期债券面值
1000
元，面值兑现，每年息票
100
元，买价为<
/p>
1110
元。已
知
K
=
450
，计算基值。
解：
由溢价折价公式：
i
=
g
(
C
?
K
)
P
?
K
=
1000
?
450
×
10%
1110
?
450
=
0
.
0833
由
Gi
=
Fr
得
G
=
1000
×
10%
0
.
0833
= 1200
10.
某人现有面值
1000
元的
10
年期债券，半年息率
10%
，半年名收益率
7%
，面值
兑现。若以相同
的收益率考虑购买半年息率
6%
以面值兑现的八年期债券。计算
八年期债券的面值
?
解：
由溢价折价公式：
C
1
[1 +
(
g
1
?
i
)
a
n
1
p
i
] =
C
2
[1 +
(
g
2
?
i
)
a
n
2
p
i
]
得：
C
2
=
1000
×
[1 + (5%
?
3
.
5%)
a
20
p
3
.
5%
]
1 + (3%
?
3
.
5%)
a
16
p
3
.
< br>5%
=
1291
.
31
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11.
年债券面值
1000
元，面值兑现，半年息率
12%
。债券以半年名收益率
10%<
/p>
买
入。债券的期限延长一倍，买入价增
加
50
元。计算
n
年期债券的买入价。
解：
G
=
Fr
i
=
1000
?
6%
5%
= 1200
由基值公式
P
=
G
+ (
C
?
G
)
v
n
，
期限为
n
，则
P
= 1200
?
200
v
n
期限为
2
n
，则
P
+ 50 = 1200
?
200
v
2
n
解得
P
= 1100
12.
已知一个标准货币单位债券的息率为收益率的
1.5
倍，溢价差为
p
；另有一
个
标准货币单位的债券的息率为收益率的
75%
，计算其价格。<
/p>
解：
标准货
币单位债券即面值为
1
，由折价溢价公式，
P
1
= 1 +
p
= 1 +
(1
.
5
i
?
i
)
a
n
p
i
?
解得：
i
a
n
p
i
= 2
p
则
P
2
= 1 +
(0
.
75
i
?
i
)
a
n
p
i
= 1
?
0
.
5
p
13.
已知定期债券的溢价差为
5<
/p>
元，实际利息收入占息票的
75%
，计算
息票值。
解：
(1
?
75%)
Fr
= 5
解得：
Fr
=
20
元
14.
某
10
年期半年付息票的债券按半年名收益率
9%
认购。
如果已知倒数第二次息
< br>
票中折价差部分的金额为
8
元
，计算摊还表中前四年折价累计额的总和。
解：
已知
C
(
g
?
i
)
v
2
= 8
则前四年折价累计额的总和为：
S
=
C
(
g
?
i
)(
v
20
+
v
19
+
·
·
·
+
v
13
)
=
C
(
g
?
i
)(<
/p>
a
20
p
4
.
5%
?
a
12<
/p>
p
4
.
5%
)
=
33
.
98
15.
现有面值
1000
的
5
年期债券，半年名息率
10%
，面值兑现，以
半年名收益
率
12%
折价认购。计算摊还表中利息部分的和。
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解：
由溢价折价公式，
P
= 1000
×
[1 + (5%
?
6%)
a
10
p
6%
] =
926
.
399
则实际利息为
I
=
nFr
?
(
P
?
C
)
= 10
×
1000
×
5%
?
(926
.
399
?
1000)
= 573
.
6
16.
用直线法分别计算表
5-4<
/p>
和表
5-5
的债券帐面价值。
解：
直线法：
B
t
=
P
?
(
P
?
C
)
t
n
P
t
=
P
?
C
n
I
t
=
Fr
?
P
t
t 0 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
B
t
114.88 114.136 113.392 112.648 111.904
111.16 110.416 109.672 108.928 108.184 107.44
B
t
87.54 88.163
88.786 89.409 90.032 90.655 91.278 91.901 92.524
93.147 93.77
t 11 12 13 14 15 16 17 18
19 20
B
t
106.696
105.952 105.208 104.464 103.72 102.976 102.232
101.488 100.744 100
表
5-4
B
t
94.393 95.016
95.639 96.262 96.885 97.508 98.131 98.754 99.377
100
表
5-5
17.
证明：
B
f
t
+
k
=
(
B
t
+1
+
Fr
)
v
1
?
t
.
证明：
B
t
+1
=
B
t
(1 +
i
)
?
Fr
则
B
t
=
(
B
t
+1
+
Fr
)
v
所以
B
f
t
+
k
=
B
t
(1 +
i
)
k
=
(
B
t
+1
+
Fr
)
v
1
?
k
18.
运用三种方法计算表
5.3<
/p>
中债券在认购两个月后的平价，
应计息票和市场价。
解：
理论法：
B
f
k
=
B
0
(1 +
i
)
k
=
87
.
54
×
(1 + 5%)
1
3
=
88
.
98
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Fr
k
=
Fr
(1 +
i
)
k
?
1
i
= 100
×
4%
×
(1 + 5%)
1
3
?
1
5%
= 1
.
31
B
m
k
=
B
f
k
?
Fr
k
= 88
.
98
?
1
.
31 =
87
.
67
实用法：
B
f
k
=
B
0
(1 +
ik
)
=
87
.
54
×
(1 + 5%
×
1
3
)
= 89
Fr
k
=
kFr
=
1
3
×
100
×
4% = 1
.
33
B
m
k
=
B
f
k
?
Fr
k
= 89
?
1
.
33 =
87
.
67
半理论法：
B
f
k
=
88
.
98
Fr
k
=
1
.
33
B
m
k
=
87
.
65
19.
面值
100
元的
12
年期债券半年名息率
10%
，已知认购价为
110
元。计算半年名
收益率。
与原答案有出入！
解：
由溢价折价公式：
P
=
C
(1 +
(
g
?
i
)
a
n
p
i
)
面值兑现
C
=
100
, n
= 24
, g
=
r
=
5%
, P
= 110
解得：
i
= 4
.
356%
从而
i
(2)
= 8
.
712%
20.
如果练习
19
中的债券的息票收入只能以半年名利率
7%
进行再投资
，
重新计算
收益率。
解：
P
(1
+
i
(2)
2
)
24
=
Frs
24
p
3
.
5%
+ 100
即
110(1 +
i
(2)
2
)
24
= 100
×
5%
s
24
p
3
.
5%
+ 100
解得
i
(2)
=
8
.
04%
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21.
现有两种
20
年债券：
每半年付息票一次，
以面值兑现，
收益率相同。
第一种
债
券面值
500
元，息票
45
元
；第二种债券面值
1000
元，息票
3
0
元。已知第一种债券
的
溢价差为第二种债券折价差的两倍。计算两种债券的半年名收益率。
解：
第一种债券：
r
=
g
=
0
.
09
。
P
1
?
C
1
= 500
×
(0
.
09
?
i
)
a
40
p
i
?
第二种债券：
r
=
g
=
0
.
03
。
P
2
?
C
2
= 1000
×
(0
.
03
?
i
)
a
40
p
i
?
由题意：
(0
.
09
?
i
)
a
40
p
i
=
4(
i
?
0
.
03)
a
40
p
i
?
解得：
i
(2)
= 8
.
4%
22.
面值
100
< br>元的债券每年付息票，
15
年后按面值兑现。已知当收益
率比息率
高
1%
时，认购价格为
92
元。计算收益率。
解：
由溢价折价公式，
92 = 100
×
[1 + (
?
1%)
a
15
< br>p
i
]
解得
i
= 9
.
13%
23.
面值
100
< br>元、
半年名息率
10%
的债券，
在第一次息票领取之后的价格为
110
元，
如果剩余的息票领取次数分别为
2
，
5
，
10
，
20
和
30
，计算半年名收益率。
解：
24.
面值
1000
元的早赎债券，半年名息率
8%
，在认购后
10
年到
15
年间按面值兑
现
。分别对半年名收益率
6%
和
10%<
/p>
两种情况计算债券价格。
解：
当
i
(2)
= 6%
时，
i < g
，那么在第
10
年兑现。由溢价折价公式
P
= 1000
×
[1 + (4%
?
3%)
a
20
p
3%
] =
1148
.
77
当
i
(2)
= 10%
时，
i > g
，那么在第
15
年兑现。由溢价折价公式
P
= 1000
×
[1 + (4%
?
5%)
a
30
p
5%
] =
846
.
28
25.
如果练习
24
中第二种情况的债券实际上在第
10
年底赎回，计算实际收益
率。（改题）（收益率是半年的吗？
解答给出的是半年的
）
北京大学数学科学学院金融数学系第
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解：
设半年实际收益率为
i
，由基本公式得
846
.
28 = 1000
×
4%
a<
/p>
20
p
i
+
1000
v
20
解得
i
=
5
.
26%
26.
某债券面值
1000
元，季换算名息率
8%
，可以在发行后第
5
年开
始赎回。如果
该
债券在第
10
年底以面值兑现，认购价格可以保证季换算名收益率
< br>6%
。为了保证
相同的收益率
，计算债券在第
5
年底赎回时的数值。
解：
设
P<
/p>
为认购价，由溢价折价公式：
P
= 1000(1 + (2%
?
1
.
5%)
a
40
p
1
.<
/p>
5%
)
P
=
C
0
(1 + (
g
?
1
.
5%)
a
20
p<
/p>
1
.
5%
)
其中：
g
=
Fr
C
0
0
解得：
C
= 1085
.
84
< br>元
27.
某
< br>10
年期面值
1000
元的债券
，半年名息率
4%
。可以在第
4
年底到第
6
年底
<
/p>
以
1050
元提前赎回；在第
7
年底到第
9
年底以
1025
元提前赎回；
10
年到期以面
值兑现。为了保证半年名收益率
5%
，计算投资者可接受的最高认购价格。
解：
g
=
Fr
C
当
n
介于
4
和
6
之间时有：
g
=
1
.
905%
P
= 1050(1 +
(1
.
905%
?
2
.
5%)
a
n
p
2
.
5%
)
maxP
= 1005
.
205
(
n
= 4)
minP
= 985
.
38
(
n
= 6)
当
< br>n
介于
7
和
9
之间时有：
g
=
1
.
951%
P
= 1025(1 +
(1
.
951%
?
2
.
5%)
a
n
p
2
.
5%
)
maxP
= 959
.
212
(
n
= 7)
minP
= 944
.
08
(
n
= 9)
当
< br>n
等于
10
时有：
g
= 2%
P
=
1000(1 + (2%
?
2<
/p>
.
5%)
a
n<
/p>
p
2
.
5%
)
P
= 922
.
05
< br>从而可接受的最高认购价为：
922.05
元。
北京大学数学科学学院金融数学系第
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28.
某面值
1000
元的债券，半年名息率
6%
，可以在发行后的第
5
< br>年开始提前以面
值赎回，
在早
赎条款下，
以保证半年名收益率
7%
的
价格发行。
如果
10
年兑现，
为
了仍然保证
7%<
/p>
的收益率，兑现值为
1000+
X
。计算
X
。
解：
Fr
=
Gi
，则
G
=
1000
?
3%
3
.
5%
=
857
.
14
由基值公式
G
+ (
C
1
?
G
)
v
n
1
=
G
+
(
C
2
?
G
)
v
n
2
即
(1000
?
857
.
14)
×
(1 + 3
.
5%)
?
10
= (1000 +
X
?
857
.
14)
×
(1 + 3
.
5%)
?
20
解得
X
=
58
.
66
29.
面值
10,000
元的系列债券，在未来
5
年内，每半年兑现
1000
元本金。每半年
以
名利率
12%
按余额付利息一次。半年名收益率
8%<
/p>
，计算可接受的认购价格。
解：
把
10
000
元分拆成
10
个
1000
元的债券，面值兑现：
g
=
r
=
6%
, i
=
4%
，兑
现
值的现值：
K
= 1000
a
10
< br>p
6%
= 8110
.
9
< br>由
Makeham
公式有：
P
=
8110
.
9 +
6%
4%
×
(1000
?
8110
.
9)
= 10944
.
55
30.
面值
10,000
元的系列债券在发行后第
6
年年底第
25
年底每年兑现
500
元
本金。
以年利率
6%
每年按余额付利息一次。如果以收益率
10%
进行投资
，计算可以接受
的认购价格。
解：
面值兑现
g
=
r
= 6%
i
= 10%
K
=
500(
v
6
+
v
7
+
·
·
·
+
v
25
) =
2643
.
13
C
= 20
×
500 = 10000
由
Make
ham
公式有：
P
= 2643
.
13 +
0
.
06
0
.
1
×
(10000
?
2643
.
13) =
7057
.
252
31.
面值
100,000
元的系列债券在发行后按以
下方式兑现：第
5
，
8
和
11
年底兑
现
10,000
元本金；
第
14
和
17
年
底兑现
20,000
元本金；
第
20
年底兑现
30,000
< br>元本金；
已知收益率为息率的
1.25
倍，
两者均为半年名义值。
用
年金函数表示这个系列债
券的现值。
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解：
总的兑现值：
C
= 3
×
10000 + 3
×
20000 + 30000 = 100000
兑现值的现值：
K
=
10000[
v
10
(1 +
v
6
+
·
·
·
) +
v
28
(1 +
v
6
+
v
12
) +
v
40
]
=
10000(
v
10
1
?
v
36
1
?
v
6
+
v
28
1
?
v
18
1
?
v
6
+
v
40
1
?
v
6
1
?
v
6
)
=
10000
3
a
4
6
p
?
a
4
0
p
?
a
2
8
p
?
a
2
0
p
a
6
p <
/p>
由
Makeham
公式有
:
P
=
K
+
g
i
(
C
?
K
)
= 80000 + 2000
3
a
4
6
p
?
a
4
0
p
?
a
2
8
p
?
a
2
0
p
a
6
p
32.
面值
78,000
元的系列债券以
4%
年利率计算利息。并从发行的
第
5
年底开始兑
现本金：第
5
年底
12,000<
/p>
元；第
6
年底
1
1,000
元，依此类推，直至全部兑现。为了
保
证
5%
的年收益率，计算
债券的认购价格。
解：
由计算可知，还款至第
16
年底结束。
那么，兑现值的现值为
K
0
= 1000(
Da
)
12
p
5%
v
4
由<
/p>
Makeham
公式
P
< br>0
=
K
0
+
4%
5%
(78000
?
K
0
) =
72722
.
4
33.
已知
10
年期债券的半年名息率为
12%
，面值
1000
元，兑
现值为
1050
元，试用
券
商算法计算半年名收益率。
默认平价购买
解：
折价差
k
=
P
?
C
C
=
1000
?
1050
1050
=
?
0
.
04762
修正息率
g
=
1000
1050
×
6%
由券商算法，半年换算实利率为：
i
=
5
.
71% +
0
.
2381%
1
?
2
.
381%
= 6
.
03%
半年换算名利率：
i
(2)
= 12
.
06%
34.
某
10
年期面值
1000
元的债券，
到期以
面值兑现，
季换算息率
8%
，
半年名收益
率
6%<
/p>
。计算债券的认购价格。（下面计算缺个命令）
解：
由基本公式
P
= 2
×
1000
×
2%
a
(20)
20
j
3%
+ 1000
v
20
= 1153
.
21
北京大学数学科学学院金融数学系第
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35.
某
n
年期面值
100
元的债券，到期以
105
元兑现，半年
换算息率
4%
，年实收益
率
为
i
。如果债券价格可
以表示为
Av
n
+
B
i
(2)
。计算
A
和
B
。
与原答案有出入
解：
由基本公式
P
= 2
Fra
(2)
n
j
i
+
Cv
n
=
2
×
100
×
2%(1
?
v
n
)
i
(2)
+
105
v
n
=
(105
i
(2)
?
4)
v
n
+
4
i
(2)
则
A
=
105
i
(2)
?
4
，
B
= 4
36.
某
< br>20
年期面值
1000
元的债券
，到期以面值兑现，前
10
年息率
5%
，后
10
年息
率
4%
。以收益率
i
(4)
认购，给出认购价格的表达式。
< br>
解：
息票看成是一个
40
次的每次
40
元
的期末年金和一个
20
次的每次
10<
/p>
元的期末
年金。则息票的现值为：
1
s
4
p
(40
a
8
0
p
+
10
a
4
0
p
)
基本公式：
P
=
1000
v
8
0 +
40
a
8
0
p
+
10
a
4
0
p
s
4
p
37.
10
年期债券，每年的息票为：
10
，
9
，
8
，<
/p>
......
，
1
，到期兑现
100
元。如果
认购的<
/p>
收益率为
i
，
给出以下各种量的表达式：
1
）第
5<
/p>
次息票收入中的利息；
2
）第
5
次
息
票收入中的帐面价值摊还量。
解：
第
5<
/p>
次息票为
6
元
（
1
）
B
4
= (
Da
)
6
p
i
+
100
v
6
=
100
v
6
+
6
?
a
6
j
i
i
则
I
5
=
iB
4
=
100
iv
6
+ 6
?
a
6
p
i
?
（
2
）
P
5
= 6
?
I
5
=
a
6
p
i
?
100
iv
6
38.
面值
100
< br>元的债券，
半年实际息率
3%
，
兑现方式为：
第
9
年底兑现
51
元；
第
10
年
底兑现
50
元。证明债券的认购价格可以表示为：
3
a
(2)
10
j
+ [101 +
51
i
?
1
.
5
s
(2
)
1
j
]
v
10
北京大学数学科学学院金融数学系第
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证：
兑现本金的现值：
51
v
9
+
50
v
10
息票的现值：
3
a
(2)
10
j
?
3
s
(2)
1
j
v
10
+ 1
.
5
s
(2)
1
j
v
10
整理得：
P
=
a
(2)
10
j
+ [101 +
51
i
?
1
.
5
s
(2
)
1
j
]
v
10
39.
某种优先股票第
1
年底分红
10
元，
然后每
年以
5%
比例递增。
如果
i
=12%
，
相当
于每年平均分红额为多少？
解：
由优先股票价值公式
Fr
12%
=
10
12%
?
5%
Fr
=
17
.
1
40.
< br>某普通股票每年年底分红。已知上一年底每股利润
6
元，
以后每年以
8%
比例
递增，同时在今后
5
年内红利在利润中所占的比例为<
/p>
0
，然后增为
50%
。如果投资
收益率
15%
，计算股票的理论价格。
解：
第
6<
/p>
年底分红为
6(1 + 8%)
6
×
50%
，则
P
=
6(1 + 8%)
6
×
50%
15%
?
8%
v
5
= 33
.
8
41.
某普通股票的认购价格为当前利润的
< br>10
倍。在前
6
年尽管利润以<
/p>
(
原题中
的<
/p>
60%
改为
)6%
的比例增长，但是股票认购人不参加分红。在第
6
年底股票以
利
润的
15
倍的价格售出。计算投资者的年收益率。
解：
设当前利润为
< br>1
，则有价值方程
10(1
+
i
)
6
= 15(1 + 6%)
6
解得
i
=
13
.
41%
42.
某养老基金在
5
年前投资
1
,000,000
元购买公司债券：每份面值
1000
元，期
限
20
年，年息率
4%
，共计
1000
份；另投资
1,000,000
元于某种优先股票
10000
股，
每
股面值
100
元，年红利
6%
。目前，每份债券价格
900
元，股票每股价格
115
元
。按
照
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以下几种情况，
计算该养老基金目前的资产总额：
1
）按市场价值计算；
2
）按帐
面
价值计算；
3
）债券按帐面价值计算，股票按
市场价值计算；
4
）所有资产按收益
率
5%
的现值计算。
< br>
解：
此题有问题
43.
面值
1
元的债券在发行后的第
11
年底到第
25
年底每年付息票
g
。
在第
25
年底兑
现
1
元，收益率
i
，修正后的
< br>Makeham
公式为：
K
0
+
g
i
(
C
0
?
K
0
)
，给出
K
0
和
C
0
的表
达式。
解：
由基本公式
P
=
ga
15
p
i
v
10
+
v
25
=
g
1
?
v
15
i
v
10
+
v
25
=
v
25
+
g
i
(
v
10
?
v
25
)
则
C
0
=
v
10
，
K
0
=
v
25
44.
面值
100
元的
12
年期债券连续息率
9%
，
如
果年收益率
i
等于连续利率，
试用表<
/p>
示债券的认购价格。
解：
P
=
∫
12
0
100
×
9%
e
?
δ
t
dt
+ 100
e
< br>?
12
δ
=
9(1
?
e
?
12
δ
)
δ
+ 100
e
?
12
δ
45.
面值
1
元的债券认购价格
1+
p
，如果息率
减少一半，价格变为
1+
q
；如果息率
加倍，价格变为
1+
Ap
+
Bq
；计算
A
和
B
。
解：
由基值公式得
1 +
p
=
K
+
g
i
(
C
?
K
)
，
1 +
q
=
K
+
0
.
5
g
i
(
C
?
K
)
，那么
P
= 1 +
Ap
+
Bq
=
K
+
2
g
i
(
C
?
K
)
= 1
?
2
q
+ 3
p
所以
A
= 3
B
=
?
2
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46.
某企业发行
5
年期息率
6%
的债券，年收益率
4%
。如果该
企业计划发行另一种
息率
5%
的债券替换前者。如果收益率不变，后一种债券的期限为多少。
解：
面值兑现：
P
= 0
.
06
Fa
5
p
4%
+
Fv
5
P
= 0
.
05
Fa
?
p
4% +
Fv
n
联立解得：
n
=
11
.
23
47.
面值
1000
元的
20
年期债券每年付息票，
第
20
年兑付的利息等于同期本金调整
量的
70%
，如果息率比收益率多
3
个百分点。计算债券的最初认购价格。
解：
由摊换表知，第
20
年本金调节量为
1000
×
(
g
?
i
)
v
，
则
70%
×
1000
×
(
g
?
i
)
v
=
1000
g
?
1000(
g
?
i
)
v
解得
i
= 2%
所以
P
= 1000(1 + 3%
a
20
p
2%
) =
1490
.
54
48.
面值
1000
元的
20<
/p>
年期债券，
半年名息率
8%
，
认购价格
1014
元。<
/p>
如果息票收入
可以再投资于半年名利率
6%
的项目。计算认购者的年收益率。
解：
设年收益率为
< br>i
，则
1014(1 +
i
)
20
=
40
s
40
p
3%
+ 1000
i
=
7
.
12%
49.
现有甲乙两种
n
年期面值
10
00
元的息票债券，
以相同的收益率定价。
具体为：
甲债券半年名息率
14
%
，
买价
1407.76
；
乙债券半年名息率
12%
，
买价
1271.80
。
计
算实际收益率降低
1<
/p>
个百分点时，甲乙两种债券自身价格的变化率（新旧价格之
差与旧价格之比）。
解：
由基本公式得
1407
.
76 =
70
a
n
p
i
+ 1000
v
n
，
1271
.
8 =
60
a
n
p
i
+
1000
v
n
解得
i
= 4%
n
= 20
那么当
i
=
3%
时
P
‘
= 7
0
a
20
p
3
%
+ 1000(1 +
3%)
?
20
= 1595
.
1
，
k
‘
=
13
.
3%
P
= 60
a
20
p
3%
+ 1000(1 + 3%)
?
20
= 1446
.
33
< br>，
k
=
13
.
7%
北京大学数学科学学院金融数学系第
15
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50.
1985
年
5
月
1
日以
5%
年收益
率和
5.375%
的年息率发行债券，
计划于
2000
年
5
< br>月
1
日
以
1.1
倍的面值兑现。计算从
19
90
年
5
月
1
日至
1991
年
5
月
1
日的一年中对账面价值
的上调量（以面值为单位）。
解：
设面值为
F
B
5
= 5
.
375%
Fa
10
< br>p
5%
+ 1
.
1
F
v
10
B
6
= 5
.
375%
Fa
9
p
5%
+
1
.
1
Fv
9
账面价值上调量为
B
6
?
B
5
=
0
.
00077
F
北京大学数学科学学院金融数学系第
16
页
_
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第六章习题答案
1
现有期限为
18
个月的贷款，融资费用为贷款额的
12%
，还款方式为逐月偿还。
计算该贷款的
APR
。
解：
由题意得
K
=
0
.
12
×
L
,
利用
K
+
L
18
×
a
18
p
j
￢
=
L
?
j
=
1
.
22%
于是
APR
= 12
×
j
=
14
.
64%
2
< br>某金融机构的贷款方式为：每
100
元的期限为
16
个月的贷款，每月需偿
< br>还
7.66
元。计算贷款实利率。
解：
由题意得
100 =
7
.
66
×
a
16
p
j
￢
?
j
=
0
.
025
于是
APR
= 12
×
j
=
30%,
实利率
i
= (1 +
j
)
12
?
1 =
34
.
49%
3
< br>现有
1
年期的
12000
元贷款，可以在以下两种偿还方式中任选一种进行还
贷：
（
A
）在贷款获得批准时
，支付
1000
元融资费用，每月偿还
1000
元；
（
B
）以
i
(12)
= 12%
的利率逐月摊还。
（
1
）计算两种方式的
APR
；（
2
）计算两种方式的利
息差。
解：
(1)
1000
a
12
p
j
￢
j
=
12000
?
1000
?
j
≈
1
.
3647%
?
APR
= 16
.
38%
北京大学数学科学学院金融数学系第
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(2)
A
方式的利息差
K
= 1000
，
B
方式的利息差为
12
R
?
L
= 12
·
12000
a
12
p
j
￢
j
?
12000
= 794
.
26
元
4
某人走访了三家银行了解
汽车贷款的报价，其中还款方式为两年内逐月偿
还。第一家银
行每月偿还
X
，融资费用为原始贷款额与还贷年限的乘积再乘<
/p>
以
6.5%
；
第二家银行每月偿还
Y
，实利率为
12
.6%
；第三家银行每月偿还
Z
，月<
/p>
换算名利率为
12%
< br>。试比较
X
，
Y
和
Z
的大小。
解：
第一家银行：
K
= 2
×
6
.
5%
×
L
=
24
×
X
?
L
解得
X
=
4
.
708%
×
L
第二家银行：由
L
=
Y
×
a
24
p
j
￢
以及
(1
+
j
)
12
= 1
.
126
解得
Y
=
4
.
703%
×
L
第三家银行：由
L
=
Z
×
a
24
p
1%
￢
解得
Z
= 4
.
707%
×
L
故
X > Z > Y
5
一种年利率为
12%
的
8000
元贷款通过下面的
3
次还款偿
还：
3
月底还
2000
元；
9
月
< br>底还
4000
元；
12
月底还
X
。试分别用美国计息法和商人计息法计
算
X
。
解：
美国计息法
3
月底
8000
×
(1 + 12%
×
3
12
)
?
2000 = 6240
元
9
月底
6240
×
(1 + 12%
×
6
12
)
?
4000 = 2614
.
4
元
12
月底
2614
.
4
×
(1 + 12%
×
3
12
)
?
X
= 0
元
X
= 2692
.
83
< br>元
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商人计息法
8000
×
(1 + 12%)
?
2000
×
(1 + 12%
×
9
12
)
?
4000
×
(1 + 12%
3
12
)
?
X
=
0
?
X
= 2660
元
6 6
解：
精算方法
[10000
×
(1 + 10%)
?
500]
×
(1 + 10%) =
11550
元
美国计息法
500
<
10000
×
10% = 1000
∴
第二年底应还款
(20000
?
10000)
×
(1 + 10%) =
11000
元
7
< br>某家庭计划购买一套价值
160000
元的住房，首期支
付房款的
25%
，余款
以
30
年
9%
的利率抵押贷款付清。如果结算日为
9
月
16
日，融资费用为两个
点，其中
1.5
个点计入摊还利息，计算本年度内偿还利息的
总合以及
APR
。
解：
“
其中
1.5
个点计入摊还利息
”
如何理解？
8
某
15
年的抵押贷款，原计划内月偿还
100
0
元，按月计息。实际上，除了每月
的正常还款外，借款人每月还多还一定金额，这部分恰好等于下一次正常
还款的本金。因此，只过了
90
个月，贷款提前还清
。证明：节省的利息为
(90000
?
1000
a
¨
18
￢
0
p
s
￢
2
p
)
元。
证：
每次多还了下一次正常还款的本金，
∴
每次相当于正常的两次还款
∴
利息节省了原正常还款中第
2
,
4
·
·
·
180
次时的利息
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∴
总共节省
i
(1000
×
(
a
179
p
i
￢
+
a
177
p
i
￢
+
·
·
·
+
a
1
p
i
￢
))
=1000
×
(1
?
v
179
+ 1
?
v
177
+
·
·
·
1
?
v
1
)
=90000
?
1000
v
1
?
v
180
1
?
v
2
9
某
建筑承包商获得总额为
2000000
元的建筑贷款，
分
3
次拨款：
当前可得
1000000
元，
然后每隔
6
个月得到
5000
00
元，利息按半年换算名利率
15%
计算，直至第
1
年
< br>底。从第
1
年底开始，所有的累积本金和利息按
30
年月换算名利率
12%
的抵押
贷款看待。已知还款方式为：
（加上条件：期末付款）
，前
5
年
的月偿还金额为
以后各年的一半。计算第
12
次偿还的金额。
解：
设第一年底为比较日，前
5
年每次
X
元
1000000
×
(1 +
15%
2
)
2
+ 500000
×
(1 +
15%
2
) + 500000
= 2
Xa
360
p
1%
￢
?
Xa
60
p
1%
￢
?
X
=
14671
.
54
元
< br>
∴
第
12
次偿还
14671
.
54
元。
10
已知
100000
元的贷款计划
30<
/p>
年内按年度偿还，年利率为
8%
，结算日
支付的融
资费用为贷款额的
2%
，且融资费用不计入贷款。实际上，在第
2
年底的正常
还款后，借款人将余额一次性还清。考虑融资费用
和提前还贷因素计算该贷
款的实际年利率
解：
设原计划每年还款为
R
由
L
=
R
×
a
30
p
8%
￢
?
R
=
8882
.
74
于是
B
2
=
R
×
a
28
p
8%
￢
= 98163
< br>.
89.
现在
L
¤
= 100000
×
(1
?
2%) = 98000
利用
98000 =
R
×
a
(
p
i
￢
2) +
B
2
(1 +
i
)
2
?
i
=
9
.
14%
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11
现有
10
年期可调利率抵押贷款，每季度偿还<
/p>
1000
元，最初的季换算名利率
为
12%
，从第
1
3
次还款后开始季换算名利率调整为
14%
。计算第
24
次还款后
的未结贷款余额。
解：
利息调整后，还款期限不变，调整还款额。第
24
次还款后未结余额为：
1000
a
27
p
3%
￢
a
27<
/p>
p
3
.
5%
￢
a
16<
/p>
p
3
.
5%
￢
= 12822
< br>.
94
元
12
现有
30
年期
100000
元抵押贷款按以下方式偿还：前
5
年每年底的偿还金额
比前
1
年增加
5%
，从第
6
年开始还款金额固定为第
5
年的还款金额，实利率
为
9%
。（
1
）计算第<
/p>
1
年底的偿还金额；（
2
）是否会出现负摊还的情况
?
解：
(1)
设第一年底的偿还金额为
R
。由题意得
100000 =
R
×
1
?
(1+5%)
5
(1+9%)
5
9%
?
5%
+
R
×
1
.
05
4
×
a
25
p
9%
￢
1
.
09
5
?
R
=
8317
.
8
(2)
会出现负摊还的情况，因第一年
R <
I
1
= 9000
13
某家庭购买了
120000
元的住房，首期付款
15%
。假定该家庭在
10
年前已经申
请了
600
00
元年利率为
8%
的
30
年期抵押贷款。现在开始修正这笔贷款，仍然
<
/p>
按原计划的时间偿还，但是年还款额以年利率
10%
计算。计算总的年还款
额。
解：
利息调整后，还款期限不变，设调整前每期还款
R
元，调整后每期还款额
为
X
Ra
3
0
p
8%
￢
= 60000
?
R
= 5329
.
< br>65
元
Xa
< br>20
p
10%
￢
=
Ra
20
p
8%
￢
?
X
= 6146
.
< br>34
元
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14
某退休夫妇拥有一套价值
100000
元的住房
。若将此住房用于月换算名利率
为
1
2%
的年金方式抵押贷款，则该夫妇每月可得退休金
500
元。如果房子本身
以
6%
的比例逐年升值，计算第
5
年
底该夫妇对这套房子拥有的价值。
解：
第五年底该夫妇拥有的这套房子
的价值为：
(
不明白此事件的实际操作过
程
)
100000
×
1
.
06
5
?
500
s
60
p
1%
￢
= 92987
< br>.
7
元
15
现有
1200
< br>元的贷款，融资费用为
108
元，计划在
1
年内按月等额偿还。分别用
四种
APR
的近似方法计算第
4
次还款后的未结贷款余额。
解：
R
=
K
+
L
n
=
1200 + 108
12
= 109
第
4
次还款后未结余额为：
最大收益法
1200
?
4
×
109 =
764
元
最小收益法
1200 + 108
?
4
×
109 =
872
元
固定比率法
1200
×
8
12
= 800
元
直接比率法
(1200 +
108)
×
8
12
?
108
×
36
78
= 822
.
15
元
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16
已知某贷款案直接比率法计算
APR
，且计划在
9
个月内偿还贷款。如果第
2
次
还款中的利息为
2
0
元，计算第
8
次还款中的利息。
解：
由题意得
???
??
20 =
K
×
8
45
I
8
=
K
×
2
45
?
I
8
= 5
17
总额为
690
元的贷款计划在
12
个
月内按月偿还。若前
6
次每次还
50<
/p>
元，后
6
次
<
/p>
每次还
75
元，试用固定比率法近似计算
贷款利率。
解：
L
=
690
，
K
= 50
?
6 + 75
?
6
?
690 =
60
，因此按固定比率法
每次还款中有
K
K
+
L
=
2
25
用于偿还利息，
23
25
用于偿还本金
于是
B
t
=
??
?
690
?
t
×
46
,
0
≤
t
≤
6
414
?
(
t
?
6)
×
69
,
7
≤
t
≤
12
利用
i
12
=
K
Σ
12
t
=1
B
t
?
i
=
14
.
697%
18
如果某贷款用最大收益法计算的
APR
为
20%
，
按最小收益法计算的
APR
为
12.5%
，
试计算用直接比率法的结果。
解：
由最大收益法和最小收益法的公式有
:
????
???
2
mK
(
n
+ 1)
L
?
(
n
?
1)
K
= 20%
2
mK
(
n
+
1)
L
+ (
n
?
1)
K
= 12
.
5%
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解得：
???
??
(
n
+
1)
L
2
mK
= 6
.
5
(
n
?
1)
K
2
mK
=
1
.
5
∴
用直接比率法计算
APR
=
2
mK
(
n
+
1)
L
+
1
3
(
n
?
1)
K
=
1
7
≈
14
.
3%
19
已知某贷款在
5
年内按年度偿还，每次偿还
P
，且此贷款按直接比率法
以年利
率
i
摊还。另有一笔贷款具有相同的还款时间和金额，当时贷款按精算方法
以年利率
5%
摊还。如果第
2
年底两种方法的未结贷款余额相同，计算：
a
< br>5
p
i
￢
解：
<
/p>
设贷款总额为
L
，则按直接比率法，
K
= 5
·
P
?
L
，因此
B
1
2
=
6
15
?
L
+
P
按照精算方法
B
2
2
=
L
×
a
3
p
5%
￢
a
5
p
5%
￢
依题意有
?
?
?
B
1
2
=
B
2
2
L
=
P
×
a
5
p
i
￢
?
a
5
p
i
￢
=
4
.
31
.
20
某资产的折旧期为
10
年，残值为
0
元。如果第
3
年的折旧费为
1000
元，试分别
用偿债基金法（
j=0.05
），直线法和年限总合折旧法计算第
9
年的折
旧费和资
产的最初价值，并说明为什么余额递减法在这里不适用。
解：
n
=
10
, s
= 0
偿债基金法
R
=
A
?
S
s
10
p
5%
￢
D
3
=
R
(1 +
0
.
05)
2
= 1000
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解得：
D
9
=
R
(1 +
0
.
05)
8
= 1340
.
10
元
A
=
11408
.
52
元