hydrogenated-减温器
第七章九点圆定理及应用
【基础知识】
九点圆定理三角形三条
高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，这九点共圆．
如图
7-1
，设
△<
/p>
ABC
三条高
AD
，
BE
，
CF
的垂足分别为
D
，
E
，
F
；三边
BC
，
CA
，
AB
的中点分
别为
L
，
M
，
N
；又
AH
，
BH
，
CH
的中点分别为
P
，<
/p>
Q
，
R
．求证：
D
，
E
，
F
，
L
，
M
，
N
，
P
，
Q
，
< br>R
九点共圆．
A
F
N
O
V
< br>Q
B
L
图
7-
1
P
H
E
M
R
D
C<
/p>
1
证
法
1
连
PQ
，
QL
，
LM
，
MP
，
则
知
LM
∥
BA
∥
QP
，
即
知
L
M
P
Q
< br>为
平
行
四
边
形
．
又
2
LQ
∥
CH
?
BP
∥
LM
，
知
LMPQ
为矩形．从而
L
，
M
，
P
，
Q
四点共圆，且圆心
V
为
PL
与
QM
的
交点．同理，
MNQR
< br>为矩形，从而
L
，
M
，
N
，
P
，
Q
，
R
六点共圆，且
PL
，
QM
，
NR
均为这个
圆的直径．
由
?
PDL
?
?
QEM
?
?
RFN
< br>?
90
?
，知
< br>D
，
E
，
F
三点也在这个圆上．故
D
，
E
，
F
，
L
，
M
，
N
，
P
，
Q
，
R
九点共圆．
1
证法
2
< br>设
△
ABC
的外心为
O
，取
OH
的中点并记为
V
，连
AO
，
以
V
为圆心，
AO
为半径作
V
，如
2
图
7
?
1
．
1
由
VP
∥
OA
，知
P
在
V
上
．同理，
Q
，
R
也在
V
上．
2
1
由
OL
∥
AH
（可由延长
AO
交
△
ABC
的外接圆于
K
，
得
HBKC
为平行四边形，
此时
L
为
KH
的中点，
2
V
H
，
H
P
V
则
OL
为
△
AKH
的中位线即得）
，
知
OL
∥
知
△
O
L
V
≌
△
PH
< br>．
又
O
V
?
1
，
从而
VL
?
VP
=
OA
，
2
且
L
，
V
，
P
共线，故
L
在
V<
/p>
上．
同理，
M
，
N
在
V
上．
由
L
，
V
，
P
共线知
LP
为
V
的一条直径．
MEQ
?
90
?
，
?
NFR
?
90
?
，知
D
，
E
，
F
在
V
上，
又
?
LDP
?
90
?
，
?
故
D
，
E
，
F
，
L
，
< br>M
，
N
，
P
，
Q
，
R
九点共圆．
上述圆通常称为九点圆，
也有人叫费尔巴哈圆或欧拉圆，显然，正三角形的九点圆即为其内切圆．
证法
3
由
Rt
△
CBF
∽
Rt
△
ABD
，有
则
BC
BA
．注意到
L<
/p>
、
N
分别为
BC
、
BA
的中点，
?
BF
BD
BL
BN
，即
BL
< br>?
BD
?
BF
< br>?
BN
，这表明
L
、
D
、
F
< br>、
N
四点共圆（或者联结
NL<
/p>
、
DF
，则由
?
BF
BD
?
B
DF
?
?
BAC
?
?
BNL
知
L
、
D
、
F
、
N
四点共圆）
．同理，
L
、
D
、
E
、
M
及
E
、
M
、<
/p>
F
、
N
分
别四点共圆．
由戴维斯定理，即知
L
、
D
、
E
、
M
、
< br>F
、
N
六点共圆于
?
．
C
< br>H
C
B
CR
CL
，注意
R
、
< br>L
分别为
CH
、
CB
中点，则
，知
R
、
F
、
?
?
C
D
C
< br>F
CD
CF
L
< br>、
D
共圆，即点
R
在圆
?
上．
同理，点
P
、
Q
也在圆
?
上，故九点均在圆
?
上．
又
Rt
△
CHD
∽
Rt
△
CBF
，有
< br>注戴维斯定理指的是：三角形每边所在直线有一对点（可以重合）
，若每两对点同
在一个圆上，则三对
点（六点）均在同一圆上．
事实上，若所说三个圆不重合．则由根轴共点或平行推得三条边共点或平行，这是不可能的，所以三<
/p>
个圆非重合不可，特别地，三角形内切圆是其特殊情形．
由上述定理及其证明，我们可得如下一系列推论：
推论
1
△
ABC
九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，
九点圆的半径是
△
ABC
的外接圆半径的
1
．
2
注
意到
△
PQR
与
△
ABC
是以垂心
H
为外位似中心的位似形，位似比是
H
P
∶
H
A
?
1
∶
2
，因此，可得
推论
2
三角形的九点圆与
其外接圆是以三角形的垂心为外位似中心，位似比是
1
∶
2
的位似形；垂心与
三角形外接圆上任一点的
连接线段被九点圆截成相等的两部分．
注意到欧拉定理（欧拉线）
，又可得
∶
2
，
推论<
/p>
3
△
ABC
的外
心
O
，重心
G
，九点圆圆心
V
，垂心
H
，这四点（心）共线，且
OG
∶
GH
?
1
OG
OH
．
?
GV
HV
推论
4
△
ABC
的九点圆与
△
ABC
的外接圆又是以
△
ABC
的重心
G
为内位似中心，
位似比为
1
∶
2
的位似
形．
事实
上，因
G
为两相似三角形
△
LMN
与
△
ABC
的相似中心，而
△
LMN
的外接圆即
△
ABC
的九点圆．<
/p>
推论
5
一重心
组的四个三角形有一个公共的九点圆；已知圆以已知点为垂心的所有内接三角形有共同
的
九点圆．
【典型例题与基本方法】
例
1
如图
7<
/p>
?
2
，
设
H
为
△
ABC
的垂心，
L
为
BC<
/p>
边的中点，
P
为
AH
的中点．
过
L
作
PL
的垂线交
AB
于
G
，交
AC
的延长线于
K
．求证：
G<
/p>
，
B
，
K
，
C
四点共圆．
<
/p>
GV
∶
VH
?<
/p>
1
∶
3
，或
O
和
V
对于
G
和
H
是调和共轭的
，即
A
F
N
G
B
V
O
L
D
图
7-
2
P
H
E
M
C
证明设
△
ABC
的外心为
O
，连<
/p>
OH
，取
OH
的
中点
V
，
则
V
为
△
ABC
九点圆的圆心．
O
< br>∥
P
V
N
?
A
G
连
A
O
，
则
A
，<
/p>
从而
AO
?
GK
．
设
N
为
AB
的中点，
连
O
N
，
则
O
，<
/p>
由此知
?
AON
?
?
AGL
．
又
?
ACL
?
?
AON
，则
?
ACL
?
?
AGL
．
从而
?
BGL
?
?
BGK
?
?
KCL
< br>?
?
KCB
．故
B
，
K
，
C
，
G
四点共圆．
例
2
试证：
△
ABC
的垂心
H
与其外接圆上的点的连线被其九点圆平分．
证明
如图
7
?
3
，
过垂心
H
作
△
ABC
外接圆的两条弦
DE
，
FG
，连
DF
，
EG
．
D
A
M
H
F
B
图
7-
3
T
G
C
S
N
E
设
M
，
N
，
S<
/p>
，
T
分别为
HD
，
HE
，
HF
，
HG
的中点，则
?
FDH
?
?
SMH
，
?
EGH
?
?
NTH
．
又
?
FDH
?
?
EGH
，则
?
SMH
?
?
NTH
．
故
M
，
S
< br>，
T
，
N
四点共圆，
FG
的任意性，
由
DE
，
得
H
与
△
ABC
外接圆上任意点连线的中点在同一圆上，
由于这个圆过
< br>HA
，
HB
，
< br>HC
的中点，故这个圆就是
△
A
BC
的九点圆，从而命题获证．
例<
/p>
3
如图
7
?
4
，
△
ABC
中，
O
为外心，三条高
AD
，
BE
，
CF
交于点
H
，直线
ED
和
AB
交于点
M
，
（
1
）
OB
?
DF
，
OC
?
DE
；
（
2
）
< br>OH
?
MN
．
< br>
FD
和
AC
< br>交于点
N
．求证：
（
2001
年全国高中联赛题）
< br>A
O
F
B
M
图
7-
4
H
D
V
E
C<
/p>
N
证明（
1<
/p>
）设
△
ABC
的
外接圆半径为
R
，由相交弦定理，有
R
2
?
OF<
/p>
2
?
AF
?
FB
，
R
2
?
OD
2
?
BD
?
DC
，
从而
OF
2
?
OD
2
?
BD
?
DC
?
AF
?
FB
．
F
由
A
，
F
，
D
，
C
四
点
共
圆
，
有
BD
?
BC
?
BF
?
BA
，
即<
/p>
B
D
?
?
B
D
?
DC
?
?
B
?
F
B
?
A
< br>亦
即
，
?
F
2
B
F
2
?
B
D
?
B
D
?
D
C
?
A
F
?
F
?
B
< br>2
O
F
?
2
O
D
OB
?
DF
．同理，
OC
< br>?
DE
．
，故
（
2
）由九点圆定理的推论<
/p>
1
，知
OH
的中
点
V
为
△
DE
F
的外心．又由
D
，
< br>E
，
A
，
B
及
D
，
F
，
A
，
C
分别四点共圆，有
M
D
?
M
E
?
M
B
?
M
A<
/p>
，
ND
?
NF<
/p>
?
NC
?
NA<
/p>
．
由此，即知
M
，
N
对
△<
/p>
ABC
的外接圆与
△
DEF
的外接圆的幂相等，从而
M
，
N
在这两个外接圆的根
轴上，即有<
/p>
MN
?
OV
，故
MN
?
OH
．
【解题思维策略分析】
1
．注意题中九点圆的显现形式
例
4
如图
7
?
5
，
△
ABC
中，
O
为外心，<
/p>
H
是垂心，作
△
CHB
，
△
CHA
和
△
AHB
的外接圆，依次记
它们的圆心为
A
1
，
B
1
，
C<
/p>
1
，求证：
△
A
BC
≌
△
A
1
B
1
C
1
，且这两个三角形的九点圆重合．
（
IMO
?
31
预选
题）
A
C
1
B
1
H
K
O
B
M
A
1
图
7-
5
C
证明由于
?
CHB
?
180
?
?
?
90
?
?
?
B
?
?
(90
?
?
?
C
)
?
?
B
?
?
C
?
180
?
?
?
A
，知
△
CHB
外接圆的半径和
△
CAB
外接圆的半径相等，从而，有
A
1
是
O
关于
BC
的对称点．
设
M
是
BC
中点，则知
AH
?
2
OM
，即
AH
?
OA
1
．
又
AH
∥
OA
1
，则连
AA
1
与
OH
的交点
K
为平行四边形
AHAO
的中心，即
AA
1
与
OH
互相平分于
K
．
1
CC
1
也经过
K
且被它平分，
同理，
BB
1
，
从而
△
A
1
B
1
C
1
与
< br>△
ABC
关于
K
中心对称，
故
△
A
1
B
1
C
1
≌
△
ABC
．
显然，
K
是
△
ABC
九点圆的圆心．<
/p>
因此，
这个圆关于
K
作中心对称时不变，
它也是
△
A<
/p>
1
B
1
C
1
的九点圆．
例<
/p>
5
如图
7
?
6
，在
△
ABC<
/p>
中，
AD
是
BC
边上的高，
M
，
N
分别是
CA
，
AB
两边的中点，设直线
l
通
过
A
点，且
BC<
/p>
在
l
上的射影为
B
?
C
?
，连
B
?
N
与
C
?
M
交于点
P
．求证：
B
?<
/p>
，
C
?
，
D
，
P
四点共圆，且
其圆心
O
与
P
点均在
△
ABC
的九点圆上．
l
B'
A
O
1
N
< br>2
C
'
M
B
图
7-
6
P
D
C
?<
/p>
??
1
．
证明<
/p>
BB
?
，
CC<
/p>
?
，
ND
，
M
D
．
在
Rt
△
AB
?
B
中，
N
为斜边
AB
的中点，
令
?<
/p>
BAB
?
??
1
，
则
?
N
BA
?
NAD<
/p>
?
?
NDA
，<
/p>
?
MAD
?<
/p>
?
MDA
．令
?
CAC
?
?
?
2
，则
?
MC
?
A
?
?
2
．
同理，
?
N
B
?
A
?
?<
/p>
MC
?
A
?
?
1
?
?
2
?
180
?
?
?
A
，
于是，
故
?
MPN
?
180
?
?
?
?
NB
?
A
?
?
MC
?
A
< br>?
hydrogenated-减温器
hydrogenated-减温器
hydrogenated-减温器
hydrogenated-减温器
hydrogenated-减温器
hydrogenated-减温器
hydrogenated-减温器
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