弗赖登塔尔关于数学化的演讲稿

2021年1月22日发(作者：司马相如)




弗
赖
登
塔
尔
关
于
数
学
化
的
演
讲
稿

The final revision was on November 23, 2020
弗赖登塔尔关于
“
数学化
”
的演讲稿

《数学教育再探
--
在中国的讲学》
[
荷兰
]
弗赖登塔尔


数学化

在讨论了数学的前后关系和内外结 构之后，我们再回过头来把数学当成一种活
动，来看看它的一个主要特征：数学化。是谁最先使用这个术 语，用以描述根据数学家
的需要和兴趣整理现实性的这种过程呢这种术语通常是先出现在非正式的谈话和 讨论
中，而后才出现在文献着作里，因此没有人能说出是谁的发明。不管怎么说，数学化是
一个 过程，只要现实世界在一系列因素的影响下进行着变化、延拓和深化，这个过程就
在持续着，这些因素也 包括数学，而且数学反过来被变化着的现实所吸收。


以前用的术语，诸如公理化、 形式化、图式化等也许是在数学化之前提出的，其中公理
化也许是在数学的行文中出现得最早。公理和公 式古已有之，尽管在岁月的长河中，

公理

（或

公设

）的意义及公式的形式有所改变
.
过去几个世纪里，人们认为欧几里得
的几何 原本不是完美推导的典范，其原意也并非如此，看来今天有人仍这么认为。我们
现在使用的公理体系这个 术语，是一种现代思想，把它归为古希腊人的功劳（虽然他们
是先驱）是一种时代的错误。然而，重新组 合某一领域的知识，以至于结论被当作出发
点，以及相反地把已证明的性质作为定义来证明原始的定义< br>--
这种颠倒的构造是一种久
远的数学活动，它和古希腊数学一样古老，或许更古老；尽 管只是到了近代，人们才像
热衷于知识的组织和重组的古希腊人那样，有意识地、有条理地、热切地运用 它。今天
雨后春笋似的公理体系是人们试图重新组织数学研究领域的结果。这种技术就叫公理
化 。它被现代的数学家深刻地理解和掌握。它早期显着的例子是群。
18
世纪以来，数学
家们遇到了集合到自身映射的问题，映射通常由一些不变性质去限制，从而导致去构造
这种映射。这样他 们开始熟悉了变换的集合，在构造之下自动地满足一些熟知的假设，
这种假设是后来群所需要的。
1854
年凯莱（
Cayley
）用这些假设统一定义了这种（有
限）的对 象，他称作群。然而，直到
1870
年这一新概念才被一些领头创造的数学家们
完全认 可。之后又用到无限基的情况。在日常生活和符号语言中，公式是像公理一样古
老，甚或更古老的一种特 殊形式。用日益有效的符号或符号法来改进语言表达是一个长
期的过程，它首先涉及到数学题材，后来才 影响到表述这种题材所用的语言。这种对语
言的整理、修正和转化的过程就叫做形式化。


可以肯定，公理化可能会像公理一样在现代数学中流行，他们只是一项活动过程中的精
彩部分和最后的润色，在这个过程中重点强调的是形式而不是内容。公式和形式化也同
样如此。公理来 源于范例或一系列范例，而公理化则意味着总结熟练的范例。人们早已
习惯于把经历和行为示范性地推广 ，从中抽象出定律和规则
.
形成与现实的体系相吻合的
图式。最后一步就是图式化，它 和公理化、形式化相对应，尤其是当考虑的是内容而不
是抽象的形式或语言的时候。


上面一段解释，通过与公理化、形式化、图式化作类比，说明了数学化一词的来源。值
得一提的 是，在教育中，把它局限于其某一方面的内容是屡见不鲜的，所以我才占一定
的篇幅来说明它。我自己则 坚持这个术语应该包括数学家的全部组织活动，不管它是用
于数学的内容和表达，还是用于更通俗的直觉 意义上，比如生活经验，日常语言的表
达。但是我们别忘了，在扩展的现实性和发展语言的复杂性中，< br>
生活

和

日常生活

的
个体的与环境的 依赖性。



建立模型


然而，一谈到图式化 就有一种倾向，把

图式

与形式化数学里的解题公式和步骤等问题
等同 起来。今天，在更广泛的意义上说，

图式

一词似乎被更时兴的

模型

所替代
--
这
是一个很有价值的术语，然而不幸的是，由于人 们的滥用和误用而降低了其含义。我一
直反对这样做，至少在我看来是这样的。

< br>数学总是被应用于自然和社会，然而长期以来，人们只是过多地考虑它的应用，而很少
想到应用它 的方法以及它为什么能用。记数实际上是由生活得来的常识，土地测量员的
工作好像是说他们用的界钉和 标杆就是几何上的点和线，还有外币兑换员，商人及药剂
师好像都在表明比例是自然界和社会的一个显而 易见的特征。甚至古巴比伦王国的天文
学家很早就习惯于用线性内插或外插法，来试着数值化地描述天文 现象，也就是用分段
线性函数和锯齿形函数的方法，后来的希腊人最终把它们变成测角函数。但是测角函 数
不会从他们仰望的天空里掉下来，其基本理论是天体运动应该是环形的。为了解释这种
假设和 一些互相矛盾的现象，产生了一个我们现在称之
quot;
模型

的东西来描述 天体的
运动，这个模型包括了圆、本轮（
epicycles
）和外心的新发明，不管 对它们进行几何上
还是数值上的处理都需要用到测角函数。这个模型持续了近两千年。开普勒（
Kepler
）
没有给出新模型，而是提出了行星运动的三大数学定律，后来牛顿（
N ewton
）由此得出
了万有引力理论的一系列结果。牛顿自己不肯设计简单的机械模型来解释 地球引力。随
着时间的推移，物理学家们才勉强地接受地球引力的吸引本身就是一个模型，它超过了一般意义上的经验，是第一个近代的模型，其意义仅亚于惠更斯（
Huygens
）的光的 波
动理论，历史在不断重复：根据
19
世纪的力学常识，人们提出了关于光传播理论的 一
些弹性的模型，但由于研制惠更斯的波动理论的失败，物理学家们不得不接受马克斯韦
尔（< br>Maxwell
）的光的电磁理论模型。


建模是现代的产物，只 是到了近代，人们才或多或少有意识地忽略了所有看起来不重要
的干扰，把在模糊的自然界和环境中应用 的数学浓缩成了精确的数学，是它们破坏了理
想情况。长期以来，简单的几何学和代数学已足以满足这种 需要。但是什么是理想情
况，什么又是不重要的干扰呢伽利略（
GaliIeo
）首先 给出了一个例子，说明了它们在特
定含义下的区别：即匀速运动是理想情况，但又受到阻力的干扰，或像 牛顿说的更一般
意义上的外力干扰。这样，这种方法就延续到了今天。即使有了精确的理论，也是经过< br>简化后才使用，以使其更接近于实际的过程：这样后者就有可能用更好的逼近或者反馈
模型提炼出 来。这种了不起的理想化方法的最伟大的例子当属达朗倍尔（
d'Alembert
）
的绷紧的弦的振动问题：通过忽略弦线的曲度，他能把微分方程线性化，而方程一旦线
性化以后问题就轻 易地解决了。实际上，通过线性化的手法重建物理上的模型已成了应
用数学的一般手段。
在自然科学里，最早使用

模型

一词也许是与众所周知的太阳系模
型相联系的，它用一个机械装置，（经过粗略简化以后）给出了在引力作用下行星和月
亮运动的相互作用 ：由于它只是一个模型，所以只考虑到运动学问题，而不牵涉天体运
动的动力学问题：另外，由于实际的 原因，代表天体的球形的半径互相不成比例，和轨
道大小相比也不成比例。还有人们熟知的卢瑟福－波耳 （
Rutherford-Bohr
）原子模型，
它把原子及其示意图描述成一个小太 阳系形状，在可能的轨道上作一些奇特的限制模型
的特征来自于轨道遵守的特定条件，以及关于从一个轨 道向另一个轨道跃迁时的特定假
设，和经典物理的原理大不相同。再近一些的模型有原子核分裂模型，其 中的质子和中
子像液体一样被释放出来
--
这种思想是简单化模型的典型。另外一个典 型是开放的宇宙
体系的宇宙生成模型，它起初是对朝各个方向运动的星群的纯运动学上的解释。随着时< br>间的推移，由于加入动力学和基本粒子物理的许多特点而丰富起来，当然它仍被认为是
宇宙进化的 粗略的简化模型。

这些都是理想化的模型，它们有的把数学的精确性引入到
相对粗糙 的物理现实中：或者是简化现实，而心照不宣地承认现实要比这些称为模型的
东西复杂得多。奇怪的是， 数学上最早使用

模型

一词却正好相反：用塑料、电线或纸
板做的抽象 几何形状的具体模型。如果我没弄错的话，弗里克斯
·
克莱因作为一个数学
家，他收集 了大量的几何模型，同时也是首先把

模型

一词用于数学中的人。这里是指非欧氏几何在射影几何里的映象的问题
--
这是凯莱的发明，克莱因阐释为模型，用来把< br>看起来很抽象的非欧氏几何映射到射影几何的框架里，后者看上去要比前者具体些。尽
管不像石膏 模型那样显而易见，这个模型实际上要比它的原象易于想象。克莱因的例子
说明了公理体系中现代模型概 念的根源：用一个合适的数学对象来明确形式公理中所暗
含的东西
.
看起来就像用真实 的内容来填充公理的形式。举例来说，一个特殊的群或一般
函数上的变换群可以作为一般意义上公理化定 义的群的模型。还有欧氏空间，尤其是三
维空间，可以作为公理化定义的线性空间或度量空间的模型。仅 就具体化而言，可以超
过纯数学的范围，考虑把物质的或仅仅是经验型的空间作为公理化定义的某种原像 的模
型。

只是为了保持完整，我才提到了

模型

的这种应用，它和我们开始所说的模型正
好相反。实际上，在这里的行文中，我们没有考虑公理体系的模 型，尽管它在基础研究
中被大量使用，而是考虑理想化意义上的模型。用这种方法，我们能够简化一些复 杂的
条件，它们太复杂而无法付诸实际，或者是仅仅能用一些特定的数学理论来对付它们。
< br>因为我们的主题是建模，并把它作为数学化的一个方面，需要强调的是，在这里的行文
中应包括一 些真实的具体模型，像检验飞机模型的风洞，或流体动力学理论的实验室模
拟。换句话说，是用观察结果 而不是用数学来进行评价的一些模型，尽管建造它们用到
的数学知识也许比得到一些不那么真实的模型用 的更多。我看甚至还应该包括对这样的
真实模型的计算机模拟，它在进行评价时比模拟活动本身更少地依 赖于数学。另外，我
强烈反对给代数、微分、积分方程等体系贴上一
quot;
模型< br>
标签的做法
--
数学模型
--
因为
有人喜欢这么叫。 根据我的术语观，模型就是不可缺少的一种中介，用它把复杂的现实
或理论来理想化或简单化，从而更易 于进行形式的数学处理。因此我不喜欢在行民主文
中用数学模型一词，它让人误以为数学是直接地用于环 境中，或者几乎如此：实际上只
是当数学被紧紧地局限于周围环境中才会发生这种情况。我之所以如此强 调模型的中介
作用，因为人们往往意识不到它是不可缺少的：很多情况下，数学公式像秘诀样用于复杂的现实，而缺乏一种中介模型来检验它们的用场。


概率和统计就是特别突 出的例子。在概率论里，盛签用的容器还有其他的随机装置，就
是模型，人们用它把世界一切看起来由偶 然因素决定的事情数学化，这包括：同种植物
间的授粉，某个种族间的婚姻和死亡，就像是出生和死亡是 由掷签来决定的
--
当然有的
合适，有的则不尽然。而概率在统计学上的应用也仅仅需 要这么一个模型。然而，就我
所知，在相关性和回归系数的常规的一一或者应该说是例行的一一应用以及 某些社会的
特别是教育的研究中因素分析之间，还不存在模型。这些工具只是从其他科学里翻版过
来的，在那里它们是在使用的时候有中介模型来验证的。


再回过头来看看，我意 识到对模型的谈论已超过了建模，而且使用了颇为通常意义下的
术语；我犹豫这么久还没接触正题的原因
.
正是担心这种情况发生。当然，我本应该让读
者领略一系列合理化的模型，像谐振器 、电力网、变换阵、传播过程、游戏、引导装
置、人口动力学、排队论等等。其中有些例子有很大的变化 范围，如果希望他们能很好
地利用的话，当然值得让学生们了解：另一方面，我把建模定义成理想化和简 单化一一
不管我的定义多么地不精确，它还是切中了要害：把握某种（静态或动态的）情境的要
点，在丰富的相关情境中（我前面阐述过的）关注它们：并且随着事物的进展，会有更
加丰富一些的内容 。那么，这就是我继续考查数学化的其他方面的出发点。


寻找本质


即在行文中找出哪些能表示成如下形式

·
在一种情境之内和交叉的情形

·
在一个问题之内和交叉的问题

·
在一个过程之内和交叉的过程

·
在一个组织之内和交叉的组织

·
在一个图式之内和交叉的图式

·
在一个算法之内和交叉的算法
.
·
在一个结构之内和交叉的结构

·
在一个公式之内和交叉的公式

·
在一个符号体系之内和交叉的符号体系

·
在一个公理体系之内和交叉的公理体系


为什么有这么多种
和交叉的
……
呢因为找出一般的特征、相似、类比，同构才能
够行

·
概括


成为一种下意识的习惯或是多多少少有意识的行为。从一个简单的

·
范例


不经意的经验，并且只靠一些范例（尽管不是很多）来强化就能得 出一般性，人们往往
是不相信的。现在，

·
概括范例
.

是对

·
举例说明一般概念的颠倒。假如过分地说，这正是我称 为

违反教学法的颠倒

的一个
例子，后文中还会牵涉到。然而，

·
示范性地探讨未确定的一般性


是一种有价值的

·
启发式活动


这和流行的启发式教学有所不同，后者被认为是一种预先设置好的工具。


当强调单一的范例的作用时，我突然想到一些新鲜的思维对象和运算，而对象和运算通
过日常练习能够程 序化，并最终导致成为

·
合理化和捷径


这就会导致

·
不断发展的


组织化


图示化


结构化


尤其考虑到一些拙劣的语言和符号，就会产生

·
不断进步的


形式化


算法化


符号化


数学化一个十分重要的方面就是

·
反思自己的活动


从而促使

·
改变看问题的角度


并伴随着局部结果的

·
颠倒


和整体的

·
公理化


说重一些，这也是违反教学法的颠倒的一个例子。