关于道德的作文-外厉内荏
二
次
函
数
与
三
角
形
最
大
面
积
的
3
种
求
法
一.解答题(共
7
小题)
1
.(
2012?广西)已知抛物线
y=ax
2
+2x+c
的图象与
x
轴 交于点
A
(
3
,
0
)和点
C
,
与
y
轴交于点
B
(
0
,
3
).
(
1
)求抛物线的解析式;
(
2
)在抛物线的对 称轴上找一点
D
,使得点
D
到点
B
、
C
的 距离之和最小,并求出
点
D
的坐标;
(
3
)在第 一象限的抛物线上,是否存在一点
P
,使得△ABP
的面积最大?若存在,
求 出点
P
的坐标;若不存在,请说明理由.
2
.
(
2013?
茂名)如图,抛物线
C
,已知点
B
的坐标为(
3
,
0
).
(
1
)求
a
的值和抛物线的顶点坐标;
(
2
)分别连接
AC
、
BC
.在
x
轴下方的抛物线 上求一点
M
,使△AMC
与△ABC
的面积
相等;
(
3
)设
N
是抛物线对称轴上的一个动点,
d=|AN
﹣
CN|
.探究:是否存在一点
N
,使
d
的值最大?若存在, 请直接写出点
N
的坐标和
d
的最大值;若不存在,请简单说
明理由.
与
x
轴交于点
A
和点
B
,与
y
轴交于点
3
.
(
2011?
茂名)
如图,在平面直 角坐标系
xoy
中,已知抛物线经过点
A
(
0
,
4
)
,
B
(
1
,
0
),
C
(
5
,
0
),抛物线对称轴
l
与
x
轴相交 于点
M
.
(
1
)求抛物线的解析式和对称轴;
(
2
)点
P
在抛物线上,且以
A
、
O、
M
、
P
为顶点的四边形四条边的长度为四个连续
的正整数,请 你直接写出点
P
的坐标;
(
3
)连接
AC
.探索:在直线
AC
下方的抛物线上是否存在一点
N
,使△NAC
的面积
最大?若存在,请你求出点
N
的坐标;若不存在,请你说明理由.
< br>4
.(
2012?
黔西南州)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,已知抛物线经过点
A
(
0
,
4
),
B
(
1
,
0
),
C
(
5
,
0
),抛物线的对称轴
l
与
x
轴相交于点
M
.
(
1
)求抛物线对应的函数解析式和对称轴;
(
2
)设点
P
为抛物线(
x
>
5
)上的一点,若以
A
、
O
、
M
、
P
为顶点的四边形的四条
边的 长度为四个连续的正整数,请你直接写出点
P
的坐标;
(
3
)连接
AC
,探索:在直线
AC
下方的抛物线上是否存在一点
N< br>,使△NAC
的面积
最大?若存在,请你求出点
N
的坐标;若不存在, 请说明理由.
5
.(
2013?
新疆)如图,已知抛物线
y=ax
2
+bx+3
与
x
轴交于
A
、
B
两点,过点
A
的
直线
l
与抛物线交于点
C
,其中
A
点的坐标是(
1
,
0
),
C
点坐 标是(
4
,
3
).
(
1
)求抛物线的解析式;
(
2
)在(
1
)中抛物线的对称轴上是否存在点
D
,使△BCD
的周长最小?若存在,求
出点
D
的坐标,若不存在,请说明理由;
(
3
) 若点
E
是(
1
)中抛物线上的一个动点,且位于直线
AC
的 下方,试求△ACE
的
最大面积及
E
点的坐标.
6
.(
2009?
江津区)如图,抛物线
y=
﹣
x
2
+bx+c
与
x
轴交于
A
(
1
,
0),
B
(﹣
3
,
0
)
两点.
(
1
)求该抛物线的解析式;
(
2
)设(
1
)中的抛物线交
y
轴与
C
点,在该抛物线的对称轴上是否存在点
Q
,使
得△QAC
的周长最小?若存在,求出
Q
点的坐标; 若不存在,请说明理由;
(
3
)在(
1
)中的抛物线上的 第二象限上是否存在一点
P
,使△PBC
的面积最大?若
存在,求出点
P
的坐标及△PBC
的面积最大值;若没有,请说明理由.
7
. 如图,已知二次函数
y=ax
2
+bx+c
经过点
A
(1
,
0
),
C
(
0
,
3
), 且对称轴为直
线
x=
﹣
1
.
(
1
)求二次函数的表达式;
(
2
)在抛物线上 是否存在点
P
,使△PAB
得面积为
10
,请写出所有点
P
的坐标.
二次函数与三角形最大面积的
3
种求法
参考答案与试题解析
一.解答题(共
7
小题)
1
.(
2012?
解:
(
1
)
∵抛物线
y =ax
+2x+c
的图象经过点
A
(
3
,
0
)
和点
B
(
0
,
3
)
,
广
西
)
解
答:
∴抛物线的解析式为:
y =
﹣
x
2
+2x+3
.
(
2
)对称轴为
x=
=1
,
∴
,解得
a=
﹣
1
,
c=3
,
2
令
y=
﹣
x
+2x+3=0
,解得
x< br>1
=3
,
x
2
=
﹣
1
,∴C(﹣< br>1
,
0
).
如图
1
所示,连接
A B
,与对称轴
x=1
的交点即为所求之
D
点,由于
A
、
C
两点关于对称轴对称,则此时
DB+DC=DB+DA=AB
最小.< br>
设直线
AB
的解析式为
y=kx+b
,由
A
(
3
,
0
)、
B
(
0
,
3)可得:
,解得
k=
﹣
1
,
b=3
,
2
∴直线
AB
解析式为
y=
﹣
x+3
.
< br>当
x=1
时,
y=2
,∴D
点坐标为(
1
,
2
).
(
3
)结论:存在.
如图2
所示,设
P
(
x
,
y
)是第一象限的抛物线 上一点,
过点
P
作
PN⊥x
轴于点
N
, 则
ON=x
,
PN=y
,
AN=OA
﹣
ON=3< br>﹣
x
.
S
△ABP
=S
梯形
PN OB
+S
△PNA
﹣
S
△AOB
=
(< br>OB+PN
)
?ON+
PN?AN
﹣
OA?OB
< br>=
(
3+y
)
?x+
y?
(
3
﹣< br>x
)﹣
×3×3
=
(
x+y
)﹣
,
∵P(
x
,
y
)在抛物线上,∴y=﹣
x
2
+2x+3
,代入上式得:
S
△ABP
=
(
x+y
)﹣
=
﹣
(
x
2
﹣
3x
)
=
﹣
(
x
﹣
)
2
+
∴当
x=
时,
S
△ ABP
取得最大值.
当
x=
时,
y=
﹣
x
2
+2x+3=
,∴P(
,
).
,
所以,在第一象限的抛物线上,存在一点
P
,使得△ABP
的面积最大;P
点的坐标为(
,
).
2
.(
2013?
茂名)
解
答:
解:(
1
)∵抛物线
y=ax
﹣
x+2
经过点
B
(
3
,
0
),
∴9a﹣
×3+2=0,
解得
a=
﹣
,
∴y=﹣
x
2
﹣
x+2
,
∵y=﹣x
2
﹣
x+2=
﹣
(
x
2
+3x)
+2=
﹣
(
x+
)
2
+
,
∴顶点坐标为(﹣
,
);
(
2
)∵抛物线
y=
﹣
x
2
﹣
x+2
的对称轴为直线
x=
﹣
,
2
与
x
轴交于点
A
和点
B
,点
B
的坐标为(
3
,
0
),
∴点
A
的坐标为(﹣
6
,
0
).
又∵当
x=0
时,
y=2
,
∴C
点坐标为(
0
,
2
).
设直线
AC
的解析式为
y=kx+b
,
则
,解得
,
∴直线
AC
的解析式为
y=
x+2
.
∵S
△AMC
=S
△ABC
,
∴点
B
与点
M
到
AC
的距离相等,
又∵点
B
与点
M
都在
AC
的下方,
∴BM∥AC,
设直线
BM
的解析式为
y=
x+n
,
将 点
B
(
3
,
0
)代入,得
×3+n=0,
解得
n=
﹣
1
,
∴直线
BM
的 解析式为
y=
x
﹣
1
.
由
,
解
得
,
,
∴M
点的坐标是(﹣
9
,﹣
4
);
(< br>3
)在抛物线对称轴上存在一点
N
,能够使
d=|AN
﹣CN|
的值最大.理由如下:
∵抛物线
y=
﹣
x2
﹣
x+2
与
x
轴交于点
A
和点
B< br>,
∴点
A
和点
B
关于抛物线的对称轴对称.
连接< br>BC
并延长,交直线
x=
﹣
于点
N
,连接
A N
,则
AN=BN
,此时
d=|AN
﹣
CN|=|BN﹣
CN|=BC
最大.
设直线
BC
的解析式为
y=mx+t
,将
B
(
3
,
0
),
C< br>(
0
,
2
)两点的坐标代入,
得
,
,
∴直线
BC
的解析式为
y=
﹣
x+2
,
当
x=
﹣
时,
y=
﹣
×(﹣
)
+ 2=3
,
∴点
N
的坐标为(﹣
,
3
),
d
的最大值为
BC=
=
.
3
.(
2011?
茂名)
解
答:
解:(
1
)根据已知条件可设抛物线的解析式为
y=a
(
x﹣
1
)
(
x
﹣
5
),
把点
A
(
0
,
4
)代入上式得:
a=
,
∴y=
(
x
﹣
1
)
(
x
﹣< br>5
)
=
x
2
﹣
x+4=
(
x
﹣
3
)
2
﹣
,
∴抛物线的对称轴是:
x=3
;
(
2
)
P
点坐标为:(
6
,
4
),
由题意可知以
A
、
O
、
M
、
P
为顶点的四边形有两条边
AO=4
、
OM=3
,
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