斗箕“中国剩余定理”算理及其应用

2020年12月17日发(作者：左延安)
“中国剩余定理”算理及其应用：】


我是这样理解的，希望可以帮到楼主。

一个数，除以7余3，除以8余6，除以5余2，求满足这些条件的所有三位数。
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（7，8）=56 （5，8）=40 （5，7）=35 （5，7，8）=280
为了使56除以5余1 565=11余1 要满足除以5余2，需使（5×11＋1）×2＝112 刚好1125余2，
为了使40除以7余1 407=5余5 要满足除以7余3，需使（7×5＋5）×2＝80 刚好807余3，
为了使35除以8余1 358=4余3 要满足除以8余6，需使（8×4＋3）×2＝70 刚好708余6，
所以有：112+80+70＝262
262＋N×280（N取1、2、3）
所以1000以内满足条件的数是3个：分别为262、542、822（他们之间差是最小公倍数）




为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以 3余1。21是3和7的公倍数，
且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一 次同余式组，只要根
据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、 21、15
这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而10 5
又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。
用歌诀 解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去
除就不行了。后来我 国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。


例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。
为了使20被3除余1，用20×2=40；
使15被4除余1，用15×3=45；
使12被5除余1，用12×3=36。
然后，40×1＋45×2＋36×4=274，
因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。

例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？
题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。
为了使56被3除余1，用56×2=112；
使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105；
然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，
因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。

例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。
题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。
为了使88被5除余1，用88×2=176；
使55被8除余1，用55×7=385；
使40被11除余1，用40×8=320。
然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，
因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。

例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，
问这个年级至 少有多少人 ？（幸福123老师问的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，
因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。

例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，
问这个年级至 少有多少人 ？（泽林老师的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，
因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。
（例5与 例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两
步。）】
某数 除以A余M，除以B余N，除以C余P，（ABC组为除数，MNP组为余数，XYZ组为凑数所得。接
触过奥数的朋友应该感到很亲切吧，余数就喜欢用这个…）则
1.求
B*C的X倍除以A余1 （对应除以A余M）
A*C的Y倍除以C余1 （对应除以B余N）
A*B的Z倍除以B余1 （对应除以C余P）
这一步目前我在网上没有搜索到更简便的方法, 目前的做法是只能拿倍数一个一个去试, 这也是中国剩余
定理主要花时间的地方. 如果有网友能有更好的方法共享, 请告诉我, 以便对这个定理有更快的解决办法.
2.
B*C*X*M+A*C*Y*N+A*B*Z*P=符合条件的数
然后该数减去A、B、 C的最小公倍数次直至得到的差小于最小公倍数，那么这个差就是符合条件的最小数
下面给出一些例题, Q友们可以做一做对这个公式的应用加以熟练:

关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法

“中国剩余定理”解的题目其实就 是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解
决。不懂论坛上有没人发过。小学奥赛考试时 学习过，也用过，现在把方法写出来，如果懂的也
别笑我，呵呵。
选了一本小学奥赛的书上的题目，讲下：
例一，一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？
解法：题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 。看到那个“被6除余4，被7除
余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数
了，6 X7＋4＝46。下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。不行的话，只
要再4 6加上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。这步的原因是，42
是6和7 的最小公倍数，再怎么加都会满足“被6除余4，被7除余4”的条件。
46＋42＝88
46＋42＋42＝130
46＋42＋42＋42＝172
这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余数的情况，如果遇到没有的，下面讲

例 二，一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就
多四人，问这个班 有多少学生？
解法：题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。没有同余的情况，用的方法是“ 逐步约束
法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是再7上一直加4，直到所得 的数除
5余3。得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3余2 ”
4＋7＝11
11＋7＝18
18＋35＝53
这种方法也可以解 “中国剩余定理”解的题目。比“中国剩余定理”更好理解，我觉的速度上会比那
个繁琐的公式化的解题 更快。


一个数，除以7余3，除以8余6，除以5余2，求满足这些条件的所有三位数。
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（7，8）=56 （5，8）=40 （5，7）=35 （5，7，8）=280
为了使56除以5余1 565=11余1 满足
为了使40除以7余1 1207=17余1 满足
为了使35除以8余1 1058=13余1 满足
所以有：56*2+120*3+105*6=1102
1102-280*N=262 （N取最大取3）
所以1000以内满足条件的数是3个：分别为262、542、822（他们之间差是最小公倍数）

这个是卡卡西的讲解。我没明白。为什么56要乘以2. 120要乘以3 105要乘以6

在论坛里也搜索了很多 明白了余同取余 和同加和 差同减差 但是不是这种情况该怎么办呢？
答 除以7余3，除以8余6，除以5余2
从8开始，除8 余6是14，14不断的加8直到除7余3为止，得到的数是45，在不断加8和7的最小公
倍数56， 直到除5余2，得到的数是157，然后不断加7、8、5的最小公倍数直到小于1000，就是所有
的 三位数了