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数学必修5知识点(很完整)
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第一章解三角形1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)；
2、三角形三边关系： a+b>c; a-b
sin
A
2
B
cos
C
2
,cos
A
2
B
sin< br>C
2
,tan
A
2
sin(A
B
B)
C
2
sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,
cot
4、正弦定理：在
R
C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
a
sin
b
sin
c
sinC
、 、
C
的对边，
2R
为
C
的外接圆的半径，则有
．< br>5、正弦定理的变形公式：
①化角为边：
②化边为角：
③
a:b:cs in:sin
a
sin
2Rsin
a
，
b2Rsin
b
，
c2RsinC
c
；
sin
，
2R
sinC
，
2R
ab
sin
c
sinC
；
2R
a
sin
b
sin
:sinC
；④
sin．
sinC
c
6、两类正弦定理解三角形的问题：
①已知两角和任意一边 ，求其他的两边及一角
②已知两角和其中一边的对角，求其他边角
解、三解）)
7、余弦定理：在
c
2
.
.(对于已知两
边和其中一边所 对的角的题型要注意解的情况（一解、两
中，有
2
222
C
abc2 bccos
，
b
c
2
2
a
2
c
2
2accos
，
c
2
a
2
b
2
2 abcosC
．
cos
bc
2
8、余弦定理的推论：
a2
2bc
，
cos
a
2
b
2
2ac< br>，
cosC
a
2
b
2
2ab
．
(余 弦定理主要解决的问题：1.已知两边和夹角，求其余的
量。2.已知三边求角)
2
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9、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余
的量。②已知三边求角）
10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用
正余弦定理 实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设
a
、
b
、
c
是
a
2
C
2
的角、、
C
的对边，则：
90< br>o
①若
则
C
b
o
2
c
，则
C
；②若
a
2
b
2
c
2
，则
C9 0
o
；③若
A
a
2
b
2
c
2
，
B
90
．
注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔
河看两目标A、B,但不能到达，在岸边选取< br>相距
3
千米的C、D两点，并测得∠ACB=75,
OO
O
O
C D
∠BCD=45,∠ADC=30,
∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之
间的距离。
解：
11、三角形面积公式：
12、三角形的四心：
3
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垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点< br>距离与到对边距离之比为
三顶点距离相等）
内心——三角形三内角的平分线相交于一点（ 内心到
三边距离相等）
附加：
2:1）
外心——三角形三边垂直平分线相交于 一点（外心到
第二章数列
4
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1、数列：按 照一定顺序排列着的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数．
3、有穷数列：项数有限的数 列．
4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项 的
数列（即：a
n+1
>a
n
）．
6、递减数列：从第2项 起，每一项都不大于它的前一项的
数列（即：a
n+1
）．< br>7、常数列：各项相等的数列（即：
项小于它的前一项的数列．
9、数列的通项公式：表 示数列
系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项
几项）间的关系的公式．
11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差
:
。
(为常数
等 于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称
为等差数列的公差．符号表示
①②2a
a
n1
a
n+1
=a
n
）．
8、摆 动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些
的第
n
项与序号
n
之间的关
与它的前一项
（或前
a
n
a
n
a
n1
a
n
d
注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：
a
n
a
n1
d(n2,d为常数)
n
a
n1
an1
(
n2
) ③
a
a
2
c
nknb
n,k
12、由三个数
a
，，
b
组成的等差数列 可以看成最简单的等
差数列，则称为
a
与的等差中项．若
b
b
，则称
b
为
a
与
c
的
等差中项．
5 < br>高中数学必修5知识培训睿思教育
13、若等差数列
a
n
的首项是a
，公差是
d
，则
a
1
n
a
1
n1d
．
14、通项公式的变形：
①
a
n
d
a< br>n
nm
a
m
a
m
nmd
；②
a1
a
n
n1d
；③
d
a
n
a
n
a
1
n1
；⑤
；④
d
n1
a
1
．
a
n
15、若
是等差数列，且
a
n
mn pq
（
m
、
n
、
p
、
pq
*
），则
*
a
m
a
n
a
p
a
q
；若
2a
n
a
p
a
q
．
是等差数列，且
2n
（
n
、
p
、），则
16.等差数列的前
S
n
na
1
nn1
2
d．③
n
项和的公式：①
a
n
S
n
na
1
a
n
2
；②
s
n
n
a
1
a
2
L
17、等差数列的前
①若项数为
②若项数为
中S
奇
项和的性质：
Sna
n
a
n12n
2n1 a
n
2nn
*
，则
*
，且
S
偶
， 且
S
奇
S
奇
nd
，
S
偶
a
n
S
奇
S
偶
n
n
a
n
a
n1
．
2n1n
，则
S
）．
2
2n1
，
S
S
奇
偶
（其
1
na
n
，
S
偶
n
1
a
n
18、如果一个数列从第项起，每一项与它 的前一项的比等
a
n
a
n
于同一个常数，则这个数列称为等比数列， 这个常数称为
等比数列的公比．符号表示：
1
q
（注：①等比数列中不
会出现值为0的项；②同号位上的值同号）
注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①< br>a
②
n
a
n1
q(n
a
n1
2,q 为常数,且0)
n1
a
n1
2
a
n
a
n1
(
n2
，
aa
n
0
)
6
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n
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③
a
n
cq
(
c,q
为非零常数).
nx
④正数列{
a
}成等比的充要条件是 数列{
log
数列.
19、在
a
与
b
中间插入一 个数
称为与的等比中项．若
a
b
G
G
2
a
n
}（
x1
）成等比
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，则
ab
，则称
G
为
a
与
b
的等比中
G
2
项．（注：由
G
2
ab
不能得出
a
，
G
，
b
成等比，由
a
，
G
，
b
a
n
ab
）
20、若等比数列
的首项是
a
，公比是
q
，则
a
1n
a1
q
n1
n1
．
21、通项公式的变形：①
a
n
n1
a
m
q
nm
；②
a
1
a< br>n
q
nm
；
③
q
22、若
a
na
n
a
1
pq
p
；④
q
a
n
a
m
*
．
m
是等比数列，且
m
a
n
nn
、
p
、（
m
、
q
q
*），则
aa
n
2
n
a
p
a
q
；
若
a
n
是等比数列，且
2n
（
n
、p
、
q
），则
aa
p
a
q
．
23、等比数列
na
1
q1
的前
n
项和的公式：
q 1
①
S
n
a
1
1q
1q
n
a1
a
n
q
．②
a
n
s
n
a< br>1
a
2
La
n
1q
24、对任意的数列{
a
n
s
1
s
n
a
1
(n1)
sn1
(n2)
a
1
n
1
dnd
}的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系：
[注]： ①
a
n
a
1
d
（
d
可为零也可不为零→为 等差数
d
列充要条件（即常数列也是等差数列）→若
等差数列充分条件）.
②等差{
a
}前
n
项和
S
nn
不为0，则是
An
2
Bn
d
2
n
2
a
1
d< br>2
n
→
d
可以为零也可不
2
为零→为等差的充要条件 →若
7
d
为零，则是等差数列的充分
. 条件；若
d
不为零，则是等差数列的充分条件
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③非零
．．
常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非
零，即不可能有等比数列）
附：几种常见 的数列的思想方法：
1.等差数列的前
n
项和为
S
n
，在< br>d0
时，有最大值. 如何确定
使
S
n
取最大值时的
n
值，有两种方法：
一是求使
a
n
0,
a
n10
，成立的
n
值；二是由
S
d
n
2
n
2
(a
d
1
2
)n
利用二次
函数的性质求
n
的值.
2.数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：
数列通项公式 对应函数
等差数（时为一次
列函数）
等比数（指数型函数）
列
数列前 n项和公式对应函数
等差数（时为二次
列函数）
等比数（指数型函数）
列们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通
项公式以及前n项和看成是关于n的函数， 为我们解决数
列有关问题提供了非常有益的启示。
8
我
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3.如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对
应项乘积，求此数列前
n
项和可依照等比数列前
导方法：错位相减求和. 例如：
1
2,3
4
,...(2n
11
1)
1
2
n
n
项和的推倒
,...
4.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等< br>差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两
个数列公差
d
1
，d
2
的最小公倍数.
a
n
a
n1
5. 判断 和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)
定义法:对于n≥2的任意自然数,验证
a
n
a
n1
()
为同一常
数。(2)通项公式法。(3)中 项公式法:验证
2a
n1
a
n
a
n2
(a
2
n1
a
n
a
n2
)n
n
N
都成 立。
1
6. 在等差数列｛
a
｝中,有关S
n
的最值问题： (1)当
a
>0,d<0
时，满足
满足
a
m
am1
a
m
a
m
0
1
0
s
取最 大值. (2)当
a
<0,d>0时，
的项数m使得
0
m1
s
取最小值。在解含绝对值的数列
的项数m使得
0
m
最值问题时,注 意转化思想的应用。
附：数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为 等差、等比
数列的数列。
2.裂项相消法:适用于
c
a
n
a
n1
其中{
a
n
}是各项不为0的等差
数列，c为常数； 部分无理数列、含阶乘的数列等。
例题：已知数列{a
n
}的通项为a
n=
n(n
9
1
,求这个数列的前
1)
n
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