科普类的书考研数学一-398

2020年11月30日发(作者：金彤)
考研数学一-398
(总分：150.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：8，分数：32.00)
1.设n为自然数，则
（分数：4.00）
A..n
B.2n
C.3n
D.4n √
解析：[考点] 定积分的计算．
[解析] 先求出函数
解：由于 ，则
的导数，由周期函数的积分性质再去掉绝对值符号，直接计算定积分即可．


注意到|sint|是以π为周期的函数，则

故应选D．
2.曲面上平行于平面2x+2y-z=0的切平面方程是______．
（分数：4.00）
A.2x+y+z-3=0
B.2x+2y-z-3=0 √
C.2x+2y+z-3=0
D.2x+2y-z+3=0
解析：[考点] 多元函数微分学的几何应用．
[解析] 待求平面的法向量n=(2，2，-1)，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程．
解：令 ，则F
x
=x，F
y
=2y，F
z
=1．由条件知所求平面的法向量n=(F
x
，F
y
，F
z
)=(x，
，由此得x=2，y=1， ，即点2y，-1)平行于已知平面的法向量，n
1
=(2，2，-1)，从而有
故应选B．
3.设f(0)=0，则f(x)在点x=0处可导的充要条件为______．
A．
B．
C．
D．



(2，1，3)为切点，故所求切平面方程为2(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0，即2x+2y -z-3=0．

（分数：4.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：[考点] 导数的定义．
[解析] 利用排除法或导数定义可得结论．
解法一：排除法．
对于A选项，取f(x)=|x|，则
，
极限存在，但f(x)=|x|在x=0处不可导，故排除A；
对于C选项，仍取f(x)=|x|，有

极限存在，但f(x)在x=0处不可导，故排除C项；
对于D选项，取 则

极限存在，但f(x)在x=0不连续，从而f也不存在，故排除D项．
故应选B．
解法二：利用导数定义，直接考查B选项，

因此，
故应选B．
4.设
A．若
是正项级数，下列结论中正确的是______．
，则级数 收敛
，则级数


发散

B．若存在非零常数λ，使得
C．若级数
D．若级数

（分数：4.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：[考点] 级数的敛散性．
收敛，则
发散，则存在非零常数λ，使得
[解析] 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项．
解：取 ，则 发散，则排除A、D项；
又取
故应选B．
，则级数 收敛，但 ，排除C．
5.已知n维向量组(ⅰ)α
1
，α
2
，…，α
s
和(ⅱ)β
1
，β
2
，…，β
t
的秩都为r，则下列命题中
不正确的是______．
（分数：4.00）
A.若s=t，则向量组(ⅰ)与(ⅱ)等价 √
B.若向量组(ⅰ)是(ⅱ)的部分组，则向量组(ⅰ)与(ⅱ)等价
C.若向量组(ⅰ)能由(ⅱ)线性表示，则向量组(ⅰ)与(ⅱ)等价
D.若向量组(ⅲ)：α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt的秩为r，则向量组(ⅰ)和(ⅱ)等价
解析：[考点] 向量组的等价．
[解析] 举反例可得A选项错误；或者逐一判断B、C、D选项正确，从而排除A．
解：取向量组(ⅰ)： ， 和向量组(ⅱ)： ， ．
则向量组(ⅰ)的秩为2，向量组(ⅱ)的秩也为2．但显然(ⅰ)与(ⅱ)不等价．
6.矩阵
A．
B．
C．
D．

（分数：4.00）
A.
B.
C.
D. √
解析：[考点] 矩阵相似的判别．
[解析] 利用矩阵相似的必要条件排除A、B、C项 ；或者直接判别题目中矩阵与D项的矩阵都与同一个对角
阵相似．
解：令矩阵 ，则A的特征值为1和2．




与______相似．
而A选项中矩阵的特征值为-1和-2，故矩阵A不与A选项的矩阵相似．
又因为 ，而B选项中 ，C选项中 ，故矩阵A不与B、C选项的矩阵相似．
所以，矩阵A与D选项的矩阵相似．
事实上，
故应选D．
7.设随机 变量X，Y，Z相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(2，2)，Z～N(3，7)，记a=P{X＜Y}， b=P{Y＜Z}，
则______．
（分数：4.00）
A.a＜b √
B.a＞b
C.a=b
和 均与对角阵 相似．再由相似的传递性， 和 相似．
D.无法确定
解析：[考点] 考查正态分布．
[解析] 利用正态分布标准化．
解：因为X—Y～N(-1，4)，Y—Z～N(-1，9)，则

由于分布函数
故应选A．
8.设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ )，其中μ，σ 均未知．现从中随机抽取16个零件，测
得样本均值
侧分位点)
A．
B．
C．
D．

（分数：4.00）
A.
B.
C. √
D.
解析：[考点] 考查正态总体参数区间估计．
[解析] 当总体为正态总体，σ 未知时，μ的置信区间为
解：由正态总体抽样分布的性质知，
，即
故应选C．
．
2
22
单调增加，所以a＞b．
，样本标准差s=1cm，则μ的置信度为0.90的置信区间是______．(其中t
α
(n)是上




．
，故μ的置信度为0.90的置信区间是
二、填空题(总题数：6，分数：24.00)
9.设f(x)是3次多项式，且有

（分数：4.00）
解析： [考点] 未定式极限．
，则
[解析] 由题设条件先求出f及f；再求出f(x)的表达式，从而得到所求极限．
解：由

，知f(2a)=0，于是得
同理，由 ，知f(4a)=0，f．
又因为f (x)是三次多项式，x=2a与x=4a是f(x)的两个零点，令f(x)=k(x-2a)(x-4a)( x-a)，则
fα)+(x-2a)(x-α)+(x-2a)(x-4a)]．
由
又因为
故应填

（分数：4.00）
解析：-29 [考点] 求函数在闭区间上的最值．
[解析] 求出f(x)在(1，4)内的极值可疑点及端点的值，取其最大者即可．
解：由题可得f -12x-18，令f，则x
1
=-1，x
2
=3．
因为 ，所以x
2
=3是f(x)在(1，4)内的极值可疑点，于是f(x)在[1，4]上的最大值是
2
得α=3a,于是f(x)=k(x-2a)(x-3a)(x-4a)．
，则得到
．
32
，故 ，则 ．
10.函数f(x)=2x -6x -18x-7在[1，4]上的最大值是 1．
故应填-29．
11.交换二次积分的积分次序：

（分数：4.00）
解析： [考点] 交换二次积分的积分次序．
，由此可知这个二次积分不能直接转化为二重积分；
，其中积分区域D

[解析] 因为已知二次积分中当1≤x≤2时，
而二次积分 与已知二次积分只相差一个负号，且该积分可转化为二重积分
如图所示；再由二重积分得到所求积分次序的二次积分．
解：因为
将D改写为

则有

故应填 ．
，则积分区域(如图所示)为

x
12.设y=e (C
1
sinx+C
2
cosx)(C
1
，C
2
是任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该
方程为 1．

（分数：4.00）
解析：y考点] 已知微分方程的解反求微分方程．
[解析] 本题可以从不同思路分析：其一，由通解形式可得特征根，根据特征根写出特征方程，最后由 特征
方程与微分方程的关系写出所求微分方程；其二，由通解消去参数C
1
，C
2
，得所求微分方程．