埃及神话人物数学应用与建模初步讲义

2020年11月30日发(作者：魏禧)

数学应用与建模初步


胡建伦





重庆市垫江第五中学
2016年2月





目 录
前言……………………………………………………………………………………1
第1讲 数学应用与建模课程的概述………………………………………………2
1.1原型与模型………………………………………………………………2
1.2数学模型及其分类………………………………………………………2
1.3数学建模……………………………………………………………………3
第2讲 初中阶段数学建模的主要内容……………………………………………7
2.1方程（组）模型……………………………………………………………7
2.2函数模型……………………………………………………………………7
2.3不等式（组）模型………………………………………………………7
2.4几何模型……………………………………………………………………7
2.5概率模型……………………………………………………………………8
2.6统计模型……………………………………………………………………8
2.7其他模型……………………………………………………………………8
第3讲 数学建模的分析方法和分析工具…………………………………………9
3.1数学建模的一般方法………………………………………………………9
3.2数学建模初步的分析方法………………………………………………10
3.3数学建模初步的分析工具………………………………………………11
第4讲 数学建模的基本流程与步骤………………………………………………13
第5讲 数学建模初步案例教学…………………………………………………15
5.1数学建模解题步骤………………………………………………………15
5.2数学建模例题教学………………………………………………………16






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前言
我国著名的数学家华罗庚曾经指出：“人 们对于数学产生枯燥无味、神秘难
懂的印象，原因之一便是脱离实际。”因此，我们在学习数学的时候都 应该善于
挖掘身边的生活实例，将它们作为有效的学习资源，在做中学数学、在实践中体
验数学 ，自主构建数学模型，感受数学的魅力，提高对数学学习的兴趣，并增强
学习数学的自信心。

全日制义务教育数学课程标准对数学建模提出了明确要求，标准强调“从学
生已有的经验出发， 让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应
用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时 ，在思维能力、情感态度与价值观
等方面得到进步和发展。”强化数学建模的能力，不仅能使学生更好地 掌握数学
基础知识，学会数学的基本思想和方法。也能增强学生应用数学的意识，提高分
析问题 ，解决实际问题的能力。
数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象．数学课程应体现“问题情境< br>——建立数学模型——理解、应用与拓展” ，让学生亲身经历将实际问题抽象
成数学模型并进行 解释与应用的过程．数学建模重视数学知识，更突出数学思想
方法，让学生通过观察、实验、猜测、验证 、推理与交流等数学学习活动，在获
得对数学理解的同时，在思维能力、情感、态度与价值观等多方面得 到进步和发
展。
本课程主要是帮助学生用所学的初中知识建立数学模型来解决生活中的实际问题，进而培养学生应用数学的意识。









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第1讲 数学应用与建模课程的概述

1.1原型与模型
原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对 象。模型则
指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。

1.2数学模型及其分类
1.2.1数学模型
数学模型可以描述为，对现实世界的 一个特定对象，为了一个特定目的，根
据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工 具，得到的一
个数学结构。
具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其它数学 符号建立
起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系
的数学 结构表达式。数学模型是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问
题相结合的一门科学。它将现实 问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用
数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从 定性或定量的角度来刻
画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。它是真实系统的< br>一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是分析、设计、
预报或预测、控制 实际系统的基础。

1.2.2数学模型的分类
按照不同的分类标准可以得出不同的数学模型
（1）按建立模型的数学方法分为初等模型、几 何模型、统计回归模型、数
学规划模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型等等。
（2） 按模型的表现特性分为确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、
线性模型和非线性模型、离散模型 和连续模型。
（3）按建模目的分有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模
型、控制模型等。
（4）按人们对事物发展过程的了解程度分类分为白箱模型、灰箱模型和黑
箱模型。
①白箱模型是指那些内部规律比较清楚的模型，如力学、热学、电学以及相
关的工程技术问题；②灰箱模 型是指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善
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模型方面都还不同程度地有许 多工作要做的问题，如气象学、生态学、经济学等
领域的模型；③黑箱模型是指一些其内部规律还很少为 人们所知的现象，如生命
科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模
型来研究。
（5）按是否考虑模型的变化分为静态模型和动态模型。
静态模型是指 要描述的系统各量之间的关系是不随时间的变化而变化的，一
般都用代数方程来表达。动态模型是指描述 系统各量之间随时间变化而变化的规
律的数学表达式，一般用微分方程或差分方程来表示。经典控制理论 中常用的系
统的传递函数也是动态模型，因为它是从描述系统的微分方程变换而来的。
（6）按应用离散方法或连续方法分类分为离散模型和连续模型。
模型中的时间变量是在一定 区间内变化的模型称为连续时间模型，用微分方
程描述的模型都是连续时间模型。在处理集中参数模型时 ，也可以将时间变量离
散化，所获得的模型称为离散时间模型。离散时间模型是用差分方程描述的。
（7）按是否考虑随机因素分类分为确定性模型和随机性模型。
随机性模型中变量之间关系是 以统计值或概率分布的形式给出的，而在确定
性模型中变量间的关系是确定的。
（8）参数与非参数模型
用代数方程、微分方程、微分方程组以及传递函数等描述的模型都是 参数模
型。建立参数模型就在于确定已知模型结构中的各个参数。通过理论分析总是得
出参数模 型。非参数模型是直接或间接地从实际系统的实验分析中得到的响应，
例如通过实验记录到的系统脉冲响 应或阶跃响应就是非参数模型。运用各种系统
辨识的方法，可由非参数模型得到参数模型。如果实验前可 以决定系统的结构，
则通过实验辨识可以直接得到参数模型。
（9）线性和非线性模型 线性模型中各量之间的关系是线性的，可以应用叠加原理，即几个不同的输
入量同时作用于系统的响 应，等于几个输入量单独作用的响应之和。线性模型简
单，应用广泛。非线性模型中各量之间的关系不是 线性的，不满足叠加原理。在
允许的情况下，非线性模型往往可以线性化为线性模型，方法是把非线性模 型在
工作点邻域内展成泰勒级数，保留一阶项，略去高阶项，就可得到近似的线性模
型。
（10）按应用领域分类
生物学数学模型、医学数学模型、地质学数学模型、气象学数学模型 、经济
学数学模型、社会学数学模型、物理学数学模型、化学数学模型、天文学数学模
型、工程 学数学模型、管理学数学模型。

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1.3数学建模
1.3.1数学建模的起源
数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的， 我国的几所
大学也在80年代初将数学建模引入课堂。经过20多年的发展现在绝大多数本科
院 校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用
数学方法分析、解决实际问 题的能力开辟了一条有效的途径。
大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在 几位从事数学
建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而
且 积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例。可以说，数学建
模竞赛是在美国诞生、在中 国开花、结果的。
1992年由中国工业与应用数学学会组织举办了我国10城市的大学生数学模型联赛，74所院校的314队参加。教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一
新生事物，决定从 1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主
办全国大学生数学建模竞赛，每年一届。 十几年来这项竞赛的规模以平均年增长
25%以上的速度发展。
全国大学生数学建模竞赛是全 国高校规模最大的课外科技活动之一。本竞赛
每年9月(一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共3 天，72小时）举行，
竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞< br>赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）。
2008 年全国有31个省/市/自治区(包括香港)1023所院校、12846个队（其
中甲组10384队 、乙组2462队）、3万8千多名来自各个专业的大学生参加竞赛，
是历年来参赛人数最多。
全国大学生数学建模竞赛需要的知识包括：
第一方面：数学知识的应用能力。涉及的数学知识 面十分地宽广，但归结起
来大体上有以下几类：1）概率与数理统计；2）统筹与线轴规划；3）微分方 程；
4）还有与计算机知识相交叉的知识——计算机模拟。上述的内容有些同学完全
没有学过， 也有些同学只学过一点概率与数理统计，微分方程的知识怎么办呢？
一个词“自学”，其实对老师而言也 不可能样样精通。数模评卷的负责教师范毅
说过“能用最简浅的数学方法解决了别人用高深理论才能解决 的答卷是更优秀
的答卷”。
华南理工大学95国际金融级的一个女同学叫徐文燕，96年竞赛 讲座一开始，
她就毛遂自荐，主动介绍自己的情况，要求参加竞赛。当时她在选拔赛中成绩不
突 出，她所学的数学课程又比较少，按正常的情况下她不可能获得参赛资格，可
是她的进取心特别强，中英 文基础好，计算机能力也较强，结果破例吸收了她。
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在训练中她肯挑重担，服从 分配，又善于学习，结果在1998年春天，她使全队
获得了全美数模赛的一等奖。现在她也被清华大学 免试录取成了一名研究生。
第二方面：计算机的运用能力，一般来说凡参加过数模竞赛的同学都能熟练
地应用字处理软件“Word”(97或2000)，掌握电子表格“Excel”的使用；
“ Mathematical”软件的使用，最好还具备语言能力。这些知识大部分都是学生
自己利用课余 时间学习的。
第三方面：论文的写作能力。建模竞赛中考卷的全文是论文式的，文章的书写有比较严格的格式。很多同学做选择题的时候是“高手”但是要清楚地表达自
己的想法的就困难重 重了，有时一个问题没说清楚学生就又说另一个问题等等，
评卷的教师们有一个共识，一遍文章用10来 分钟阅读仍然没有引起兴趣的话，
这一遍文章就很有可能被打入冷宫了。

1.3.2数学建模的定义
简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。
具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的
数学结构。
更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特
有的内在规律，做出一些必 要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数
学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图 示等。
数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见
数学建模 过程流程图）。 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和
方法，通过抽象、简化建立能近 似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手
段。

数学建模过程流程图

1.3.3数学建模的意义
数学建模具有很强的现实意义。
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（1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。
在以声、光、热、力、电这些物 理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水
利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻， 虽然这里的基本模
型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法
解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无
法求解的课题（如大型 水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；建立在
数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以 其快速、经济、方便等优势，大量
地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。
（2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。
无论是发展通讯、航天、微电子 、自动化等高新技术本身，还是将高新技术
用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下 的建模和模拟都是
经常使用的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算
机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高
新技术的特征之一。在 这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，它是许多技术
的基础，而且直接走向了技术的前台。国际上一 位学者提出了“高技术本质上是
一种数学技术”的观点。
（3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。
随着数学向诸如经济 、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交
叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、 数学地质学等应运而生。一般
地说，不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定 量关
系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这
些领域里建 立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建
模提供了广阔的新天地。马克思说过 ，一门科学只有成功地运用数学时，才算达
到了完善的地步。展望21世纪，数学必将大踏步地进入所有 学科，数学建模将
迎来蓬勃发展的新时期。













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第2讲 初中阶段数学建模的主要内容
结合初中教学内容可以得到，初中阶段的数 学应用建模的主要类型有方程模
型、函数模型、不等式模型、几何模型、概率模型、统计模型、其他模型 （如数
的模型）。

2.1方程（组）模型
初中阶段的方程模型主要有一 元一次方程模型、二元一次方程模型、分式方
程模型、一元二次方程模型。
现实生活中广泛存 在着数量之间的相等关系，“方程（组）”模型是研究现实
世界数量关系的最基本的数学模型，它可以帮 助人们从数量关系的角度更正确、
清晰的认识、描述和把握现实世界。诸如纳税问题、分期付款、打折销 售、增长
率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题，常可以抽象成“方程（组）”
模型，通过列方程（组）加以解决

2.2函数模型
初中阶段的函数模型主要有一 次（正比例）函数模型、反比例函数模型、二
次函数模型、三角函数模型等
函数反映了事物间 的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系及运动规
律。现实生活中，诸如最大获利、用料价造、最佳 投资、最小成本、方案最优化
问题，常可建立函数模型求解。

2.3不等式（组）模型
主要有一元一次不等式模型和一元一次不等式组模型。
现 实生活中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。诸如统筹安排、市场营
销、生产决策、核定价格范围等 问题，可以通过给出的一些数据进行分析，将实
际问题转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关性质 加以解决。

2.4几何模型
初中数学阶段的几何模型主要涉及平行四边形、矩形 、菱形、正方形、梯形
（等腰与直角梯形）、圆（含扇形）的基本图形下的相似（三角形）与全等（三< br>角形）、几何变换（对称变换（含中心对称和轴对称变换）、旋转变换、平移变换）。
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几何与人类生活和实际密切相关，诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路
拱桥设计等涉 及一定图形的性质时，常需建立“几何模型，把实际问题转化为几
何问题加以解决。

2.5概率模型
求概率估计事件发生的可能性，为实际问题的解决方案提供可靠的指导，在< br>社会生活及科学领域中用途非常广泛，诸如游戏公平问题、彩票中奖问题、预测
球队胜负等问题， 常可建立概率模型求解。

2.6统计模型

通过“三数”、“三差”以 及统计图中得出的信息来分析一组数据的特征，
从而在实际问题中做出相应的决策。其中“三数”是指平 均数、中位数和众数，
“三差”是指极差、方差和标准差。统计图包括条形统计图、扇形统计图、折线< br>统计图和象形统计图。
随着经济社会的不断发展，统计知识在自然科学、经济、人文、管理、 工
程技术等众多领域有着越来越多的应用。诸如公司招聘、人口统计、各类投标选
举等问题，常 要将实际问题转化为“统计”模型，利用有关统计知识加以解决。

2.7其他模型











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第3讲 数学建模的分析方法和分析工具

3.1数学建模的一般方法
一般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类，一类是机理分 析方法，
一类是测试分析方法。机理分析是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，
找出 反映内部机理的规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析将
研究对象视为一个“黑箱”系 统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输入
输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先 确定的准则在某一类模型
中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识。将这两种方法结
合起来也是常用的建模方法，即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模
型的参数。
分析方法的选择主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定
的。
如果掌 握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意
义，那么应该以机理分析方法为主。当 然，若需要模型参数的具体数值，还可以
用系统辨识或其他统计方法得到。如果对象的内部机理基本上不 掌握，模型也不
用于分析内部特性，譬如仅用来作输出预报，则可以系统辨识方法为主。系统辨
识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识。
我们看到用建模方法解决实际问题， 首先是用数学语言表述问题即构造模
型，其次才是用数学工具求解构成的模型。用数学语言表述问题，包 括模型假设、
模型构造等，除了要有广博的知识（包括数学知识和各种实际知识）和足够的经
验 之外，特别需要丰富的想象力和敏锐的洞察力。想象力指人们在原有知识的基
础上，将新感知的形象与记 忆中的形象相互比较、重新组合、加工处理，创造出
新的形象，是一种形象思维活动。洞察力指人们在充 分占有资料的基础上，经过
初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用哪 些
方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。
类比方法和理想化方法是建模中常用 的方法，它们的运用与想象力、洞察力
有密切关系。类比法注意到研究对象与已熟悉的另一对象具有某些 共性，比较二
者相似之处以获得对研究对象的新认识。选择什么对象进行类比，比较哪些相似
的 属性，在一定程度上是靠想象进行的。将交通流与水流比来建立交通流模型是
这方面的例子。
理想化方法是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使
其升华到理想状态，以期更本 质地揭示对象的固有规律。在一定条件下把物体看
着质点，把实际位置看作数学上的点、线等都是理想化 的结果。
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建模过程是一种创造性思维过程，除了想象、洞察、判断这些属于形 象思维、
逻辑思维范畴的能力之外，直觉和灵感往往也起着不可忽视的作用。直觉是人们
对新事 物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。灵感指在人们有意识或下意识思考
过程中迸发出来的猜测、思路或 判断。二者都具有突发性，且思维者本人往往说
不清它的来路和道理。
具体的数学建模的方法
（一）机理分析法。从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。
1. 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。
2. 代数方法-- 求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。
3. 逻辑方法--是数学理论研究的重 要方法，对社会学和经济学等领域的实
际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。
4. 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立瞬时变化率
的表达式。
5. 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。
（二）、数据分析法。从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。
1. 回归分析法 --用于对函数f（x）的一组观测值（xi, fi）i=1,2… n，
确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
2. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
（三）、仿真和其他方法
1. 计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。① 离
散系统仿真 --有一组状态变量。 ② 连续系统仿真--有解析表达式或系统结构
图。
2. 因子试验法--在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修
改，求得所需的模型结构。
3. 人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并
考虑到系统有关 因素的可能变化，人为地组成一个系统。

3.2数学建模初步的分析方法
一筛： 通过阅读实际问题的背景材料，筛选出有用的信息，去掉无用信息，
从而简化实际问题背景的信息量，便 于进一步理解实际问题。当实际问题中信息
量较大时可以逐一编号。
二找：有了第一步的筛选 ，接下来就是仔细斟酌每一个筛选出来的信息，找
找里面蕴含的等量关系、不等量关系和数量关系。
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三建立：根据前两步的结果建立适当的数学模型，比如函数、方程、不等式< br>模型等。建模时注意同一问题可能有多种方法，同一问题的答案可能是多样的

3.3数学建模初步的分析工具
1、表格分析
将实际问题中的因子量用表格的形式表示出来加以分析，找出规律，从而解决
问题。
2、线段图分析
在行程问题中可以很好的利用线段图工具分析实际问题。
3、等量关系分析
①和差倍分问题
②行程问题（含相遇问题、追及问题、航程问题等）
路程=速度×时间
（1）相遇问题
速度和×相遇时间=两地距离 快车行驶的路程+慢车行驶的路程=两地距离
（2）追及问题
速度差×追及时间=追及距离 快车行驶的路程—慢车行驶的路程=原两车距离
③工程问题（含配套问题）
工作总量=工作效率×工作时间
④销售问题
（1）“金三角”






成本
+提高
—利润
标价
×
打折
售价
（2）有关利润的等量关系
利润=售价-成本

利润率
=
利润
×100﹪

成本
售价=成本×（1+利润率）
⑤银行存款问题
利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息
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⑥浓度问题
溶质质量
浓度=
×100﹪

溶液质量
⑦其他（如：数的问题、面积体积问题等）
4、不等量关系分析
不等量关系一般有关键词，因此利用不等量关系分析实际问题时要抓住关 键
词，如大于、小于、不等于、不操过、不低于、高于、少于、多于等等。





















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