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§1 实数系的连续性
实数系
实数集合R的重要的基本性质——连续性。
x0c
§1 实数系的连续性
文本框: 第二章 数列极限
第二章数列极限
数系的扩充历史
自然数集合N :关于加法与乘法运算是封闭的,但是N关于
减法运算并不封闭。
整数集合 Z:关于加法、减法和乘法都封闭了,但是Z关于
除法是不封闭的。整数集合Z具有“离散性” 。
实数系
实数集合R的重要的基本性质——连续性。
x0c
有理数集合Q...
...
∈∈==+ZNqppq xx,,|。关于加法、减法、乘
法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合Q具有“稠密性” 。
c
x0c
虽然有理数集合是稠密的,但在坐标轴上留有“ 空隙”。例如
用表示边长为1的正方形的对角线的长度,这个c就无法用有理数
来表示。换言之,有理数集合对于开方运算是不封闭的。因此有
必要将有理数集合加以扩充。
-3 -2 -1 0 1 c 2 3
图2.1.1
有理数集合Q...
...
∈∈==+ZNqppqxx,,|。关于加法、 减法、乘
法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合Q具有“稠密性”。
x0 c
有理数能表示成有限小数或无限循环小数,所以扩充有理数
集合 Q最直接 的方式,就是把所有的无限不循环小数(称为无理
数)吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构 成的集合称为实数集
R:
R ={xx是有理数或无理数}。
< br>x0c
有理数能表示成有限小数或无限循环小数,所以扩充有理数
集合 Q最直接的方式,就是把所有的无限不循环小数(称为无理
数)吸纳进来。全体有理数和全体无 理数所构成的集合称为实数集
R:
R ={xx是有理数或无理数}。 < br>
全体无理数所对应的点(称为无理点)填补了有理点在坐标
轴上的所有“空隙” ,即实数铺满了整个数轴。
实数集合的这一性质称为实数系R的“连续性”。R又被称
为实数连续统。
实数系R的连续性,从几何角度理解,就是实数全体布满整
个数轴而没有“空 隙”,但从分析角度阐述,则有多种相互等价
的表述方式。“确界存在定理”就是实数系R连续 性的表述之一。
x0c
最大数与最小数
记号:“.”表示 “存在”或“可以找到”,“.”表示
“对于任意的”或“对于每一个”。例如
AB. . .∈xA,有xB∈,
AB. . .∈xA,使得xB.。
x0c
设S是一个数集,如果S∈.ξ,使得.∈xS,有ξ≤x,则称
ξ是数集S的最大数,记为ξ=maxS;如果S∈.η,使得.∈xS,
有η≥ x,则称η是数集S的最小数,记为η=minS。
当数集S是非空有限集时,maxS是这 有限个数中的最大
者,minS是这有限个数中的最小者。但是当S是无限集时,S
< br>可能不具有最大数及最小数。
最大数与最小数
记号:“.”表示“ 存在”或“可以找到
”,“.”表示
“对于任意的”或“对于每一个”。例如
AB. . .∈xA,有xB∈,
AB. . .∈xA,使得xB.。
x0c
例2.1.1 集合A=≥{|}xx0没有最大数,但有最小数,
minA = 0。
x0c
例2.1.1 集合A=≥{|}xx0没有最大数,但有最小数,
minA = 0。
例2.1.2 集合B=≤<{|}xx01没有最大数。
证 用反证法。
假设集合B有最大数,记为β。由∈β[,)01,可知
21ββ+
=′∈[,)01。但是ββ>′,这就与β是集合B的最大数发生矛
盾。所以集合B 没有最大数。
x0c
上确界与下确界
设S是一个非空数 集,如果R∈.M,使得.∈xS,有xM≤,
则称M是S的一个上界;如果R∈.m,使得. ∈xS,有xm≥,则
称m是S的一个下界。
x0c
上确界与下确界
设S是一个非空数集,如果R∈. M,使得.∈xS,有xM≤,
则称M是S的一个上界;如果R∈.m,使得.∈xS,有xm ≥,则
称m是S的一个下界。
当数集S既有上界,又有下界时,称S为有界集。
S为有界集 . .>X0,使得Sx∈.,有x≤X。
x0c
设数集S有上界,记U为S的 上界全体所组成的集合,则显
然U不可能有最大数,下面将证明:U一定有最小数。
设U的最小数为β,就称β为数集S的上确界,即最小上界,
记为
β=supS。
上确界β满足下述两个性质:
1.β是数集S的上界:.∈xS,有β≤x;
2.任何小于β的数不是数 集S的上界:.ε>0,.∈xS,使得
εβ.>x。
x0c
若数集S有下界,记L为S的下界全体所组成的集合,则显
然L不可能有最小数,同样可以 证明:L一定有最大数。
设L的最大数为α,就称α为数集S的下确界,即最大下界,
记为
α=infS。
下确界α满足下述两个性质:
1. α是数集S的下界:.∈xS,有α≥x;
2. 任何大于α的数不是数集S的下界:.ε>0,.∈xS,使
得εα+
x0c
定理2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理) 非空有上
界的数集必有上确界;非空有下界的数集必有下确界。
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定理2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理) 非空有上
界的数集必有上确界;非空有下界的数集必有下确界。
证 任何一个实数x可表示成
x=[x]+(x),
其中[x]表示x的整数部分,(x)表示x的非负小数部分。
将(x)表示成无限小数的形式:
(x) = ....,
其中aaan12,,,,....中的每一个都是数字0,1,2,…,9中的
一个,若 (x)是有限小数,则在后面接上无限个0。
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注
无限小数....(ap≠0)与无限小数
0199912.()aaap.....是相等的 ,为了保持表示的唯一性,约定在
(x)的无限小数表示中不出现后者。这样,任何一个实数集 合S
就可以由一个确定的无限小数的集合来表示:
{+....|a0 =[x],.... = (x),xS∈ }。
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设数集S有上界,则 可令S中元素的整数部分的最大者为α0,
并记
S0=∈={|[]}xxSx并且α0。
S0不是空集,并且.x∈S,只要0Sx∈,就有
再考察数集 S0中元素的无限小数表示中第一位小数的数字,
令它们中的最大者为α1,并记
S1=∈{|}xxSx01并且的第一位小数为α。
S1也不是空集,并 且对于任意x∈S,只要∈x1S,就有
x0c
一般地 ,考察数集Sn.1中元素的无限小数表示中第n位小数的
数字,令它们中的最大者为αn,并 记
Sn=∈.{|}xxSxnnn1并且的第位小数为α。
Sn不是空 集,并且对于任意x∈S,只要nSx∈,就有
αn。
< br>不断地做下去,我们得到一列非空数集S.S0.S1.….Sn.…,
和一列数α0, α1,α2,…,αn,…,满足
0α∈Z;
kα∈{0,1,2,…,9},+∈Nk。
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令
β=α0+10.αα2…αn…。
下面分两步证明β就是数集S的上确界。
x0c
令
β=α0+10.αα2…αn…。
下面分两步证明β就是数集S的上确界。
(1)设Sx∈,则或者存在整数 n00≥,使得
0nSx∈;或者对任何整
数n≥0,有xSn∈。
若
0nSx∈,便有
若xSn∈(.N∈n),由Sn的定义并逐个比较 x与 β的整数部
分及每一位小数,即知有
β=x。
所以对任意的Sx∈,有xβ≤,即β是数集S的上界。
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(2) 对于任意给定的0>ε,只要将自然数n0取得充分大,便有
1100n<ε。
取xSn00∈,则β与x0的整数部分及前n0位小数是相同的,所以
0x.β≤
1100n<ε,
即
x0εβ.>,
即任何小于β的数εβ.不是数集S的上界。
同理可证非空有下界的数集必有下确界。
证毕
x0c
关于数集的上(下)确界有下述的唯一性定理:
定理2.1.2 非空有界数集的上(下)确界是唯一的。
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关于数集的上(下)确界有下述的唯一性定理:
定理2.1.2 非空有界数集的上(下)确界是唯一的。
确界存在定理反 映了实数系连续性这一基本性质:假若实数
全体不能布满整条数轴而是留有“空隙”,则“空隙 ”左边的数
集就没有上确界,“空隙”右边的数集就没有下确界。
有理数集 合Q在数轴上有“空隙”,它就不具备实数集合R所
具有的“确界存在定理”,也就是说:Q内 有上(下)界的集合T
未必在Q内有它的上(下)确界。
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例2.1.3 设}20|{2<>∈=xxxxT,并且Q,证明T在Q内没有
上确界。
证 略。
关于数集的上(下)确界有下述的唯一性定理:
定理2.1.2 非空有界数集的上(下)确界是唯一的。
确界存在定理反 映了实数系连续性这一基本性质:假若实数
全体不能布满整条数轴而是留有“空隙”,则“空隙 ”左边的数
集就没有上确界,“空隙”右边的数集就没有下确界。
有理数集 合Q在数轴上有“空隙”,它就不具备实数集合R所
具有的“确界存在
定理” ,也就是说:Q内有上(下)界的集合T
未必在Q内有它的上(下)确界。
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