udown西安交通大学数学上机报告

2020年11月30日发(作者：平显)
数学实验报告
高等数学 I-2 [08] XXX老师
LWYohann XXX XXX
2020.6
数学实验报告(2020.6)
姓名
LWYohann
XXX
XXX
学号
219XXXXXXX
班级
XXXXX
1.A组 第(1)题
有一只猎狗在B点位置发现了一只 兔子在正东北方距离它200米的地方O处，
此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米 的洞口A全速跑去，
假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，用计算机仿真法等
多种方法完成下面的实验：
1)问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？
2)在猎狗能追上兔子 的情况下，猎狗跑过的路程是多少？
3)画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。
4)假设在追赶过程 中，当猎狗与兔子之间的距离为30米时，兔子由于害怕,
奔跑的速度每秒减半，而猎狗却由于兴奋奔跑 的速度每秒增加0.1倍，在
这种情况下，再按前面的（1）-（3）完成实验任务。
1.1题 目分析
对问题进行分析后可知，兔子奔跑的路线和方向始终指向正西北方向，
为研究问题简便 起见，我们以正东北方向为x轴正向，正西北方向为y轴正
向，建立平面直角坐标系。初始状态下，兔子 位于坐标原点O(0,0)处，猎
狗位于B(-200,0)处，洞口位于A(0,120)，设猎狗所 走的路程为s，兔子与
猎狗的速度之比为
要模拟此追及过程，关键在于将整个的追及过程离散化，即以 dt 为时间间
隔，兔子一步步 地移动，猎狗一步步地追及，如此持续直到二者之间的距离
足够小为止，这时，我们可以根据条件和追及 的规律，实时计算出兔子和猎
狗的位置。
1.2程序与上机运行结果
1.2.1
设在某时刻，兔子位于点(0,8t)处，猎狗位于点(x,y)处
由于猎狗在追赶兔子时，速度始终朝着兔子的方向，故有

上式再对x求导，有

另有

故有

联立得到此问题的微分方程：


调用
matlab
的
dsolve
命令，解此微分方程

设
p=dsolve('x*Dp=r*sqrt(1+p^2)','p(c)=0','x')
p =
即，解得


继续调用
matlab
的
dsolve
命令，解此微分方程

y=dsolve('D y=1/2*(-(x/c)^r+(c/x)^r)','y(c)=0','x')
y =


对结果作几点讨论：
1° 若r>1，即兔子的速度大于猎狗的速度时，在时，
2° 若r=1，即兔子的速度等于猎狗的速度时，追及模型的解为

在时，，显然不可能追上。

3° 若r<1，即兔子的速度小于猎狗的速度时，追及模型的解为

在
时， ，将

代入，在临界条件时
解此方程
syms r
fx=-200*r/(r^2-1)-120;
solve(fx)
ans =



舍去负值，得 r 的范围是

解得



1.2.2
以 dt 为时间间隔，兔子一步步地移动，猎狗一步步地追及，如此持续直到

二者之间的距离足够小为止.

假定兔子从
点跑到点，猎狗则沿向量
追及到
追及到点；此时兔子又跑到
点，猎狗则沿向量点；依此类推，直到二者之间的距离足够< br>小。此时，兔子和猎狗的位置坐标根据向量的运算方法：







clear;clc;clf;
hold on
axis([-210 10 0 130]);
grid
A=[-200 0]; %标记猎狗的初始位置
B=[0 0]; %标记兔子的初始位置
d=norm(A-B); %计算二者之间的距离
k=0; %迭代次数
v=8;dt=0.1;K=18/8;
suma=0;
while k<10000
k=k+1;
B=B+[0,v*dt]; %计算兔子的位置
plot(A(1),A(2),'r.','MarkerSize',15);
plot(B(1),B(2),'r.','MarkerSize',15);
e=B-A;
d=norm(e); %计算二者之间的距离
if d<=0.2 %如果二者距离小于20cm,可认为已经追上了
break
end
if B(2)>=120
fprintf('兔子已经进洞，猎狗未能追上')
break
end
e=e/d; %计算猎狗奔跑的方向向量
A=A+K*v*dt*e; %计算猎狗的位置
suma=suma+norm(K*v*dt*e); %计算猎狗奔跑的距离
pause(0.01)
end

fp rintf('k=%.0f,B(0,%.0f),A(%.2f,%.2f),d=%.2fn' ...
,k,B(1),A(1),A(2),d)
k=140,B(0,0),A(0.01,112.01),d=0.02
fprintf('s=%.2f',suma)
s=250.20

1.2.3
当猎狗与兔子之间的距离小于等于30米后,只需要每秒改变一次兔子和猎狗的速度即可模拟追赶的过程。
clear;clc;clf;
hold on
axis([-210 10 0 130]);
grid
A=[-200 0]; %标记猎狗的初始位置
B=[0 0]; %标记兔子的初始位置
d=norm(A-B); %计算二者之间的距离
k=0; %迭代次数
v=8;dt=0.1;K=15.9/8;
suma=0;
k10=0;
while k<10000
k=k+1;
if d<=30
k10=k10+1;
end
if k10==10 %每1秒改变一次猎狗和兔子的速度
v=0.5*v;
K=2.2*K;
k10=0;
end
B=B+[0,v*dt]; %计算兔子的位置
plot(A(1),A(2),'r.','MarkerSize',15);
plot(B(1),B(2),'r.','MarkerSize',15);
e=B-A;
d=norm(e); %计算二者之间的距离
if d<=0.2 %如果二者距离小于20cm,可认为已经追上了
break
end
if B(2)>=120
fprintf('兔子已经进洞，猎狗未能追上')
break
end
e=e/d; %计算猎狗奔跑的方向向量
A=A+K*v*dt*e; %计算猎狗的位置
suma=suma+norm(K*v*dt*e); %计算猎狗奔跑的距离
pause(0.01)
end

fp rintf('k=%.0f,B(0,%.0f),A(%.2f,%.2f),d=%.2fn' ...
,k,B(1),A(1),A(2),d)
k=158,B(0,0),A(0.07,119.49),d=0.11
fprintf('s=%.2f',suma)
s=252.56
由计算结果可 知，当猎狗的初速度为时，猎狗在非常接近于洞口的位
置捉住了兔子，因此，猎狗追上兔子的最小速度近 似为，此过程中，
猎狗奔跑的距离为252.56m 。

1.3结果分析及说明
1.3.1
在1.2.1中，为使研究问题简便起见，我们以正东北方向为x轴正向，正西北方向为y轴正向，建立平面直角坐标系，并使用解析法，建立模型，得出
追及的微分方程，并调 用MATLAB的dsolve命令，精确求出了能在兔子进洞前
捉住它时，猎狗的速度取值范围，即大 于等于17.08 m/s。
1.3.2
在1.2.2中，我们沿用了之前建立的坐标系， 从而模拟此追及过程，将
整个的追及过程离散化，即以 dt 为时间间隔，兔子一步步地移动，猎狗一
步步地追及，如此持续直到二者之间的距离足够小为止，这时，我们根据条
件和追及的规律，实 时计算出了兔子和猎狗的位置。
取猎狗的初速度为18m/s，每隔0.1s计算一次兔子和猎狗的位 置，并绘
制追及的路线图像，直到二者之间的距离小于0.2m，就认为已经捉住了兔子。
将每 个时间间隔中猎狗跑过的路程叠加，就得到了猎狗的总路程150.2m，猎
狗在（0，112）处捉住 了兔子。
路径如图所示：