华硕k40ab关于数学的小知识

2020年11月26日发(作者：章泽)

关于数学的小知识
高斯(Gauss 1777~1855)生于Brunswi ck，位于现在德国中北部。他的祖父是农
民，父亲是泥水匠，母亲是一个石匠的女儿，有一个很聪明的 弟弟，高斯这位舅
舅，对小高斯很照顾，偶而会给他一些指导，而父亲可以说是一名「大老粗」，
认为只有力气能挣钱，学问这种劳什子对穷人是没有用的。

高斯很早就展现过人才华， 三岁时就能指出父亲帐册上的错误。七岁时进了小学，
在破旧的教室里上课，老师对学生并不好，常认为 自己在穷乡僻壤教书是怀才不
遇。高斯十岁时，老师考了那道著名的「从一加到一百」，终于发现了高斯 的才
华，他知道自己的能力不足以教高斯，就从汉堡买了一本较深的数学书给高斯读。
同时，高 斯和大他差不多十岁的助教Bartels变得很熟，而Bartels的能力也比
老师高得多，后来成 为大学教授，他教了高斯更多更深的数学。

老师和助教去拜访高斯的父亲，要他让高斯接 受更高的教育，但高斯的父亲认为
儿子应该像他一样，作个泥水匠，而且也没有钱让高斯继续读书，最后 的结论是
－－去找有钱有势的人当高斯的赞助人，虽然他们不知道要到哪里找。经过这次
的访问 ，高斯免除了每天晚上织布的工作，每天和Bartels讨论数学，但不久之
后，Bartels也没 有什么东西可以教高斯了。

1788年高斯不顾父亲的反对进了高等学校。数学老师看了 高斯的作业后就要他
不必再上数学课，而他的拉丁文不久也凌驾全班之上。

17 91年高斯终于找到了资助人－－布伦斯维克公爵费迪南(Braunschweig)，答
应尽一切可 能帮助他，高斯的父亲再也没有反对的理由。隔年，高斯进入
Braunschweig学院。这年，高 斯十五岁。在那里，高斯开始对高等数学作研究。
并且独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的「二 次互逆定理」(Law of
Quadratic Reciprocity)、质数分布定理(prime numer theorem)、及算术几何
平均(arithmetic-geometric mean)。

1795年高斯进入哥廷根(G?ttingen)大学，因为他在语言和数学上都极有天分 ，
为了将来是要专攻古典语文或数学苦恼了一阵子。到了1796年，十七岁的高斯
得到了一个 数学史上极重要的结果。最为人所知，也使得他走上数学之路的，就
是正十七边形尺规作图之理论与方法 。

希腊时代的数学家已经知道如何用尺规作出正 2m×3n×5p 边形，其中 m 是正
整数，而 n 和 p 只能是0或1。但是对于正七、九、十一边形的尺规作图法，
两千年来都没有人知道。而高斯证明了：

一个正 n 边形可以尺规作图若且唯若 n 是以下两种形式之一：

1、n = 2k，k = 2, 3,…



2、n = 2k × (几个不同「费马质数」的乘积)，k = 0,1,2,…

费马质数是形如 Fk = 22k 的质数。像 F0 = 3，F1 = 5，F2 = 17，F3 = 257，
F4 = 65537，都是质数。高斯用代数的方法解决二千多年来的几何难题，他也视
此为 生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上
并没有刻上十七边形，而是十 七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形
和圆太像了，大家一定分辨不出来。

1799年高斯提出了他的博士论文，这论文证明了代数一个重要的定理：

任一多项式都有（复数）根。这结果称为「代数学基本定理」(Fundamental Theorem
of Algebra)。

事实上在高斯之前有许多数学家认 为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证
明是严密的。高斯把前人证明的缺失一一指出来，然后提出 自己的见解，他一生
中一共给出了四个不同的证明。

在1801年，高斯二十四岁时出版了《算学研究》(Disquesitiones Arithmeticae)，
这本书以拉丁文写成，原来有八章，由于钱不够，只好印七章。

这本书除了第七章介绍代数基本定理外，其余都是数论，可以说是数论第一本有
系统 的着作，高斯第一次介绍「同余」(Congruent)的概念。「二次互逆定理」
也在其中。

二十四岁开始，高斯放弃在纯数学的研究，作了几年天文学的研究。

当时的天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已，认为火星和木星间应该
还有行星未被发现。在1 801年，意大利的天文学家Piazzi，发现在火星和木星
间有一颗新星。它被命名为「谷神星」( Cere)。现在我们知道它是火星和木星的
小行星带中的一个，但当时天文学界争论不休，有人说这是 行星，有人说这是彗
星。必须继续观察才能判决，但是Piazzi只能观察到它9度的轨道，再来，它
便隐身到太阳后面去了。因此无法知道它的轨道，也无法判定它是行星或彗星。

高斯这时对这个问是产生兴趣，他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题。高
斯自己独创了只要三次观 察，就可以来计算星球轨道的方法。他可以极准确地预
测行星的位置。果然，谷神星准确无误的在高斯预 测的地方出现。这个方法－－
虽然他当时没有公布－－就是「最小平方法」 (Method of Least Square)。

1802年，他又准确预测了小行星二号－－智神星(P allas)的位置，这时他的声
名远播，荣誉滚滚而来，俄国圣彼得堡科学院选他为会员，发现Pal las的天文
学家Olbers请他当哥廷根天文台主任，他没有立刻答应，到了1807年才前往哥< br>廷根就任。

1809年他写了《天体运动理论》二册，第一册包含了微分方程、圆椎截痕和椭