昌乐一中吧《数学文化论文》

2020年11月26日发(作者：吴祖强)
本科生《数学文化》选修课程论文
数学文化的思考
与中外数学文化的差异
学 院： 理学院
专 业：化学工程与工艺
姓 名： Zen Ting
学 号：
联系电话：
电子邮箱：
指导教师： 布 和
教师职称： 讲 师
论文完成日期：二零一二年十二月一日
摘 要
数学在人类发展史上有着举足 轻重的作用，扮演着重要的角色，可以毫不夸张的
说，没有数学这门科学，人类的历史就无法展开，它不 仅在学术层面上重要，更是对
我们绚丽多彩的文化起着重大的作用。本文将回顾数学的发展史，浅谈数学 对文化的
作用，以及中外数学文化的差异。
关 键 词：阿基里斯追龟论 飞箭静止论《算术》希腊数学文化 中国数学代表
引 言
数学文化哲学作为 一门学科或一个研究方向,是将数学置于人类文化大背景下而
对其进行哲学反思。从数学哲学转向数学文 化哲学是在数学文化背景下的必然选择。
数学文化哲学不仅涵盖了对于数学本质及其价值更为深入的认识 ,而且从一个更为广
泛的角度指明了影响数学发展的各个因素,因此是对传统数学哲学的深化和拓展。数 学
文化哲学的孕育和产生有着深刻的学术背景和社会因素。这种转向有助于使数学哲学
走出现在 的困境,更为重要的是,还将大大拓宽数学哲学研究的视野,从而为数学哲学
的发展开辟更为广阔的前景 。
正 文
首先我们来回顾布和老师课上讲得第一个方面，即数学的发展。
古代数学最重要的两个分支就是古希腊和古代中国。古希腊文明是人类古代文明
中的一个皇冠，而数学则 是这皇冠上最大的那一颗钻石，向世人展示了希腊人的精神
——好奇多思，渴求知识。其哲学与数学的发 展则达到了那一时期的顶峰。公元480
年以后鸭店称为希腊的文化，政治中心，各种学术思想开始在雅 典争奇斗艳，古希腊
数学家更是层出不穷，艾丽娅学派的芝若提出了四个著名的悖论（二分说，追龟说，
飞箭静止说，运动场说）迫使哲学家和数学家开始思考极限的问题。
我依稀记得我接触最早的 ，也是使我对数学产生兴趣并选修这门课的原因，就是
因为追龟说——阿基里斯永远跑不过乌龟，和飞箭 静止说。下面我将详述这两个事列，
阐述数学问题中极限对人类文化精神上带来的冲击与思考。
1.1追龟说
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍 ，
乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先
必须到 达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于
是，一个新的起点产生 了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌
龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再 追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷
个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个 距离有多小，但只要乌
龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟，“乌龟” 动得最慢的物体 不会
被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经
往前走 了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。
我们看看这个故事的历史背景。当时柏拉图描述，芝诺说 这样的悖论，是兴之所
至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑数学派所代表的毕达哥拉斯
的1-0.999...>0思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的
但1-0.9 99...>0思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的
或1-0.999...>0思想 。有人解释道：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上
慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者 的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢
跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样 的出发点。芝诺当然知
道阿基里斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。类似阿基里斯追上海龟之类 的
追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要
的时间， 那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿基里斯永远
也追不上乌龟呢？然而问题出 在这里：我们在这里有一个假定，那就是假定阿基里斯
最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺 的悖论的实质在于要求我们证明为
何能追上。上面说到无穷个步骤是难以完成。以上初等数学的解决办法 ，是从结果推
往过程的。悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远，在于这个芝诺与我
们采取了不同的时间系统。人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而芝诺的解释则
采取了离散的时间 系统。即无论将时间间隔取的再小，整个时间轴仍是由有限的时间
点组成的。换句话说，连续时间是离散 时间将时间间隔取为无穷小的极限。 其实
这归根到底是一个时间的问题。譬如说，阿基里斯速度是 10m/s，乌龟速度是1m/s,乌
龟在前面100m。实际情况是阿基里斯必然会在100/9秒之 后追上乌龟。按照悖论的逻
辑，这100/9秒可以无限细分，给我们一种好像永远也过不完的印象。但 其实根本不
是如此。这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细
分。但其实我 们真的就永远也过不完这1秒了吗？显然不是。尽管看上去我们要过1/2、
1/4、1/8秒等等，好 像永远无穷无尽。但其实时间的流动是匀速的，1/2、1/4、1/8
秒，时间越来越短，看上去无穷 无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是1秒。
所以说，整个故事看起来就像一场数学教学中的失败 。也许在你的小学数学学习
中，你可能对一些隐隐约约的数学问题产生疑问。这就好比我们会利用3无法 被10整
除产生很多的悖论。然而，对于这个数学问题中的无限话题又对人生有着思考。我们
都 知道，古希腊的数学与哲学是并行不悖的。很多知名的学者不仅是伟大的数学家，
更是伟大的哲学家。而 飞箭静止说，则更好的反应了哲学的思考，就像我们本学期开
始学习的《马克思主义基本原理概论》，其 中费尔巴哈的形而上学，就提到过无限对
人类思想的启迪意义。
1.2飞箭静止说
我们可以很容易的拿初高中物理，相对静止与运动来辩驳这项悖论。运动是绝对
的，静止是相对的！相对 静止是运动的特殊情况。之所以是静止的是因为所选的参照
物的速度与研究对象的速度相同（大小和方向 相同）。回想我们上学期得《高等数学》，
什么是极限？极限的概念是什么？。速度的定义是 v=li mΔs/Δt（Δt-〉0）可以这
么理解Δt越接近0，Δs就越接近0。当Δt接近于0时（永远不 等于0），Δs/Δt
就接近一个固定的值（这个值就是该时刻的瞬时速度v）。极限是一个过程，也就 是一
个变化的过程。而不能简单地认为就是Δt=0。上述错误就是简单的认为Δt=0。而另
一方面，运动确实只是许多静止的总和，割裂了时间与空间，运动与静止的联系。只
是片面地看到了其中 一方面而忽略了另一方面的存在。根据机械运动理论的观点，要
描述一个物体的运动。首先是要建立一个 参照系，然后才能确定它的状态。如果我们
把自己（观察者）当作参考系。这时认为飞箭是运动的。而当 认为飞箭静止时，显然
参考系选的是飞箭。对于飞箭运动状态的两个描述，都不是在同一个参考系下。再 进
行比较已经毫无意义。除非能确定这两个参考系的相对运动状态。
所以说，在现在，就我掌 握的大学本科未毕业加12年教育来看，我的认知中，越
发觉这简直，完全，已乎就是一个彻头彻尾的悖 论。用简单的相对运动，运动，参照
系来认知，芝若的飞箭静止论狭义来看，其实就是当时“见少识不广 ”人们对自然科
学的朦胧思考。不过说来，也无不否认我的缺陷，无法看清这个悖论深层的意义。 为什么我会谈到这两个悖论？因为他构成了我对数学文化最初的认知。我们继续
回到上文提到古希腊 数学发展。
古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整个爱琴海区域和北面的马
其 顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。公元前5、6世纪，特别是希、波战争以
后，雅典取得希腊城 邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基
础上产生了光辉灿烂的希腊文化，对后世 有深远的。希腊数学的发展历史可以分为三
个时期。第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元 前七世纪中叶到公元前
三世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公元前146年，希腊陷于罗马 为止；
第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人
占 领。
从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期留下来的数学史料
很少。 不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关
系。
伊奥尼亚位 于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国
积累下来的经验和文化。在伊奥尼亚 ，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有
强烈的活动性，有利于思想自由而大胆地发展。城邦内部 的斗争，帮助摆脱传统信念
在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，因此有相当程度的思想 自由。
这大大有助于科学和哲学从宗教分离开来。
米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯 的故乡，泰勒斯是公认的希腊哲学鼻
祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流 传下来的知识，
并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。
当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测 一
次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争，多
数学 者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关
系算出金字塔的高， 使法老大为惊讶。
泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还
有阿纳克西曼德 和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。
毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩 斯，为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部
的克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密 团体。后来在政治斗
争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪之久。毕达哥拉
斯学派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。他们以
发现勾股定 理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。
这个学派还有一个特点，就 是将算术和几何紧密联系起来。他们找到用三个正整
数表示直角三角形三边长的一种公式，又注意到从 1起连续的奇数和必为平方数等等，
这既是算术问题，又和几何有关，他们还发现五种正多面体。 伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著的不同。前者研习数学并不单纯为了哲学
的兴趣，同时也为了 实用。而后者却不注重实际应用，将数学和宗教联系起来，想通
过数学去探索永恒的真理。
公 元前五世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开的精神。在公开的讨论
或辩论中，必须具有雄辩、 修辞、哲学及数学等知识，于是“智人学派”应运而生。
他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄 辩等科目为业。
在数学上，他们提出“三大问题”：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，使
其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这
些问题的难处，是 作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。