se12se2018年上海市高考数学试卷【2020新】.pdf

2020年11月25日发(作者：汪光焘)
2018
年上海市高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~ 6题每题4分，第7~12题每
.题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果
1．（4. 00分）行列式
2．（4.00分）双曲线
的值为．
﹣y
2
=1的渐 近线方程为．
（结果用数值
3．（4.00分）在（1+x）
7
的二项展开式 中，x
2
项的系数为
表示）．
4．（4.00分）设常数a∈R，函数f（x ）=1og
2
（x+a）．若f（x）的反函数的图象
经过点（3，1），则a=．< br>．
．
5．（4.00分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则 |z|=
6．（4.00分）记等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
3
=0，a
6
+a
7
=14，则S
7
=
7．（5.00分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣
奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝
8．（5.00分）在平面直角坐标系中，已知点
轴上的两个动点，且||=2，则
， 1，2，3}，若幂函数f（x）=x
α
为
．
A（﹣1，0）、B（2，0） ，E、F是y
．的最小值为
9．（5.00分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、 1克砝码各一个，2
9克的概率是克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为
（ 结果用最简分数表示）．
10．（5.00分）设等比数列{a
n
}的通项公式为a< br>n
=q
=，则q=．
n
﹣
1
（n∈N
*），前n项和为S
n
．若
11．（5.00分）已知常数a＞0，函数f（x）=
（q，）．若2
p
+
q
的图象经过点P（p，），Q
=36 pq，则a=．
12．（5.00分）已知实数x
1
、x
2
、y1
、y
2
满足：x
1
2
+y
1
2=1，x
2
2
+y
2
2
=1，x
1
x
2
+y
1
y
2
=，
第1页（共20页）
则 +的最大值为．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确
.选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑
13．（5.00分）设P是椭圆< br>离之和为（
A．2 B．2
）
C．2 D．4
）
=1上的动 点，则P到该椭圆的两个焦点的距
14．（5.00分）已知a∈R，则“ａ＞1”是“＜1”的（A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
15． （5.00分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为
阳马，设AA
1
是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、
以AA
1
为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）
A．4 B．8 C．12 D．16
16． （5.00分）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f
（x）的图象绕原点逆 时针旋转
可能取值只能是（
A．B．C．
）
D．0
后与原图象重合， 则在以下各项中，f（1）的
三、解答题（本大题共有
位置写出必要的步骤.
5题，满 分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应
17．（14.00分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为 O，半径为2．
第2页（共20页）
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2 ）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求
异面直线 PM与OB所成的角的大小．
18．（14.00分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2 cos
2
x．
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若f（）=+1 ，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．
19．（14.00分）某群体的人均通勤时间， 是指单日内该群体中成员从居住地到工
作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤 ．分析显示：
当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
f（x ）=
而公交群体的人均通勤时间不受
答下列问题：
（1）当x在什么范围内时，公交群 体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤
时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x ）的表达式；讨论g（x）的单调性，
并说明其实际意义．
20．（16.00分）设常数t＞ 2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直
（单位：分钟），
x影响，恒为40 分钟，试根据上述分析结果回
线l：x=t，曲线Γ：y
2
=8x（0≤x≤t，y≥ 0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、
Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．
（1）用 t表示点B到点F的距离；
（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP 的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，< br>求点P的坐标；若不存在，说明理由．
第3页（共20页）
21．（18.00分）给定 无穷数列{a
n
}，若无穷数列{b
n
}满足：对任意n∈N
*，都有
|b
n
﹣a
n
|≤1，则称{b
n
}与 {a
n
}“接近”．
（1）设{a
n
}是首项为1，公比为
是否与{a
n
}接近，并说明理由；
（2）设数列{a
n
}的前四项 为：a
1
=1，a
2
=2，a
3
=4，a
4
=8，{b
n
}是一个与{a
n
}接近
的数列，记集合M={x| x=b
i
，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；
（3）已知{a
n
}是公差为d的等差数列，若存在数列{b
n
}满足：{b
n
}与{ a
n
}接近，
且在b
2
﹣b
1
，b
3﹣b
2
，…，b
201
﹣b
200
中至少有100个为 正数，求d的取值范围．
的等比数列，b
n
=a
n
+
1+1，n∈N
*
，判断数列{b
n
}
第4页（共20页）
2018年上海市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分5 4分，第1~6题每题4分，第7~12题每
.题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果
1．（4.00分）行列式的值为18．
【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．
【 解答】解：行列式
故答案为：18．
【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本 知识的考查．
=4×5﹣2×1=18．
2．（4.00分）双曲线﹣y
2
= 1的渐近线方程为±．
【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，
后确定双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线
而双曲线
∴双曲线
故答案为：y=±
再确定双 曲线的实轴长和虚轴长，最
的a=2，b=1，焦点在x轴上
的渐近线方程为y=±
的 渐近线方程为y=±
【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想
3．（4.00分）在（1+x）
7< br>的二项展开式中，x
2
项的系数为
示）．
【分析】利用二项式展开式的 通项公式求得展开式中
第5页（共20页）
21（结果用数值表
x
2
的系数．
【解答】解：二项式（1+x）
7
展开式的通项公式为
T
r
+
1
=?x
r
，
=21．令r=2，得展开式中x
2
的系数为
故答案为：21．
【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题， 是基础题．
4．（4.00分）设常数a∈R，函数f（x）=1og
2
（x+a）． 若f（x）的反函数的图象
经过点（3，1），则a=7．
f（x）=1og
2
（x+a）的图象经过点（1，3），由
【分析】由反函数的性质得函数
此能求出a．
【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og
2
（x+a）．
f（x）的反函 数的图象经过点（3，1），
∴函数f（x）=1og
2
（x+a）的图象经过点（1 ，3），
∴log
2
（1+a）=3，
解得a=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能
力，考查函数与 方程思想，是基础题．
5．（4.00分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位）， 则|z|=
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，
模公式计算得答 案．
【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，
得
则|z|=
故答案为：5．
．
，
5．
再由复数求
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算， 考查了复数模的求法，是基础题．
第6页（共20页）
6．（4.00分）记等差数列{an
}的前n项和为S
n
，若a
3
=0，a
6
+ a
7
=14，则S
7
=
【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，
14．
求出a
1
=﹣4，d=2，由此能求出S
7
．
【解答】解：∵等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
3
=0，a
6
+a
7
=14，
∴
解得a
1
=﹣4，d=2，
∴S
7
=7a
1
+
故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，
=﹣28+42= 14．
，
考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．（5.00分）已 知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=x
α
为
．奇函数，且在 （0，+∞）上递减，则α＝﹣1
【分析】由幂函数f（x）=x
α
为奇函数，且在（ 0，+∞）上递减，得到a是奇数，
且a＜0，由此能求出a的值．
【解答】解：∵α∈{﹣2 ，﹣1，﹣，1，2，3}，
幂函数f（x）=x
α
为奇函数，且在（0，+∞）上递 减，
∴a是奇数，且a＜0，
∴a=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考 查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解
能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8．（5.00分）在平面直角坐标系中，已知点
轴上的两个动点，且||=2，则
A （﹣1，0）、B（2，0），E、F是y
﹣3．的最小值为
【分析】据题意可设E（0，a） ，F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或
b=a+2，并可求得
同理将b =a+2带入，也可求出
，将a=b+2带入上式即可求出
的最小值．
第7页（共20 页）
的最小值，
【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；
∴；
∴a=b+2，或b=a+2；
且
∴
当a=b+2时，
∵b
2+2b﹣2的最小值为
∴
；
的最小值为﹣3．
；
；
；< br>的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，
故答案为：﹣3．
【点评】考查根据点的坐标 求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及
向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．< br>9．（5.00分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2
9克的概 率是克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为
（结果用最简分数表示）．
【分 析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为
求解概率即可．
【解答】解：编号互不相同 的五个砝码，其中
克砝码两个，
9克的事件总数，然后
5克、3克、1克砝码各一个， 2
从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，
所有的事件总数为：
这三个砝码的总质量为
=10，
9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，9克的概率是：=，所以：这三个砝码的总质量为
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型 的概率的求法，是基本知识的考查．
第8页（共20页）
10．（5.00分）设等比数列{a
n
}的通项公式为a
n
=q
=，则q=3．
n
﹣< br>1
（n∈N
*
），前n项和为S
n
．若
【分析】利用 等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解
公比即可．
【解答】解：等比 数列{a
n
}的通项公式为a
因为=，所以数列的公比不是1，
=q
n
﹣
1
（n∈N*），可得a
1
=1，
，a
n+
1
=q
n
．
可得
可得q=3．
故答案为：3 ．
====，
【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，
简单性质的应用，是基 本知识的考查．
等比数列求和以及等比数列的
11．（5.00分）已知常数a＞0，函数f（ x）=
（q，）．若2
p
+
q
的图象经过点P（p，），Q
=36pq，则a=6．
a值．
）．
【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求 出相应的
【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，
则：，
整理 得：
解得：2
=a
2
pq，
p
+
q
=1，
第9页（共20页）
由于：2
=36pq，
所以：a
2
=3 6，
由于a＞0，
故：a=6．
故答案为：6
【点评】本题考查的知识要点： 函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．
p
+
q
12．（5.00分） 已知实数x
1
、x
2
、y
1
、y
2
满足： x
1
2
+y
1
2
=1，x
2
2
+ y
2
2
=1，x
1
x
2
+y
1
y
2
=，
则+的最大值为+．
【分析】设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），=（x
1
，y
1
），=（x
2
，y
2
），由圆的方程
和向量数量积的定 义、坐标表示，可得三角形
+
OAB为等边三角形，AB=1，
的几何意义为点A，B 两点到直线x+y﹣1=0的距离d
1
与d
2
之和，由两平行线的距离可得所 求最大值．
【解答】解：设A（x
1
，y
1
），B（x
2< br>，y
2
），
=（x
1
，y
1
），=（x2
，y
2
），
由x
1
2
+y
1
2
=1，x
2
2
+y
2
2
=1，x
1< br>x
2
+y
1
y
2
=，
可得A，B两点在圆x
2
+y
2
=1上，
且?=1×1×cos∠AOB=，
即有 ∠AOB=60°，
即三角形OAB为等边三角形，
AB=1，
+的几何意义为点A， B两点
到直线x+y﹣1=0的距离d
1
与d
2
之和，
显然 A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，
可设AB：x+y+t=0，（t＞0），< br>第10页（共20页）