战国策翻译2018年上海高考数学真题和答案

2020年11月25日发(作者：竺苗龙)
2018年上海市高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题 （本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题
每题5分）考生应在答题纸的相 应位置直接填写结果.

1．（4分）（2018上海）行列式的值为 18 ．

【考点】OM：二阶行列式的定义．

【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换．

【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．

【解答】解：行列式
故答案为：18．

【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．

2．（4分）（2018上海）双曲线
【考点】KC：双曲线的性质．

【专题】11 ：计算题．

【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线 的实轴长和虚轴长，最
后确定双曲线的渐近线方程．

【解答】解：∵双曲线
而双曲线
∴双曲线
故答案为：y=±
的a=2，b=1，焦点在x轴上

的渐近线方程为y=±
的渐近线方程为y=±



=4×5﹣2×1=18．

﹣y
2
=1的渐近线方程为 ± ．

【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐
近 线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想

3．（4分）（2018上海）在（1+x ）
7
的二项展开式中，x
2
项的系数为 21 （结
果用数值表示）．

【考点】DA：二项式定理．

【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．

【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x
2
的系数．

【解答】解：二项式（1+x）
7
展开式的通项公式为

T
r+1
=x
r
，

=21．

令r=2，得展开式中x
2
的系数为
故答案为：21．

【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．

4．（4分）（ 2018上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og
2
（x+a）．若f（x）的
反 函数的图象经过点（3，1），则a= 7 ．

【考点】4R：反函数．

【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应
用．

【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og
2
（x+a）的图象经过点（1，3），
由此能求出a．

【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og
2
（x+a）．

f（x）的反函数的图象经过点（3，1），

∴函数f（x）=1og
2
（x+a）的图象经过点（1，3），

∴log
2
（1+a）=3，

解得a=7．

故答案为：7．

【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查 运算求解能
力，考查函数与方程思想，是基础题．

5．（4分）（2018上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=
5 ．

【考点】A8：复数的模．

【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．

【分析】把已知等式变形， 然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求
模公式计算得答案．

【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，

得
则|z|=
故答案为：5．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．

6 ．（4分）（2018上海）记等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a< br>3
=0，a
6
+a
7
=14，
则S
7
= 14 ．

【考点】85：等差数列的前n项和．

【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比
数列．

【分 析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a
1
=﹣4，d=2，由此能求出
S7
．

．

，

【解答】解：∵等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
3
=0，a
6
+a
7
=14，

∴，

解得a
1
=﹣4，d=2，

∴S
7
=7a
1
+
故答案为：14．

【 点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，
考查运算求解能力，考查 函数与方程思想，是基础题．

7．（5分）（2018上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1 ，2，3}，若幂函数f
=﹣28+42=14．

（x）=x
α
为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α= ﹣1 ．

【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．

【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应
用．

【分析 】由幂函数f（x）=x
α
为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，
且a ＜0，由此能求出a的值．

【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，

幂函数f（x）=x
α
为奇函数，且在（0，+∞）上递减，

∴a是奇数，且a＜0，

∴a=﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识， 考查运算求解
能力，考查函数与方程思想，是基础题．

8．（5分）（2018上海 ）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），
E、F是y轴上的两个动点，且||= 2，则的最小值为 ﹣3 ．

【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．

【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．

【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，
或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出
的最小值．

的最小
值，同理将b=a+2带入，也可求出
【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；
∴；

∴a=b+2，或b=a+2；

且
∴
当a=b+2时，
∵b
2
+2b﹣2的最小值为
∴
；

的最小值为﹣3．

；

；

；

的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，
故答案为：﹣3．

【点评】考查 根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及
向量坐标的数量积运算，二次函数求最 值的公式．

9．（5分）（2018上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1 克砝
码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的
概率是 （结果用最简分数表示）．

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．

【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．
【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后
求解概率即可．
【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2
克砝码两 个，

从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，

所有的事件总数为：=10，

这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，

所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：
故答案为：．

【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．

10．（5分）（2 018上海）设等比数列{a
n
}的通项公式为a
n
=q
n﹣1（n∈N
*
），前n
项和为S
n
．若=，则q= 3 ．

=，

【考点】8J：数列的极限．

【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：
点列、递归数列与数学归纳法．

【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过 数列的极限，列出方程，求解
公比即可．

【解答】解：等比数列{a
n}的通项公式为a
因为=，所以数列的公比不是1，

=q
n﹣1
（n∈N*），可得a
1
=1，

，a
n+1
=q
n
．

可得
可得q=3．

故答案为：3．

====，

【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的
简单性质的应用 ，是基本知识的考查．

11．（5分）（2018上海）已知常数a＞0，函数f（x）=< br>（p，），Q（q，）．若2
p+q
=36pq，则a= 6 ．

的图象经过点P
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．

【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．

【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．

【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．

则：，

整理得：
解得：2
p+q
=a
2
pq，

由于：2
p+q
=36pq，

所以：a
2
=36，

由于a＞0，

故：a=6．

故答案为：6

=1，

【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．

12 ．（5分）（2018上海）已知实数x
1
、x
2
、y
1
、 y
2
满足：x
1
2
+y
1
2
=1，x2
2
+y
2
2
=1，
x
1
x
2
+y
1
y
2
=，则+的最大值为 + ．

【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．

【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．

【分析】设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），=（x
1
，y
1
），=（x
2
，y
2
），由圆的方
程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，
+的几何意义为点A， B两点到直线x+y﹣1=0的距离
d
1
与d
2
之和，由两平行线的 距离可得所求最大值．

【解答】解：设A（x
1
，y
1
） ，B（x
2
，y
2
），

=（x
1
，y< br>1
），=（x
2
，y
2
），

由x
1
2
+y
1
2
=1，x
2
2
+y
2
2
=1，x
1
x
2
+y
1
y
2
=，

可得A，B两点在圆x
2
+y
2
=1上，

且=1×1×cos∠AOB=，

即有∠AOB=60°，

即三角形OAB为等边三角形，

AB=1，

+的几何意义为点A，B两点

到直线x+y﹣1=0的距离d
1
与d
2
之和，

显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，

可设AB：x+y+t=0，（t＞0），

由圆心O到直线AB的距离d=
可得2=1，解得t=，

，

即有两平行线的距离为
即
故答案为：
+
+．

=，

+，

的最大值为
【点评】本题考查向量数量积的坐 标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点
与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键， 属于难题．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确< br>选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13．（5分）（2018上海）设P是椭圆
个焦点的距离之和为（ ）

A．2 B．2 C．2 D．4

=1上的动点，则P到该椭圆的两
【考点】K4：椭圆的性质．

【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转
化求解即可．

【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，

P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的
．

距离之和为2a=2
故选：C．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考
查．

14．（5分）（2018上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．

【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．

【分析】“a＞1”“”，“”“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．

”，

【解答】解：a∈R，则“a＞1”“
“”“a＞1或a＜0”，

∴“a＞1”是“
故选：A．

”的充分非必要条件．

【 点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，
考查运算求解能力，考查函 数与方程思想，是基础题．

15．（5分）（2018上海）《九章算术》中，称底面为矩形 而有一侧棱垂直于底面
的四棱锥为阳马，设AA
1
是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳 马以该正六棱柱
的顶点为顶点、以AA
1
为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）

A．4 B．8 C．12 D．16

【考点】D8：排列、组合的实际应用．

【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．

【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．