数学中sec什么意思2012年天津市高考数学试卷(理科)

2020年11月23日发(作者：罗雄才)



2012 年天津市高考数学试卷（理科）






一、选择题





）（1．（3 分） i 是虚数单位，复数


=



2+ii C．﹣B2+i ．2﹣A．
i 2﹣D．﹣




）
”的（）为偶函数 xφ∈R，则 “φ =0是”“f（x）
=cos（x+φ）（∈R3 2．（分）设




．充分而不必要条件A
．必要而不充分条件B




．充分必要条件C
．既不充分也不必要条件D




的时，输出 x 3．（3 分）阅读程序框图，运行相应
的程序，当输入x 的值为﹣ 25




）值为（




9．C 1 B．﹣A．13．D


3x
）分）函数．（
）内的零
点个数是（，1 0 2 +x﹣在区间（



=2 xf（）4 3



3D2C10 BA．．．．



52
项的系数为（ 2x﹣ x ）的二项展开式中，
分）在（3．（5）




40A．．﹣ 40 D．C 10．﹣10 B



， ABC分）在△3．（6．已知c，， a所对的边分
别是 C ， B，中，内角 Ab 8b=5c


页）1第页（共 27




C=2B，则 cosC=（）




C．A．



B．
．D


7．（ 3 分）已知△ ABC 为等边三角形，
AB=2．设点 P， Q 满足，




） λ=（．若=﹣，则，λ∈R




．CA．B．
．D



2
+（y）﹣1）y﹣2=0 与圆（ x﹣1）8．（ 3 分）设 m，
n∈R，若直线（ m+1x+（n+1）



2
=1 相切，则 m+n 的取值范围是（）




A．[ 1﹣] B．（﹣∞， 1﹣] ∪[ 1+ ，1+，+∞）


] D[ 2﹣2．（﹣∞， 22+2，﹣ 2 ] ∪[ 2+2， +
∞）C．





二、填空题


9．（3 分）某地区有小学 150 所，中学 75 所，
大学 25 所．先采用分层抽样的方



法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力
调查，应从小学中抽取
所学



校，中学中抽取所学校．



3
），则该几何体的体积为（单位：m3 分）一个几
何体的三视图如图所示 10（．
．m




11．（3 分）已知集合 A={ x∈R|| x+2| ＜3} ，集合
B={ x∈R| （x﹣m）（ x﹣ 2）＜ 0} ，



且 A∩B=（﹣ 1，n），则 m=，n=．




12．（ 3 分）已知抛物线的参数方程为
（t 为参数），
其中 p＞ 0，焦点为




F，准线为 l ．过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，
垂足为
E．若 | EF| =| MF| ，点 M 的



横坐标是 3，则 p=．



第2页（共 27页）




13．（ 3 分）如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条
弦，过点
B 作圆的切线与 AC 的延



长线相交于点 D，过点 C 作 BD的平行线与圆
相交于点
E，与 AB 相交于点 F，AF=3，





FB=1，EF= ，则线段 CD的长为．




14．（ 3 分）已知函数 y=
的图象与函数 y=kx﹣2
的图象恰有两个交点，




．的取值范围是则实数 k




三、解答题



2
﹣2x（ 2x+）+sin．已知函数 f （x）=sin（15
x﹣
1，x） +2cos∈ R．





（ 1）求函数 f（ x）的最小正周期；


（ 2）求函数 f（ x）在区间 [
] 上的最大值和最小
值．




第3页（共 27页）




16．现有 4 个人去参加娱乐活动，该活动有甲、
乙两个游戏可供参加者选择．为



增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的
骰子决定自己去参加哪个游戏，



掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数
大于
2 的人去参加乙游戏．



（ 1）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概
率；
（ 2）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去
参加乙游戏的人数的概率；



（ 3）用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、
乙游戏的人数，记
ξ=|X﹣ Y| ，求



的分布列与数学期望ξ随机变量
ξ．E




页）4第页（共 27




17．如图，在四棱锥 P﹣ ABCD中，PA⊥平面 ABCD，AC
⊥AD，AB⊥ BC，∠BAC=45°，




PA=AD=2， AC=1．


（ 1）证明： PC⊥AD；
（ 2）求二面角 A﹣PC﹣D 的正弦值；
（ 3）设 E 为棱 PA上的点，满足异面直线 BE
与 CD所成的角为 30°，求 AE的长．







页）第页（共5 27




18．已知 { a} 是等差数列，其前 n 项和为 S，{ b} 是
等比数列，且 a=b=2，a+b=27，
4nn1n14




S﹣ b =10．
44


（ 1）求数列 { a} 与{ b} 的通项公式；
nn

**
∈
N）．（ ，证明： T +12=﹣ 2a+10b，bb（ 2）记 T=a+a
+?+abn∈N n
nnn112nnn1n
﹣

第6页（共 27页）






19．设椭圆的左右顶点分别为
A，B，点 P 在椭圆
上且异于 A，





为坐标原点． O B 两点，


（ 1）若直线 AP 与 BP的斜率之积为
，求椭圆的
离心率；




（ 2）若 | AP| =| OA| ，证明直线 OP 的斜率 k 满
足 | k| ＞．



第7页（共 27页）




20．已知函数 f （x）=x﹣ ln（x+a）的最小值为 0，
其中 a＞0．



（ 1）求 a 的值；

2
成立，求实数 k ）≤ kx的最小值； [ 0 x∈，+
∞），有 f（x（ 2）若对任意的




*
）证明：（


3
）．n（∈N


第8页（共 27页）



2012 年天津市高考数学试卷（理科）




参考答案与试题解析




一、选择题





1．（3 分）（2012?天津） i 是虚数单位，复数=（）





2+i．﹣2+i B．2﹣i CA．
i．﹣D 2﹣


【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母
的共轭，
整理即可得到正 确选




项


【解答】 解：




故选 B




2．（3 分）（2012?天津）设 φ∈R，则“φ =0是”“f（x）
=cos（x+φ）（x∈ R）为偶函






数”的（）


A．充分而不必要条件
．必要而不充分条件B


C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件


【分析】 直接把 φ=0代入看能否推出是偶函数，再
反过来推导结论即可．【解答】 解：因为 φ=0时， f
（x）=cos（ x+φ）=cosx是偶函数，成立；



但 f（ x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数时， φ
=kπ，k∈Z，推不出
φ=0．故 “φ =0是”“f（x）=cos（x+φ）（x∈
R）为偶函数 ”的充分而不必要条件．故选： A．




3．（3 分）（2012?天津）阅读程序框图，运行相应
的程序，当输入
x 的值为﹣ 25



时，输出 x 的值为（）




第9页（共 27页）






3C 1 BA．﹣．1．
9．D



时跳出循环，输| x| 根据题意，按照程序框图的顺
序进行执行，当≤1 【分析】





出结果．


时， 【解答】解：当输入 x=﹣25


x=＞| x| 1，执行循环，
；﹣1=4





x= 1，执行循环，| x| =4＞
，1=1﹣


，退出循环，| x| =1




．输出的结果为 x=2× 1+1=3


．故选： C




3x
）
）内的零点个数是（4．（ 3 分）（1在区间（=2+x
﹣2 0，fx 2012?天津）函数（）



3x
）＜）（【分析】根据函数 f x =2+x﹣（1f0 f1 02 在
210A．B．．C
3D．


区间（，）内单调递增，（）




）内有唯一的零点 00，可得函数在区间（， 1


3x
=0）（ f）内单调递增，又， 0在区间（﹣=2）
x f【解答】解：由于函数（+x2 1



＞=1）（ f， 0＜1 ﹣1，0



页） 10 第页（共 27





所以 f （0）f（ 1）＜ 0，


x3
﹣2 在区间（ 0，1故函数 f（x）=2）内有唯
一的零点，+x故选 B．





25
的二﹣2012?天津）在（ 2x）5．（3 分）（


） x 项的系数为（项展开式中，





A．10 B．﹣ 10C． 40
D．﹣ 40


【分析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通
项






T==
，再令 10﹣3r=1，得 r=3 即可
1r

+


项的系数 x 得出


25
的 二 项 展 开 式2x） ﹣ 的 通 项 为解
【 解答 】 ：（




T==
r
1

+


，得 r=3令 10﹣ 3r=1


故 x 项的系数为=﹣40




故选 D




6．（ 3 分）（2012?天津）在△ ABC中，内角 A，
B，C 所对的边分别是
a，b，c．已




知 8b=5c，C=2B，则 cosC=（）


A．B．C．
．D




【分析】直 接利用正弦定理以及二倍角公式，求出
sinB，cosB，然后利用平方关




系式求出 cosC的值即可．


【解答】解：因为在△ ABC中，内角 A，B，C 所
对的边分别是
a，b，c．已知 8b=5c，




C=2B，


所以 8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以
cosB= ，B 为三角形内角，所以
B∈




（0，）．C．




= ．所以 sinB=




所以 sinC=sin2B=2，=×




第 11 页（共 27 页）






cosC==．




．故选： A




7．（3 分）（2012?天津）已知△ ABC为等边三角
形， AB=2．设点 P，Q 满足，




，λ∈R．若=﹣，则 λ=（）




A．B．C．
．D




【分析】根据向量加法的三角形法则求出，




再根据=﹣进而根据数量积的定义求出
即可





求出 λ．


【解答】 解：∵，
， λ∈R




∴，




∵△ ABC为等边三角形， AB=2



∴ =+λ
﹣λ） 1+（



=2×2×cos60 °+λ× 2× 2×cos180 °+（ 1﹣ λ）× 2× 2
× cos180 °+λ（ 1﹣ λ）× 2×2



× cos60°


2


λ，2+4λ﹣4+2λ﹣λ=2﹣4

2
=﹣2λ+2λ﹣2



∵ =﹣



2

∴ 4λ﹣ 4λ+1=0



2
=0） 2λ﹣1∴（



∴




故选 A






8．（3 分）（2012?天津）设 m，n∈R，若直线（ m+1）
x+（ n+1）y﹣2=0 与圆（ x



22
的取值范围是（相切，则 m+n y﹣1）=1 +﹣ 1）
（）


A．[ 1﹣ ，1+ ] B．（﹣∞， 1﹣ ] ∪[ 1+ ，
+∞）



第



12 页（共 27 页）




C．[ 2﹣2，2+2] D．（﹣∞， 2﹣2 ] ∪[ 2+2，+∞）


【分析】 由圆的标准方程找出圆心坐标和半径 r，
由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半
径， 利用点到直线的距离公式列出关系式， 整理
后利用基本不等式变形，设 m+n=x，得到关于 x
的不等式，求出不等式的解集得到 x 的范围，即
为
m+n 的范围．


22
=1，得到圆心坐标为（ 1）， 1）），半+（y﹣1解：
由圆的方程（【解答】 x﹣1



径 r=1，



∵直线（ m+1）x+（ n+1）y﹣2=0 与圆相切，




∴圆心到直线的距离 d==1，




整理得： m+n+1=mn≤，



2
﹣4x﹣ 4≥，即 x 0，≤ x+1 m+n=x设，则有




2
∵ x﹣4x﹣4=0 的解为： x=2+2 ， x=2﹣2，
21




）（ x﹣2+22
）≥
0
，
∴不等式变形得：（x﹣2﹣


2﹣22+2 或 x≤解得： x≥，




则 m+n 的取值范围为（﹣∞， 2﹣ 2 ] ∪[ 2+2，
+∞）．


D故选






二、填空题


9．（3 分）（2012?天津）某地区有小学 150 所，
中学 75 所，大学 25 所．先采用



分层抽样的方法从这些学校中抽取30 所学校对学
生进行视力调查，应从小学中




9抽取18所学校，中学中抽取
所学校．


【分析】从3 250 所学校抽取： 30 所学校做样
本，样本容量与总体的个数的比为



25，得到 每个个体被抽到的概率，根据三个学校的
数目乘以被抽到的概率，
分别






写出要抽到的数目，得到结果．


【解答】 解：某城地区有学校
150+75+25=250 所，


现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取30 所，


每个个体被抽到的概率是=，




第 13 页（共 27 页）




∵某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所．




∴用分层抽样进行抽样，应该选取小学×
所，选取中学
× 75=9 所．




故答案为： 18， 9．





150=18
10．（ 3 分）（2012?天津）一个几何体的三视图如
图所示（单位： m），则该几
3
．π m何体的体积
为 18+9




【分析】由三视图可知该几何体为上部是一个长方
体，长、宽、高分别为 6，3，1（单位： m），下
部为两个半径均为 的球体．分别求体积再相加即
可．




【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一个
长方体， 长、宽、高分别为 6，3，1（单位： m），
体积 6×3×1=18．



3
（?


2×下部为两个半径均为的球体，体积
=9π）



故所求体积等于
18+9π


故答案为： 18+9π




11．（3 分）（ 2012?天津）已知集合 A={ x∈R|| x+2|
＜3} ，集合 B={ x∈R| （x﹣m）（ x﹣2）＜ 0} ，
且 A∩B=（﹣ 1，n），则 m= ﹣ 1 ，n= 1 ．



【分析】由题意，可先化简
A 集合，再由 B 集合
的形式及 A∩B=（﹣ 1，n）直接




作出判断，即可得出两个参数的值．


【解答】 解： A={ x∈R|| x+2| ＜3} ={ x∈R| ﹣5
＜x＜1} ，



又集合 B={ x∈R| （x﹣m）（x﹣2）＜ 0} ，A∩
B=（﹣ 1，n）．



如图




第 14 页（共 27 页）








由图知 m=﹣ 1， n=1，


故答案为﹣ 1，1．



12．（3 分）（ 2012?天津）已知抛物线的参数方程
为
（t 为参数），其中 p




＞ 0，焦点为 F，准线为 l．过抛物线上一点 M 作
l 的垂线，垂足为 E．若 | EF| =|
MF| ，点 M 的横坐标是 3，则 p= 2 ．


2
，则由抛物线的定义可得及y=2px【分析】把抛
物线 的参数方程化为普通方程为



| EF| =| MF| ，可得△ MEF为等边三角形，设点 M
的坐标为（ 3，m ），则点 E（﹣， m），把点 M
的坐标代入抛物线的方程可得 p= ．再由 |
EF| =| ME| ，解方



程可得 p 的值．




【解答】 解：抛物线的参数方程为
（t 为参数），
其中 p＞0，焦点为 F，




准线为 l，消去参数可得 x=2p，




2
y化简可得，表示顶点在原点、开口向右、对称
轴是轴的抛物线，


x=2px



． x=﹣故焦点 F（，0），准线 l 的方程为



则由抛物线的定义可得 | ME| =| MF| ，再由 | EF|
=| MF| ，可得△ MEF 为等边三角形．


设点 M 的坐标为（ 3，m ），则点 E（﹣，m ）．



2
m的坐标代入抛物线的方程可得 M 把点×× ，
即．


p==2 p3



222
+6p=9+，即 p p+m=再由 | EF| =| ME| ，可得
+3p，解得 p=2，或 p=



﹣ 6 （舍去），故答案为 2．




13．（ 3 分）（2012?天津）如图，已知 AB 和 AC
是圆的两条弦，过点
B 作圆的切



线与 AC 的延长线相交于点 D，过点 C 作 BD
的平行线与圆相交于点
E，与 AB 相



第 15 页（共 27 页）





交于点 F，AF=3，FB=1，EF= ，则线段 CD
为．





的长