奥运会五项全能：标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数

2020年11月23日发(作者：申屠衡)
标准曲线的最小二乘法拟合与相关系数 尹情胜
标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数
（合肥工业大学控释药物研究室 尹情胜）
1 目的
用最小二乘法拟合一组变量（，，i＝1-n）之间的线性方程（y＝ax+b）， 表示两
变量间的函数关系；（开创者：德国数学家高斯）
一组数据（，，i＝1-n）中，两 变量之间的相关性用相关系数（R）来表示。（开
创者：英国统计学家卡尔·皮尔逊）
2 最小二乘法原理
用最小二乘法拟合线性方程时，其目标是使拟合值（）与实测值（）差值的平
方和（Q）最小。

式（1）

3 拟合方程的计算公式与推导
当Q最小时，；得到式（2）、式（3）：


式（2）


式（3）

由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）：


式（4）


式（5）
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式（4）乘以n，式（5）乘以
斜率
，两式相减并整理得斜率a：

（
k＝xy／xx，n*积和-和积）式（6）
截距b的计算公式为公式（5），也即：
截距

b＝（y-x）／n，差平均差）式（7）
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4 相关系数的意义与计算公式
相关系数（相关系数的平方称为判定系数）是用以反映变量之间相关关系密切程度
的统计指标。
相关系数（也称积差相关系数）是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的
离差为基础， 通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系
数。
相关系数r
xy
取值在-1到1之间。r
xy
= 0时，称x,y不相关； | r
xy
| = 1时，称x,y完
全相关，此时，x,y之间具有线性函数关系； | r
xy
| < 1时，X的变动引起Y的部分变动，
r
xy
的绝对值越大，x的变动引起y的变动 就越大， |r
xy
| > 0.8时称为高度相关，当0.5< |
r
xy
|<0.8时称为显著相关，当 0.3<| r
xy
|<0.5时，成为低度相关，当 | r
xy
| < 0.3时，称为
无相关。

(
5 临界相关系数的意义
5.1 临界相关系数中显著性水平（α）与置信度（P）的关系
显著性水平取0.05，表示置信度为95%；取0.01，置信度就是99%。
式（7）

在正常的分布条件下，一般要求实际值位于置信区间的概率应该在95%以上，这 个
置信区间为Y±2S，从而置信区间的上下限分别为：Y
1
=a+bX+2S，Y< br>2
=a+bX-2S。
5.2 临界值表中自由度（f）
自由度(degree of freedom, f)在数学中能够自由取值的变量个数，如有3个变 量x、y、
z，但x+y+z=18，因此其自由度等于2。在统计学中，自由度指的是计算某一统计量 时，
取值不受限制的变量个数。通常f=n-k。其中n为样本含量，k为被限制的条件数或变量
个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。
f=n—p—1
其中：n为样本数(点的个数)，p为因子数（p元回归，一元线性回归，p＝1）。
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5.3 相关系数临界值表
附表7. 相关系数临界值表
（自由度f＝n-2）

n－2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
0.10
0.987 69
0.900 00
0.805 4
0.729 3
0.669 4
0.621 5
0.582 2
0.549 4
0.521 4
0.497 3
0.476 2
0.457 5
0.440 9
0.425 9
0.412 4
0.400 0
0.388 7
0.378 3
0.368 7
0.359 8
0.323 3
0.296 0
0.274 6
0.257 3
0.242 8
0.230 6
0.210 8
0.195 4
0.182 9
0.172 6
0.163 8
0.05
0.099 692
0.950 00
0.878 3
0.811 4
0.754 5
0.706 7
0.666 4
0.631 9
0.602 1
0.576 0
0.552 9
0.532 4
0.513 9
0.497 3
0.482 1
0.468 3
0.455 5
0.443 8
0.432 9
0.422 7
0.380 9
0.349 4
0.324 6
0.304 4
0.287 5
0.273 2
0.250 0
0.231 9
0.217 2
0.205 0
0.194 6
0.02
0.999 507
0.980 00
0.934 33
0.882 2
0.832 9
0.788 7
0.749 8
0.715 5
0.685 1
0.658 1
0.633 9
0.612 0
0.592 3
0.574 2
0.557 7
0.542 5
0.528 5
0.515 5
0.503 4
0.492 1
0.445 1
0.409 3
0.381 0
0.357 8
0.338 4
0.321 8
0.294 8
0.273 7
0.256 5
0.242 2
0.230 1
0.01 0.001

n－2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
0.999 877 0.999 998 8
0.990 00 0.999 00
0.958 73 0.991 16
0.917 20 0.974 06
0.874 5 0.950 74
0.834 3 0.924 93
0.797 7 0.898 2
0.764 6 0.872 1
0.734 8 0.847 1
0.707 9 0.823 3
0.683 5 0.801 0
0.661 4 0.780 0
0.641 1 0.760 3
0.622 6 0.742 0
0.605 5 0.724 6
0.589 7 0.708 4
0.575 1 0.693 2
0.561 4 0.678 7
0.548 7 0.665 2
0.536 8 0.652 4
0.486 9 0.597 4
0.448 7 0.554 1
0.418 2 0.518 9
0.393 2 0.489 6
0.372 1 0.464 8
0.354 1 0.443 3
0.324 8 0.407 8
0.301 7 0.379 9
0.283 0 0.356 8
0.267 3 0.337 5
0.254 0 0.321 1

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