独立宣言的意义：浅谈拉格朗日中值定理的应用

2020年11月23日发(作者：洪忠信)
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浅谈拉格朗日中值定理的应用

作者：黄海松

来源：《新校园·上旬刊》2015年第07期

摘 要：微分中值定理是微分学中的基本定理，其核心定理是拉格朗日中值定理。本文主
要介绍拉格朗日 中值定理在恒等式、不等式、方程根的存在性、级数的敛散性以及证明与函数
差值有关的命题等问题中的 应用。
关键词：中值定理;辅助函数;应用;构造
微分中值定理是沟通函数及其导数的桥梁，是微积分教学中的核心内容，在教学上对学
生有较高的要求， 而辅助函数的构造技巧在中值定理的应用中既是难点，又是重点。本文主要
通过具体的例题来分析拉格朗 日中值定理在恒等式、不等式、方程根的存在性、级数的敛散性
以及证明与函数差值有关的命题等问题中 是如何适当地构造辅助函数的。这样一来便可以使学
生清晰地理解拉格朗日中值定理的精髓及其意义所在 。
一、预备知识
定理1（Lagrange中值定理）若函数f（x）满足下列条件：
（1）f（ x）在闭区间[a，b]上连续;（2）f（x）在开区间内可导，则（a，b）在内至少存
在一点ξ， 使得f'（ξ）=.
拉格朗日中值定理的结论通常称为拉格朗日中值公式。它有如下几种等价的表示形式：
f（b）-f（a）=f'（a+θ（b-a））（b-a），0<θ<1;
f（a+h）-f（a）=f'（a+θh）h，0<θ<1.
二、拉格朗日中值定理的应用
1.证明恒等式
例1 设函数φ（x）=dt在-1 证明：令f（x）=φ（x）+φ（-x）-φ（x2），
则f'（x）=φ'（x）-φ'（-x）-xφ'（x2）.
因为φ'（x），所以，f'（x）=+-=0.