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河北省中考数学23和24题展示
2006年
23.(本小题满分8分)
探索 在如图12-1至图12-3中,△ABC的面积为a .
(1)如图12-1, 延长△ABC的边BC到点D,使CD=BC,连结
DA.若△A CD的面积为S
1
,则S
1
=________(用含a的代数
式表 示);
(2)如图12-2,延长△ABC的边BC到点D,延长边CA到点E,
使CD =BC,AE=CA,连结DE.若△DEC的面积为S
2
,则
S
2
=__________(用含a的代数式表示),并写出理由;
(3)在图12-2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连结FD,
B
FE,得到△DEF(如图12-3).若阴影部分的面积为S
3
,
则S
3
=__________(用含a的代数式表示).
发现
F
图12-3
A
B
C
E
图12-1
A
D
B
D
C
图12-2
E
A
C
D
像上面那样,将△ABC各边均顺次延长一倍,连 结所得端点,得到△DEF(如图12-3),
此时,我们称△ABC向外扩展了一次.可以发现,扩展 一次后得到的△DEF的面积是原来
△ABC面积的_______倍.
应用
去年 在面积为10m
2
的△ABC空地上栽种了某种花
卉.今年准备扩大种植规模,把△A BC向外进行两次扩
展,第一次由△ABC扩展成△DEF,第二次由△DEF扩
展成△MGH (如图12-4).求这两次扩展的区域(即阴
影部分)面积共为多少m
2
?
M
E
A
B
F
C
D
H
G
图12-4
1
24.(本小题满分8分)
如图13-1,一 等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合
在一起.现正方形ABCD保持 不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中
点)按顺时针方向旋转.
(1) 如图13-2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测
量BM,FN的长度 ,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若三角尺GEF旋转到如图13-3所示 的位置时,线段FE的延长线与AB的延长
线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N ,此时,(1)中的猜
想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
F
N
D( F )
C
D
C
D
C
N
F
O
O
O
G
E
A
M
B
A
A( G )
B( E )
B
M
E
G
图13-1
图13-2
图13-3
2007年
23.(本小题满分10分
在图14-1—14-5中,正方形
ABCD
的 边长为
a
,等腰直角三角形
FAE
的斜边
AE
=2
b
,
且边
AD
和
AE
在同一直线上.
操作示例
当2
b
<
a
时,如图14-1,在
BA
上选取点< br>G
,使
BG
=
b
,连结
FG
和
CG
,裁掉△
FAG
和△
CGB
并分别拼接到△
FEH
和△
CHD
的位置构成四边形
FGCH
.
F
思考发现
A
H
E D
小明在操作后发现:该剪拼方法就是先将△
FAG
绕点
F
逆时针旋
转90°到△
FEH
的位置,易知
EH
与
AD
在同一直线上.连结
CH
,由剪拼
方法可得DH
=
BG
,故△
CHD
≌△
CGB
,从而又 可将△
CGB
绕点
C
顺时针
G
旋转90°到△
C HD
的位置.这样,对于剪拼得到的四边形
FGCH
(如图
B
C
(2b<a)
14-1),过点
F
作
FM
⊥AE
于点
M
(图略),利用SAS公理可判断△
HFM
≌
图14-1
△
CHD
,易得
FH
=
HC
=GC
=
FG
,∠
FHC
=90°.进而根据正方形的判定方法,
可以判断出四边形
FGCH
是正方形.
实践探究
(1)正方形
FGCH
的面积是 ;(用含
a
,
b
的式子表示)
2
(2)类比图14-1的剪拼方法,请你就图14-2—图14-4的三种情形分别画出剪拼成一
个新正 方形的示意图.
F
F
A
(E) D
A
E
D
A
E
D
B
C
B C
B C
(a<2b<2a) (b=a)
(2b=a)
图14-2 图14-3 图14-4
F
联想拓展
小明通过探究后发现 :当
b
≤
a
时,此类图形都能
剪拼成正方形,且所选取的点
G
的位置在
BA
方向上随
着
b
的增大不断上移.
当
b
>
a
时,如图14-5的图形能否剪拼成一个正方
A
E
D
形?若能,请你在图中画出剪拼的示意图;若不能,简
要说明理由.
C
B
(b>a)
图14-5
24.(本小题满分10分)
在△
ABC
中,
AB
=
AC
,
CG
⊥
BA
交
BA
的延长线于点
G
.一等腰直角三角尺按如图15-1所
示的位置摆放,该 三角尺的直角顶点为
F
,一条直角边与
AC
边在一条直线上,另一条直角G
F
边恰好经过点
B
.
A
(1)在图15-1中请你通过观察、测量
BF
与
CG
的
长度,猜想并写出
BF
与
CG
满足的数量关系,
B
然后证明你的猜想;
C
(2)当三角尺沿
AC
方向平移到图15-2所示的位置时,
图15-1
一条直角边仍与
AC
边在同一直线上,另一条
G
F
A
直角边交
BC
边于点
D
,过点
D
作
DE< br>⊥
BA
于
点
E
.此时请你通过观察、测量
DE、
DF
与
CG
E
的长度,猜想并写出
DE
+
DF
与
CG
之间满足
C
B
D
的数量关系,然后证明你的猜想;
图15-2
(3)当三角尺在(2)的基础上沿
AC
方向继续平
G
移到图15-3所示的位置(点
F
在线段
AC
上,
A
且点
F
与点
C
不重合)时,(2)中的猜想是否
E
F
仍然成立?(不用说明理由)
C
B D
3
F
图15-3
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