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2020
年四川省乐山市高考数学三诊试卷（理科）
一、选择题（本大题共
12
小题，共
36.0
分）
0
，，1.
已知集合
0
，
1
，
2
，
A. B.
0
，
1
，
C. D.
2.
已知复数为虚数单位，
应的点位于第一象限”的
，则
0
，
1
，
2
，
0
，
1
，
，则“”是“在复平面内复数
z
所对
A.
充分不必要条件
C.
充要条件
3.
已知函数是奇函数，且时，
B.
必要不充分条件
D.
既不充分也不必要条件
，则
A.
2
4.
已知，
与向量
B.
，
C.
3
，则
平行，
，且
D.
A.
5.
已知向量
B. C. D.
，则
A.
C.
B.
D.
6.
< br>支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问
100
名居民男女 居民各
50
名喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如表的列联表：
支付方式
性别
男
女
附表及公式：
支付宝支付
40
25
，
微信支付
10
25
k
则下列结论正确的是
A.
在犯错的概率不超过的前提下，认为“支付方式与性别有关”
B.
在犯错的概率超过的前提下，认为“支付方式与性别有关”
以上的把握认为“支付方式与性别有关”
C.
有
以上的把握认为“支付方式与性别无关”
D.
有
7.
秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值，如图是实现该算法的程
序框图．执行该程序框 图，若输入，，依次输入
a
为
1
，
2
，
4
，
则输出的
S
的值为
A.
4
B.
10
C.
11
第1页，共17页
D.
12
8.
数列中，已知对任意
，
，则
A.
9.
双曲线
B. C.
D.
的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域不
在“右”区域内，则 双曲线离心率
e
的取值范围是
含边界，若点
A.
B.
C.
D.
10.
已知角 的始边与
x
的非负半轴重合，与圆
C
：
点
B
在x
轴上的射影为点
C
，的面积为
相交于点
A
，终边与圆
C
相交于点
B
，
，则函数的图象大致是
A.
B.
C.
D.
11.
已知是球
O
的内接三棱锥，球
O
的半径为
2
，且
，则点
A
到平面
BCD
的距离为
，，
A.
B.
，
C.
D.
的所有零点依次记为，
12.
已知函数
，，
，，且
，若函数
，则
A. B.
C.
在
D.
二、填空题（本大题共
4
小题，共
12.0
分）
13.
已知函数，则函数处的切线方程为
______
．
第2页，共17页
14.
七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为 “东方魔板”，它是由五块等
腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成．如图是一块用七巧板组 成
的正方形，若在此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为
______
．
15.
已知椭圆
C
：
和上顶点，直线
FB
与直线
椭圆的标准方程为
______
．
2
，16.
我们把一系列向量
量列
量与
满足：< br>的夹角，若
，
，对于任意正整数
n
，不等式
的左焦点为
F
，
A
、
B
分别为
C
的右顶点
的交点为
M
，若，且的面积为，则
，按次序排列成一列，称之为向量列，记作
，设已知向
表示向
恒成立，则实数
a
的取值范围是
______．
三、解答题（本大题共
7
小题，共
84.0
分）
17.
在中，角
A
、
B
、
C
所 对的边分别为
a
、
b
、
c
，且
求角
B的值；
若，，求的面积．
．
18.
为了治理空气污染，某市设
9
个监测 站用于监测空气质量指数，其中在轻度污染区、中
度污染区、重度污染区分别设有
2
、
4
、
3
个监测站，并以
9
个监测站测得的
AQI< br>的平均值为依
据播报该市的空气质量．
若某日播报的
AQI
为
119
，已知轻度污染区
AQI
平均值为
70
，中度污染区
AQI
平均值为
115
，
求重度污染区
AQI
平均值；
11
月份仅有
1
天
AQI
在如图是
2018
年
11
月份
30
天的
AQI
的频率分布直方图，内． < br>某校参照官方公布的
AQI
，如果周日
AQI
小于
150就组织学生参加户外活动，以统计数据中
的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；
环卫部门从
11
月份
AQI
不小于
170
的数据中 抽取三天的数据进行研究，求抽取的这三天中
AQI
值不小于
200
的天数的 分布列和数学期望．
第3页，共17页
19.
如图，在直三棱柱
E
、< br>F
分别为
AB
、
证明：
当二面角
20.
已知抛物线
C
：，过点的直线与抛物线
C
相交于
M
、
N
两点．
若点
Q
是点
P关于坐标原点
O
的对称点，求面积的最小值；
是否存在垂直于
x
轴的直线
l
，使得
l
被以
PM
为直径的圆截得的弦长恒为 定值？若存在，求
出
l
的方程和定值；若不存在，说明理由．
平面
中，
的中点，
G
为线段
；
的余弦值为
，
上的动点．
，
时，证明：
G.
第4页，共17页
21.
已知函数．
讨论函数的单调性；
当时，判断并说明函数
间，内，求
的零点个数．若函数
的最小值
所有零点均在区
22.
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系
Ox
．
Ⅰ求曲线
C
的极坐标方程；
Ⅱ已知
A
，
B
是曲线
C
上任意两点，且
23.
已知a
，
b
，
c
为正数，且满足
证明：
证明：
．
．
，求
为参数，以
O
为极点，
x
面积的最大值．
．
第5页，共17页
-------- 答案与解析 --------
1.
答案：
D
解析：解：集合
0
，，
0
，
1
，
，
，
0
，
1
，故
故选：
D
．
求出集合
M
，
N
，由此能求出．
本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.
答案：
B
解析：解：对应点的坐标为，
若在复平面内复数
z
所对应的点位于第一象限，
则得，得，
则“”是“在复平面内复数
z
所对应的点位于第一象限”的必要不充分条件，
故选：
B
．
根据复数的几何意义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件 和必要条件的判断，结合复数的几何意义以及点与象限之间的关系是解决本
题的关键．
3.
答案：
D
解析：解：因为是奇函数，所以，
故选：
D
．
由已知奇函数可得，代入即可直接求解．
本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数值，属于基础试题．
4.
答案：
B
解析：解：依题意，，
所以，
故选：
B
．
本题考查指数函数的性质，对数函数的性质，比较大小，属于基础题．
利用指数函数和对数函数的性质，即可求解．
5.
答案：
B
解析：解：因为向量
由
所以
故选：
B
．
可得
，
与向量
，得
平行，可设
，
，
第6页，共17页
设出向量，利用向量的数量积转化求解即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量共线的充要条件的应用，考查坐标运算，是基础题．
6.
答案：
C
解析：解：由列联表得到，，，，
代入
解得
，
，
，
有以上的把握认为“支付方式与性别有关”，
故选：
C
．
由列联表中的数据结合公式求得，再结合临界值表得结论．
本题考查独立性检验，考查计算能力，是基础题．
7.
答案：
D
解析：解：模拟程序的运行，可得
输入时，，，此时不成立；
输入时，，，此时不成立；
输入时，，，此时成立；
输出的
S
的值为
12
．
故选：
D
． < br>由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
S
的值，模拟程 序的运行
过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题 ，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基
础题．
8.
答案：
A
解析：解：
当，
得，
又，符合，
为等比数列，首项，公比为，
为等比数列，首项，公比为，
故．
由已知条件推导出，由此求出为等比数列，首项
，公比为，从而能求出的值．
本题考 查数列的前
n
项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．
9.
答案：
B
解析：解：双曲线
点在“右”区域内，
的一条渐近线方程为：，
第7页，共17页
，即，
，
又，
． 则双曲线离心率
e
的取值范围是
故选：
B
．
由于双曲线的一条渐近线方程为：，及点在“右”区域内，得出
，从而得出双
曲线离心率
e
的取值范围．
本小题主要考查双曲线的 简单性质、不等式组与平面区域、不等式的性质等基础知识，考查运算
求解能力与转化思想．属于基础题 ．
10.
答案：
A
解析：解：由题知，点，点，点，
则
又因为当
故选：
A
．
由题可知，点
时，
，故排除选项
C
和
D
，
，排除选项
B
．
，点，点，则
，故排除选项
C
和
D
，又因为当时，
，排除选项
B
，可得所求图象．
本题考查函数的图象与应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．
11.
答案：
B
解析：解：如图，由球
O
的半 径为
2
，且，可知
AC
为球
O
的直径，
又
B
，
D
均在球
O
的表面上，可得，
又，，则
，
．
取
BD
中点
G
，连接< br>AG
，
CG
，得，
又，平面
AGC
，
在中，求得，在中，求得
，
又，
由余弦定理可得
则．
．
，
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