生活中的数学题如何对高中数学必修1函数的单调性进行趣味教学

2020年11月22日发(作者：徐光启)
如何对高中数学必修1函数的单调性进行趣味教学
洪湖市第一中学 黄 睿

例1】判断下列各式，哪个能确定y是x的函数?为什么? (1)x2+y=1 (2)x+y2=1 解 (1)由x
2+y=1得y=1-x2，它能确定y是x的函数. 于任意的x∈{x|x≤1}，其函数值不是唯一的. 【例
2】下列各组式是否表示同一个函数，为什么? 解 (1)中两式的定义域部是R，对应法则相
同，故两式为相同函数. (2)、(3)中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数. (4)中
两式的定义域都是-1≤x≤1，对应法则也相同，故两式子是相同函数. 【例3】求下列函数的
定义域: 【例4】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数的定义域: 求实数a的取值范
围. 为所求a的取值范围. 【例6】求下列函数的值域: (1)y=-5x2+1 (3)y=x2-5x+6，x∈[-1，
1) (4)y=x2-5x+6，x∈[-1，3] (9)y=|x-2|-|x+1| 解 (1)∵x∈R，∴-5x2+1≤1，值域y≤1. (6)
定义域为R (7)解:定义域x≠1且x≠2 (y-4)x2-3(y-4)x+(2y-5)=0 ① 当y-4≠0时，∵方程①
有实根，∴Δ≥0， 即9(y-4)2-4(y-4)(2y-5)≥0 化简得y2-20y+64≥0，得 y＜4或y≥16 当y
=4时，①式不成立. 故值域为y＜4或y≥16. 函数y在t≥0时为增函数(见图2.2-3). (9)解:
去掉绝对值符号， 其图像如图2.2-4所示. 由图2.2-4可得值域y∈[-3，3]. 说明 求函数值
域的方法: 1°观察法:常利用非负数:平方数、算术根、绝对值等.(如例1，2) 2°求二次函数在
指定区间 的值域(最值)问题，常用配方，借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理.
假如求函数f(x) =ax2+bx+c(a＞0)，在给定区间[m，n]的值域(或最值)，分三种情况考虑: (如
例5)可做公式用. 法求y的范围(如例6-7). 为二次函数求值域.但要注意中间量t的范围(如
例6-8). 6°分离有界变量法:从已知函数式中 把有界变量解出来.利用有界变量的范围，求函
数y的值域(如例6-6). 7°图像法(如例6-9): 由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定
的法则和程序可寻，它要根 据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解. 解 (2)∵f(-7)=1
0，∴f[f(-7)]=f(10)=100. 说明 本例较简单，但主要 用意是深刻理解函数符号f(x)的意义.求
分段函数值时，要注意在定义域内进行. 【例8】根据已知条件，求函数表达式. (1)已知f(x)
=3x2-1，求①f(x-1)，②f(x2). (2)已知f(x)=3x2+1，g(x)=2x-1，求f[g(x)]. 求f(x). (4)已知f
(x)是二次函数且f(0)=2，f(x+1)-f(x)=x-1，求f(x). ( 5)设周长为a(a＞0)的等腰三角形，其腰
长为x，底边长为y，试将y表示为x的函数，并求它的 定义域和值域. (1)分析:本题相当于
x=x-1时的函数值，用代入法可求得函数表达式. 解 ∵f(x)=3x2-1 ∴f(x-1)=3(x-1)2-1=3x2-
6x+2 f(x2)=3(x2)2-1=3x4-1 (2)分析:函数f[g(x)]表示将函数f(x)中的x用g (x)来代替而得到
的解析式，∴仍用代入法求解. 解 由已知得f[g(x)]=3(2x-1)2+1=12x2-12x+4 法(或观察法).
∴x=(t+1)2代入原式有f(t)=(t+1)2-6(t+1)-7 =t2-4t-12 (t≥-1) 即f(x)=x2-4x-12 (x≥-1) 说明
解法二是用的换元法.注意两种 方法都涉及到中间量的问题，必须要确定中间量的范围，要
熟练掌握换元法. (4)分析:本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求
解. 解 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 由f(0)=2，得c=2.由f(x+1)-f(x)=x-1，得恒等式2ax+ 说明
待定系数是重要的数学方法，应熟练掌握. (5)解:∵2x+y=a，∴y=a-2x为所求函数式. ∵三
角形任意两边之和大于第三边， ∴得2x+2x＞a，又∵y＞0， 说明 求实际问题函数表达