数学趣味教学2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)(附详细答案)(20200621160725)

2020年11月22日发(作者：莫万丹)
2010年全国统一高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分 ）
1．（5分）已知复数
A．B．
，是z的共轭复数，则
C．1
（新 课标）
=（
D．2
）
2．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，
A．（0，2）
3．（5分）曲线y=
A．y=2x+1
B．[0，2]C． {0，2}
，则A∩B=（
D．{0，1，2}
）
D．y=﹣2x﹣2
）
在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（
B．y=2x﹣1C．y=﹣2x﹣3
（< br>4．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P
0
﹣），角 速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（
，
）
A．B．
C．
5．（5分）已知命题p
1
：函数y=2﹣2
x
﹣
x
D．
在R为增函数，p
2
：函数y=2+2在R
x
﹣
x
为减函数，则在命题q
1
：p
1
∨p
2
，q< br>2
：p
1
∧p
2
，q
3
：（￢p
1
）∨p
2
和q
4
：p
1
∧（￢
p
2
）中，真命题是（
A．q
1
，q
3
）
C．q1
，q
4
第1页（共27页）
B．q
2
，q
3
D．q
2
，q
4
6．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9， 现播种了1000粒，对于没有发芽
）的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期 望为（
A．100B．200C．300D．400
）7．（5分）如果执行如图的框图，输入 N=5，则输出的数等于（
A．B．
x
C．D．
）（x≥0），则{x|f（ x﹣2）＞0}=（
8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2
﹣4
A．{x| x＜﹣2或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6}
B．{x|x＜0或x＞4}
D．{ x|x＜﹣2或x＞2}
9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（）
A．B．C．2D．﹣ 2
10．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，
则该球 的表面积为（
A．πａ
2
）
C．D．5πａ
2
B．
11．（5分）已知函数
=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（
，若a，b，c互不 相等，且f（a）
）
第2页（共27页）
A．（1，10）B．（5，6）C．（10 ，12）D．（20，24）
12．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过 P的直线l
与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（
A．B．C．D．
）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分 ）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有
以用随机模拟方法近似计算积分
0≤ f（x）≤1，可
N个）区间，先产生两组（每组
[0，1]上的均匀随机数x
1，x
2
，…ｘ
N
和y
1
，y
2
，…ｙ
N
，由此得到N个点（x
i
，y
i
）
（i=1，2 ，…，N），再数出其中满足y
i
≤f（x
i
）（i=1，2，…，N）的点 数N
1
，
那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．
（写出三种）14．（5 分）正视图为一个三角形的几何体可以是
15．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切 于点B（2，1），则圆C的
方程为．
16．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，BD =DC，∠ADB=120°，AD=2，若
△ADC的面积为，则∠BAC= ．
三、解答题 （共8小题，满分90分）
17．（12分）设数列满足a
1
=2，a
n+
1
﹣a
n
=3?2
（1）求数列{a
n
}的 通项公式；
（2）令b
n
=na
n
，求数列{b
n
}的前n项和S
n
．
2n
﹣
1
第3页（共27页）
18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，
垂足为 H，PH是四棱锥的高，E为AD中点
（Ⅰ）证明：PE⊥BC
（Ⅱ）若∠APB=∠ADB= 60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．
19．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿 者提供帮助，用简单随机抽样方
法从该地区调查了500位老年人，结果如表：
性别
是 否需要志愿者
需要
不需要
40
160
30
270
男 女
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
（2）能否有99%的把握认为该 地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有
关？
（3）根据（2）的结论，能否提出更好的 调查方法来估计该地区的老年人中需要
志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．
P（K
≥k）
2
0.050
3.841
0.010
6.635
0 .001
10.828
附：K
2
=．
第4页（共27页）
2 0．（12分）设F
1
，F
2
分别是椭圆的左、右焦点，过F
1斜率为1的直线?与E相交于A，B两点，且|AF
2
|，|AB|，|BF
2< br>|成等差数列．
（1）求E的离心率；
（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB |，求E的方程．
21．（12分）设函数f（x）=e
x
﹣1﹣x﹣ax
2
．
（1）若a=0，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a 的取值范围．
22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与
于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC
2
=BE?CD．
第5页（共2 7页）
的延长线交BA
23．（10分）已知直线C
1
（t为参数），C2
（θ为参数），
（Ⅰ）当α＝时，求C
1
与C
2
的交 点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C
1
的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时， 求P
点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣ 4|+1．
（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：
（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空， 求a的取值范围．
第6页（共27页）
2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）< br>参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分） 已知复数
A．B．
，是z的共轭复数，则
C．1
=（
D．2
）
【考点】A5：复数的运算．
【分析】因为
【解答】解：由
另解
， 所以先求|z|再求的值．
可得．
：
故选：A．
【点评】命题意图：本题主要 考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以
利用复数的一些运算性质可以简化运算．
2． （5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，
A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}，则A∩B=（
D．{0，1，2}
）
【考点】1E：交集及其运算．
【 专题】11：计算题．
【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交< br>第7页（共27页）
集的意义求解．
【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x ∈R|﹣2≤x≤2}，
故A∩B={0，1，2}．
应选D．
【点评】本题主要考查 集合间的交集运算以及集合的表示方法，
式和幂函数等知识，属于基础题．
涉及绝对值不等3．（5分）曲线y=
A．y=2x+1
在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（
B ．y=2x﹣1C．y=﹣2x﹣3
）
D．y=﹣2x﹣2
【考点】6H：利用导数研 究曲线上某点切线方程．
【专题】1：常规题型；11：计算题．
【分析】欲求在点（﹣1，﹣ 1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先
利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数 的几何意义即可求出切线
的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=
∴y′＝，，
所以k=y′|
x=
﹣
1
=2，得切线的斜率为2，所以k= 2；
所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：
y+1=2×（x+1），即 y=2x+1．
故选：A．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研 究曲线上某
点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
（
4．（5分） 如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P
0
﹣），角速度为1，那么点P 到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（
，
）
第8页（共27页）
A．B ．
C．D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
【分析】本题的求解可以利用排 除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离
来确定答案．
【解答】解：通过分析可知当t= 0时，点P到x轴距离d为
案A，D，
再根据当
故选：C．
【点评】本题主要 考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，
于基础题．
属
时，可知点P 在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，
，于是可以排除答
5．（5分）已知命题p
1
：函数y=2﹣2
x
﹣
x
在R为增函数，p
2< br>：函数y=2+2在R
x
﹣
x
为减函数，则在命题q
1
：p
1
∨p
2
，q
2
：p
1
∧p
2
，q
3
：（￢p
1
）∨p
2
和q
4< br>：p
1
∧（￢
p
2
）中，真命题是（
A．q
1
，q
3
）
C．q
1
，q
4
D．q
2
，q
4
B．q
2
，q
3
第9页（共27页）< br>【考点】2E：复合命题及其真假；4Q：指数函数与对数函数的关系．
【专题】5L：简易逻辑 ．
【分析】先判断命题p
1
是真命题，P
2
是假命题，故p
1
∨p
2
为真命题，（﹣p
2
）为
真命题，p
1< br>∧（﹣p
2
）为真命题．
x
【解答】解：易知p
1
是 真命题，而对p
2
：y′=2
ln2﹣ln2=ln2（），
当x∈[0，+ ∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；
p
2
是假命题．同理得当x ∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故
由此可知，q
1
真，q
2
假， q
3
假，q
4
真．
故选：C．
【点评】只有p
1< br>与P
2
都是真命题时，p
1
∧p
2
才是真命题．只要 p
1
与p
2
中至少有
一个真命题，p
1
∨p
2
就是真命题．
6．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对 于没有发芽
）的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（
A．10 0B．200C．300D．400
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；
验的模型．
【专题】11：计算题；12：应用题．
CN：二项分布与n次独立重复试
【分析】首 先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000
粒，即不发芽率为0.1，故没 有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，
0.1）．又没发芽的补种
望公式即可 求出结果．
【解答】解：由题意可知播种了
即ξ～B（1000，0.1）．
而每粒需 再补种2粒，补种的种子数记为X
故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选：B．
【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，
第10页（共27 页）
2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期
1000粒，没有发芽的种子数ξ 服从二项分布，
考查解决应用问题
的能力．属于基础性题目．
7．（5分）如果执行如 图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）
A．B．C．D．
【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可 知：
该程序的作用是累加并输出S=的值．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，< br>再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出
∵S=
故选：D．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的
题型，其处理方 法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）
中即要分析出计算的类型，又要分析出参与 计算的数据（如果参与运算的数
第11页（共27页）
S=
=1﹣=
的值．< br>据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）
一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．< br>?②建立数学模型，根据第
（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（
8．（5分） 设偶函数f（x）满足f（x）=2
﹣4
A．{x|x＜﹣2或x＞4}
＞6}
B．{x|x＜0或x＞4}
x
）
C．{x|x＜0或x
D．{x|x＜﹣ 2或x＞2}
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．
【专题】11：计算题．
【分 析】由偶函数f（x）满足f（x）=2﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2
﹣4，根据 偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，
x
|
x
|
再求解不等式，可 得答案．
【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2
x
﹣4（x≥0），可得f （x）=f（|x|）
=2
﹣4，
则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2
| x﹣2|＞2
解得x＞4，或x＜0．
应选：B．
【点评】本题主要考查偶函数性质、 不等式的解法以及相应的运算能力，
题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计 算．
解答本
|
x
﹣
2
|
|
x
|< br>﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2
|
x
﹣
2
|
﹣4＞0，
9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（）
A．B．C．2D．﹣2
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；
【专题】11：计算题．
GW：半角的三角函 数．
【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待
第12页（共27页）
求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．
，α是第三象限的角，
，
【解答 】解：由
∴可得
则，
应选A．
【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公 式的灵活运用、
关系等知识以及相应的运算能力．
同角的三角函数
10．（5分）设三 棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，
则该球的表面积为（
A．πａ
2
）
C．D．5πａ
2
B．
【考点】LR：球内接多面体．
【专题】11：计算题．
【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，
出球 的表面积．
【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为
连线
a的正三棱柱，上下 底面中心
求出球的半径，即可求
的中点就是球心，则其外接球的半径为
，
球的 表面积为
故选：B．
，
【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、
算能力 和空间形象能力．
球和正棱柱的性质以及相应的运
第13页（共27页）