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2014年北京市高考数学试卷(理科)
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,< br>选出符合题目要求的一项)
2
﹣2x=0},B={0,1,2},则A∩B=( )1.(5分)(2014?北京)已知集合A={x|x
A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2}
【分析】解出集合A,再由交的定义求出两集合的交集.
2
﹣2x=0}={0,2},B={0,1,x【解答】解:∵A={|x2},
∴A∩B={0,2}
故选:C.
2.(5分)(2014?北京)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )
2
)﹣1y=(x.y= B.A
x
﹣
D.y=log(x+C.y=21)
0.5
【分 析】根据基本初等函数的单调性,判断各个选
项中函数的单调性,从而得出结论.
【解答】解:由于函数y= 在(﹣1,+∞)上是增函数,故满足条件,
2
在(0,1x﹣1))上是减函数,故不满足条件,由于函数y=(
x
﹣
在(0,由于函数y=2+∞)上是减函数,故不满足条件,
由于函数y=log(x+1)在(﹣1,+∞)上是减函数,故不满足条件,
0.5
故选:A.
3.(5分)(2014?北京)曲线(θ为参数)的对称中心( )
A.在直线y=2x上B.在直线y=﹣2x上
D.在直线上C.在直线y=x﹣1y=x+1上
【分析】曲线(θ为参数)表示圆,对称中心为圆心,可得结论.
【解答】解:曲线(θ为参数)表示圆,圆心为(﹣1,2),在直
线y=﹣2x上,
故选:B.
S时,执行如图所示的程序框图,输出的n=3,m=7北京)当2014?(分)5(.4.
的值为( )
840..210D.7B.42CA
值,k×k的值,根据条件确定跳出循环的S=7×6×…【分析】算法的功能是求
的值.S计算输出
的值,k…×解:由程序框图知:算法的功能是求S=7×6×【解答】
,1=53+n+1=7﹣当m=7,n=3时,m﹣
,值为4∴跳出循环的k
.×5=210∴输出S=7×6
.故选:C
为递增}“{a的等比数列,则是公比为q“q> 1”是2014?5.(5分)(北京)设
{a}
nn
) ”的( 数列
.必要而不充分条件BA.充分而不必要条件
.既不充分也不必要条件C.充分必要条件D
结合充分条件和必要条件 的定义进行判断即可得根据等比数列的性质,【分析】
到结论.
不是递增 },但1{a,﹣24,…,满足公比q=2>解:等比数列﹣【解答】1,﹣
n
数列,充分性 不成立.
不成立,即必要性不成立,1q=为递增数列,>﹣若a=1
n
的既不充分也不必要条件,为递增数列a}”{是>故“q1”“
n
.故选:D
,且z=yx,y满足﹣x的最小值为﹣4,(6.(5分)2014?北京)若
则k的值为( )
D..﹣B.﹣2CA.2
【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论,当k≥0时,可 行域内没有使目标函
数z=y﹣x取得最小值的最优解,k<0时,若直线kx﹣y+2=0与x轴的交 点在x+y
﹣2=0与x轴的交点的左边,z=y﹣x的最小值为﹣2,不合题意,由此结合约束
条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程
组求出最优解的坐标, 代入目标函数得答案.
【解答】解:对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论,可知 直线kx﹣y+2=0与x轴的
交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边,
作出可行域如图,故由约束条件
, ,得x=kx﹣y+2=0当y=0,由
,
. ∴B(﹣)
.得y=x+z由z=y﹣x
,
最小.轴上的截距最小,即B(﹣z )时直线在y+由图可知,当直线y=xz过
﹣,解得:k= .此时
.D故选:
,(2),B,Oxyz中,已知A(2,00北京)在空间直角坐标系57.(分)(20 14?ABCD
﹣分别表示三棱锥S,若 ,1,)S,,S1D),,(,02,)C020,(
321
) zOxyOzxOy
在,,坐标平面上的正投影图形的面积,则(
A.S=S=SB.S=S且S≠S
3213221
D.S=S≠SS且S≠SC.S=S且
1212333 3
【分析】分
别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论.
【解答】解:设A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1, ),
则各个面上的射影分别为A',B',C',D',
在xOy坐标平面上的正投影A'(2,0,0),B'(2,2,0),C'(0,2,0 ),D'(1,
.=1,
0),S
1
在yOz坐标平面上的正投影A'(0,0,0),B'(0,2,0 ),C'(0,2,0),D'(0,
=.,1, )S
2
在zOx坐标平面上的正投影 A'(2,0,0),B'(2,0,0),C'(0,0,0),D'(0,
,S,1
3
, = )
则S=S且S≠S,
1323
故选:D.
8.(5分)(2014?北京)学生的语 文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优
秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都 不低于学生乙,且其中至
少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪
位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位
学生,则这一组 学生最多有( )
A.2人B.3人C.4人D.5人
【分析】分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格,根据题干中的内容推出文
成绩 得A,B,C的学生各最多只有1个,继而推得学生的人数.
【解答】解:用AB C分别表示优秀、及格和不及格,显然语文成绩得A的学生
最多只有1个,
语文成绩得B得也最多只有一个,
得C最多只有一个,
因此学生最多只有3人,
显然(AC)(BB)(CA)满足条件,
故学生最多有3个.
故选:B.
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
2
= ﹣1(2014?北京)复数( ).9.(5分)
【分析】由复数代数形式的除法运算化简括内部,然后由虚数单位i的运算性质< br>得答案.
2
. ()=【解答】解:
.故答案为:﹣1
λ ((2,1),且 + =分)10.(5(2014?北京)已知向量 , 满足| |=1, =. |
∈R),则λ|=
∈ =1,=(2,1),且 + = (λ,=【分析】设 (x,y).由于向量 满足
| |
,解出即可.
,可得R)
.),(xy【解答】解:设 =
,R)1),且 + = (λ∈= ∵向量 ,满足| |=1, (2,
,1)+2,λy+∴ ,(=λx,y)+(21)=(λx
2
∴=5.,化为λ
.解得
故答案为: .
2
=1,且与具有相同渐﹣x2分)5(2014?北京)设双曲线C经过点(2,)
11.(
;渐近线方程为 y=±2x . 的方程为C近线,则
【分析】利用双曲线渐近线之间的关系,利用待定系数法即可得到结论.
22
≠m(=1﹣【解答】解:与x具有相同渐近线的双曲线方程可设为,=mx﹣
0),
∵双曲线C经过点(2,2),
,m=∴
,即3即双曲线方程为﹣x=﹣
2
,
对应的渐近线方程为y=±2x,
,y=±2x.故答案为:
12.(5分)(2014?北京)若等差数列{a}满足a+a+a>0,a+a<0,则当n=
10787n9
8
时,{a}的前n项和最大.
n
< br>【分析】可得等差数列{a}的前8项为正数,从
第9项开始为负数,进而可得结
n论.
【解答】解:由等差数列的性质可得a+a+a=3a>0,
8879
∴a>0,又a+a=a+a<0,
∴a<0,
9798810
∴等差数列{a}的前8项为正数,从第9项开始为负数,
n
∴等差
数列{a}的前8项和最大,
n
故答案为:8.
13.(5分)(2014?北京)把5件不 同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,
且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有 36 种.
【分析】分3步进行分析:①用捆绑法分析A、B,②计算其中A 、B相邻又满足
B、C相邻的情况,即将ABC看成一个元素,与其他产品全排列,③在全部数目
中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案.
而A、作为一个元素有 种方法,、A与B相邻,把AB解:【解答】先考虑产品
=48 种摆法,B可交换位置,所以有2
=12种摆法,相邻,有2 、B相邻又满足A、C又当A
故满足条件的摆法有48﹣12=36种.
故答案为:36.
14.(5分)(2014?北京)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是 常数,A
>0,
ω>0)若f(x)在区间[,]上具有单调性,且f()=f()=﹣f(),
则f(x)的最小正周期为 π .
【分析】由f()=f()求出函数的一条对称轴,结合f(x)在区间[,]
上具有单调性,且f()=﹣f()
可得函数的半周期,则周期可求.
,可知
,x=f(x)的一条对称轴为【解答】解:由f()=f()
函数
.离最近对称轴距离为则x=
0,)f(),则f(x)
,
有对称中心(又f()=﹣
上具有单调性,[由于f(x)在区间,]
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