中考数学定理2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)附答案

2020年11月21日发(作者：吴西)
2020
年全国统一高考数学试卷（理科）
(
新课标Ⅲ）

题号
得分
一、选择题（本大题共
12
小题，共
60.0
分）
,yx},B={(x,y)|x+y=8},
则
AB
中元素数为（

）
1.
已知集合
A={(x,y)|x,y
A.
2
B.
3
C.
4
D.
6
2.
复数的虚部是
( )
一二三总分
A.
-
3.
B.
-
C.
,,,,
且
D.
=1,
则下面四种在一组样本数据中
,1,2,3,4
出现的频率分别为4.
情形中
,
对应样本的标准差最大的一组是
( )
A.
,==0.1,==0.4
B.
==0.4,==0.1
C.
,==0.2,==0.3
D.
==0.3,==0.2
Logistic
模型是常用数学模型之一
, < br>可应用于流行病学领域
.
有学者根据公布数据建
立了某地区新冠肺炎累计确诊病 例数
I(t)(t
的单位
:
天
)
的
Logisti c
模型
:I(t)=
,
其中
K
为最大确诊病例数
.
当
I()=0.95K
时
,
标志着已初步遏制疫
5.
情
,
则约为（

）
(193)
A.
60
B.
63
C.
66
D.
69
设
O
为坐标原点
,
直线
x=2
与抛 物线
C:=2px(p>0)
交于
D,E
两点
,
若
OD
C
的焦点坐标为
( )
OE,
则
A.
(,0)
6.
已知向量
,
B.
(,0)
满足
||=5, ||=6,
C.
(1,0)
=-6,
则
<,+
D.
(2,0)
>=( )
A.
-
7.
在
ABC
中
,C=
B.
-
,AC=4,BC=3,
则
C.
B=( )
D.
A.
8.
B. C. D.
下图为某几何体的三视图
,
则该几何体的表面积是
( )
第1页，共19页
A.
6+4
9.
已知
2-
B.
4+4
(+)=7,
则
C.
6+2
=( )
D.
4+2
A.
-2
10.
若直线
l
与曲线
y=
B.
-1
和圆
+
C.
1
D.
2
=
都相切，则
l
的方程为
( )
A.
y=2x+1
11.
设双曲线
C:-
B.
y=2x+
C.
y=x+1
,
D.
y=x+
,
离心率为
.P
是
C
上
=1(a>0,b>0)
的左 、右焦点分别为
P.
若一点
,
且
P
的面积为
4,
则
a=( )
A.
1
B.
2
C.
4
D.
8
<.
设
a=3,b=5,c=8
，则（

）
12.
已知
<,
A.
aB.
bC.
bD.
c二、填空题 （本大题共
4
小题，共
20.0
分）
13.
若
x, y
满足约束条件则
z=3x+2y
的最大值为
__________.
14.
的展开式中常数项是
__________(
用数字作答
).
15.
已知圆锥的底面半径为
1,
母线长为
3,
则该圆锥内半径最大的球的体积为
.
16.
关于函数< br>f(x)=x+
有如下四个命题
:
f(x)
的图像关于
y轴对称
.
f(x)
的图像关于原点对称
,
f(x)
的图 像关于直线
x=
f(x)
的最小值为
2.
其中所有真命题的序号是< br>__________.
三、解答题（本大题共
7
小题，共
82.0< br>分）
=-4n.
17.
设数列
{}
满足
=3,
(1)
计算
,,
猜想
{}
的通项公式并加以证明
;< br>第2页，共19页
对称
.
(2)
求数列
{}
的前n
项和
.
18.
某学生兴趣小组随机调查了某市
100
天中每天的空气质量等级和当天到某公园的
人次
,
整理数据得到下表（单位：天）：< br>锻炼人次
[0,200]
空气质量等级
1
（优）
2
（ 良）
3
（轻度污染）
4
（中度污染）
2
5
6
7
16
10
7
2
25
12
8
0
(200,400](400,600]
(1)
分别估计该市一天的空气质量等级为
1 ,2,3,4
的概率
;
(2)
求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(
同一组中的数据用该组区间的中点
值为代表
)
(3)
若某天的 空气质量等级为
1
或
2:
则称这天

空气质量好
若某天的空气质量等级
为
3
成
4,
则称这天

空 气质量不好

根据所给数据
,
完成下面的
2×2
列联表并根据 列
联表
,
判断是否有
95%
的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与 该市当天的空气质
量有关
?
人次
空气质量好
空气质量不好
4 00
人次
400
第3页，共19页
在长方体
ABCD-
19 .
如图，
BF=2F.
中，点
E ,F
分别在棱
D,B.< br>上
,
且
2DE=E
，
(1)
证明
:
点在平面
AEF
内
;
，求二面角
A-EF-
的正弦值
.(2)
若
AB=2
，
AD=1,
20.
已知椭圆
C:
的离心率为，
A
，
B
分别为
C
的左右顶点
.
（
1
）求
C
的方程；
（
2
）若点
P
在
C
上
,
点
Q
在直线
x=6
上
,
且
|BP|=|BQ|,BPBQ,
求
APQ< br>的面积
.
21.
设函数
f(x)=x
3
+bx+c,
曲线
y=f(x)
在点
(1)
求
b;
处的切线与< br>y
轴垂直
(2)
若
f(x)
有一个绝对值不大于
1< br>的零点
,
证明
:f(x)
所有零点的绝对值都不大于
1.第4页，共19页
22.
在直角坐标系
xOy
中
,
曲线
C
的参数方程为
与坐标轴交于
A,B
两点
.
(1)
求
|AB|;
(t
为参数且
t1),C
(2)
以坐 标原点为极点
,x
轴正半轴为极轴建立极坐标系
,
求直线
AB
的极坐标方程
.
23.
设
a,b,c
∈
R,a+b+c= 0,abc=1.
(1)
证明
:ab+bc+ca<0;
(2)
用< br>max{a,b,c}
表示
a,b,c
的最大值
,
证明
:max{a,b,c}≥.
第5页，共19页
答案和解析
1.
【答案】< br>C
【解析】【分析】
本题主要考查集合的交集运算，属于基础题
.
【解 答】
解：在集合
B
中，
x+y=8
，当
x
，
y
是正整数且
y≥x
时，有（
1
，
7
），（2
，
6
），（
3
，
5
），（
4
，
4
）等
4
个元素，则
A∩B
中元素个数为
4< br>个
.
故选
C.
2.
【答案】
D
【解析】【分 析】
本题主要考查复数的运算以及复数虚部的判断，属于基础题
.
【解答】
解 ：因为
所以其虚部为，

故选
D.
，
3.
【答案】
B
【解析】【分析】
本题主要考察样本标准差的计算，属于基础题
根据各项数 据，先求样本平均数，再计算标准差
【解答】
解：
A
中，平均数为
标 准差为
，
同理可得
B
中，平均数为
2.5
，标准差为，C
中，平均数为
2.5
，标准差为，
第6页，共19页
D
中，平均数为
2.5
，标准差为
故选
B
4.
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题
.
根据题意可得
【解答】
解：由题可知，
，解出的值
.
所以，
，解得
故选
C
5.
【答案】
B
【解析】【分析】
本 题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的性质，基础题．
E
两点，
E
两点坐 标，根据直线
x=2
与抛物线交于
D
、确定
D
、由
OD
⊥
OE
可得
，可确定
p
的值，从而得到抛物线的焦点坐 标．
【解答】
解：根据题意得
D
（
2
，
2p
）
,E
（
2
，
-2p
）
,
因为
OD
⊥
OE
，可得，所以
4-4p=0
，故
p=1
，
所以抛物线
C
：
y
2
=2x
，所以抛物线的焦点 坐标为
(,0).
故选
B
．
6.
【答案】
D
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的模长、数量积、夹角问题，基础题．
根据平面向量 的夹角定义可知，由可得的值，
第7页，共19页
由
【解答】
解：因为
所以
可得的值，从而可得答案
.
，
，
，
，
,,< br>所以，
因为，
所以
故选
D.
7.
【答案】
A
，
【解析】【分析】
本题考查余弦定理，考查运算求解能力，难度一般
.先由已知条件应用余弦定理求出
AB
，再利用余弦定理即可求出
cosB.
【解答】
解：由余弦定理可得
解得
AB=3.
在
△
ABC
中，
由余弦定理可得
，
，
故选
A.
8.
【 答案】
C
【解析】【分析】
本题考查由三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力， 难度一般
.
先由三视图还原几何体，即可求出表面积
.
【解答】
第8 页，共19页
解：由三视图可知该几何体是底面为腰长
2
的等腰直角三角形，一侧棱长 为
2
且垂直底
面的三棱锥，如图
故其表面积为
故选
C.9.
【答案】
D
【解析】【分析】
本题考查两角和的正切公式的应用，属 于基础题
.
【解答】
解：
∵
∴
整理得
故选
D.
，
∴
，
，
，
10.
【答案】
D
【解析】【分析】
本题考查了导数几何意义的应用以及直线和圆相切问题，考查了运算能力，属于中档 题
.
【解答】
解：根据条件，设直线
l
与曲线相切于点，
第 9页，共19页