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第四章 一次函数
1 函 数
1．了解函数产生的背景和函数的概念，能判断两个变量间的关系是否属于函数关系．
2．通过对函数概念的探索，初步培养学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力．
3． 让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，从而使学生形成自己对数
学知识的理解和有效的 学习模式．
重点
掌握函数的概念，会判断两个变量之间的关系是否属于函数关系．
难点
能把实际问题抽象概括为函数问题．
一、情境导入
课件出示教材第75页图4－1及相关问题，并由学生讨论完成题目．
师：在现实生活中一个 量随另一个量的变化而变化的现象大量存在．函数就是研究一些
量之间确定性依赖关系的数学模型．(板 书课题)
二、探究新知
函数的相关概念．
(1)课件出示教材第76页“做一做”第1题．
师：层数n和物体总数y之间是什么关系？
引导学生得出：只要给定层数，就能求出物体总数．
(2)课件出示教材第76页“做一做”第2题．
师：在关系式T＝t＋273中，两个变量中若知道其中一个，是否可以确定另外一个？
一般 地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量
y都有唯一的值与它对 应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量．
表示函数的方法一般有：列表法、关系式法和图象法．
对于自变量在可取值范围内的一个确定 的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值
称为当自变量等于a时的函数值．
理解函数概念时应注意：
(1)在某一变化过程中有两个变量x与y.
(2)这两个变量互相联系，当变量x取一个确定的值时，变量y的值就随之确定．
(3)对 于变量x的每一个值，变量y都有唯一的一个值与它对应，如在关系式y
2
＝x(x>0)中，当x＝9时，y对应的值为3或－3，不唯一，则y不是x的函数．
师：上述问题中，自变量能取哪些值？
指出要根据实际问题确定自变量的取值范围．
三、练习巩固
教材第77页“随堂练习”．
四、小结
函数的概念包含以下三方面：
(1)两个变量；
(2)两个变量之间唯一确定的对应关系；
(3)当一个变量取一个确定的值时，另一个变量有唯一的值与它对应．
五、课外作业
1
教材第77～78页习题4.1第1～4题．
本节课是函数学习的起始课，因此理解函数的基本思想和表达方式是本节课的重点．通
过生活实 例中对变量的提取，帮助学生比较深刻地领悟了函数的意义．教材安排的实际问题，
旨在让学生通过直观 感知，领悟相关概念，这些问题不宜单纯作为教师讲解的例题，要注意
引导学生观察其中数量之间的相互 关系、鼓励学生发表意见，可以根据学生交流的情况，鼓
励学生举出自己熟悉的实例，穿插在几个问题的 讨论之中.2 一次函数与正比例函数
1．理解一次函数和正比例函数的概念，以及两者之间的关系．
2．能够根据所给条件写出简单的一次函数表达式，并利用它解决实际问题．
3．经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力．
重点
一次函数、正比例函数的概念．会根据已知信息写出一次函数的表达式．
难点
一次函数知识的运用．
一、情境导入
师：生活中充满着许许多多变化的量，你了解 这些变量之间的关系吗？如弹簧的长度(在
弹性限度内)与所挂物体的质量，输液时间与相应时间内水滴 数目……了解这些关系，可以
帮助我们更好地认识世界．函数是刻画变量之间关系的常用模型，其中最为 简单的是一次函
数，那么什么是一次函数？用一次函数可以解决哪些问题呢？你想了解这些吗？一起进入 这
节课的学习吧！
二、探究新知
一次函数的相关概念．
(1)课件出示教材第79页“做一做”上面的题目．
分析：当不挂物体时，弹簧长度为3
cm
，当挂1
kg
物体时，增加0.5
cm
，总长度为3.5
cm
，
增加1
kg
物体，即所挂物体为2
kg
时，弹簧又增加0.5
cm
，总共增加1
cm
，由此可见，所
挂物体为x
kg
时，弹簧就伸长0.5x
cm
，则弹簧总长为原长加伸长的长度，即y＝3＋0.5x.
(2)课件出示教材第79页“做一做”．
解：①如下表所示：
汽车行驶
路程x/
km
耗油量y/
L
0
0
50
6
100
12
150
18
200
24
300
36
②y＝6·x.
③z＝60－x.
若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数， k≠0)的形式，则称y
是x的一次函数．例如y＝2x＋1, y＝x－1等都是一次函数．
特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数．例如，y＝2x，y＝－3x等都是正比例函
数． < br>正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数．正比例函数与一次函数的关
系如图所示 ．
2
三、举例分析
1．课件出示教材第79页例1.
由学生交流讨论完成．
师：两个变量之间存在函数关系，它们之间一定是一次函数或正比例函数关系吗？
2．课件出示教材第80页例2.
此题对于现阶段的学生有一定难度，由教师讲解．
分析：一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)中，自变量的取值范围是全体实数，但是
在实 际问题中，要根据具体情况来确定该一次函数的自变量的取值范围．本例题的关键是确
定问题当中的x的 取值范围．
四、练习巩固
教材第80～81页“随堂练习”第1～2题．
五、小结
正比例函数――→
定义
形如y＝kx（k
≠0）的函数
一次函数――→
定义
形如y＝kx＋b（k，b
是常数，k≠0）的函数
六、课外作业
教材第82页习题4.2第1～4题．
教学时从学生熟悉的实际问题入手，旨在让学生直观感知领悟相关概念，通过学生的合
作交流得到一次函数和正比例函数的定义，引导学生把新学习的函数知识与实际问题联系起
来．在教学 过程中要适当增加习题，设计不同层次的习题，让不同层次的学生得到不同程度
的练习，以提高学生的解 题能力和对一次函数与正比例函数的理解和掌握．
3
3 一次函数的图象
1．理解函数图象的概念，经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤．理解一次
函数的关系式与图象之间的对应关系，并熟练作出一次函数的图象．
2．了解正比例函数y＝kx的 图象的特点，会作正比例函数图象，理解一次函数及其图
象的有关性质；进一步培养学生数形结合的意识 和能力．
重点
能熟练地作出一次函数的图象，归纳作函数图象的一般步骤．
难点
理解一次函数的关系式与图象之间的对应系．
一、情境导入
课件出示题目：已知A，B两人在一次百米赛跑中，路程s(
m
)与赛跑时间t(s
)的关系如
图所示，你知道A，B两人所跑的路程s(
m
)与时间t(
s
)之间属于哪种函数关系吗？
师：通过这节课的学习，同学们一定会有所了解. (板书课题)
二、探究新知
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐 标和纵坐标，在直角坐
标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．
一次函数 y＝kx＋b的图象是怎样的呢？我们先研究较为简单的正比例函数的图象．
1．正比例函数的图象．
某地1千瓦时电费为0.8元，表示电费y(元)与所用电量x(千 瓦时)之间的函数关系式是
________，你能画出这个函数的图象吗？
解：(1)确定自变量的取值范围．
根据题意可知y＝0.8x，这是个实际问题，自变量的 取值要使实际问题有意义，所以x
≥0.
(2)列表．
取自变量x的一些值，算出相应的函数值，列成表格如下：
师：
x
y
0
0
1
0.8
2
1.6
3
2.4
4
3.2
5
4
…
…
(3)描点．
建立平面直角坐标系，以x的取值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出点O ，A，
B，C，D，E，…，如图所示．
4
(4)连线．
观察描出的这几个点，它们的位置关系是怎样的？
学生观察这些点会得出这些点在一条直线上 ，由于自变量的取值范围是x≥0，因此我
们猜想这个函数的图象是以原点为端点的一条射线，数学上已 经证明这个猜想是正确的，于
是这个函数的图象如下图所示．
注意：因为两点可以 确定一条直线，因此，画正比例函数的图象时只需过原点(0，0)和
点(1，k)画一条直线即可．
2．正比例函数的性质．
学生画出图象后，引导学生分析：正比例函数y＝kx(k≠0)的 图象是一条经过原点(0，0)
的直线，我们称它为直线y＝kx.当k>0时，经过第一、三象限，从 左往右升，即y的值随x
值增大而增大；当k<0时，经过第二、四象限，即y的值随x值的增大而减小 .
课件出示教材第85页“随堂练习”．
学生独立完成，让学生根据图象说说这两个正比例函数的性质．
3．一次函数的图象． 正比例函数y＝－2x的图象是过原点的一条直线，那么一次函数y＝－2x＋1的图象又
是怎样的 呢？下面我们研究一次函数y＝kx＋b的图象．
(1)课件出示教材第86页例2.
师：①直线y＝－2x和直线y＝－2x＋1是什么位置关系？
②一次函数y＝kx＋b的图象有什么特点？你是怎样理解的？
③根据上面的函数图象，怎样比较简单地画出一次函数y＝－2x＋3的图象？
一次函数y＝ kx＋b的图象是一条直线，因此画一次函数图象时，只要确定两个点，再
过这两点画直线就可以了．一 次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b.
(2)课件出示教材第86页“做一做”．
注意：画图象时让学生表示出所画函数的关系式，以便于区分．
(3)课件出示教材第87页“议一议”．
解：①函数y＝2x＋3和y＝5x－2都是y随 x的增大而增大，相应图象上点的位置逐渐
升高．函数y＝－x和y＝－x＋3都是y随x的增大而减小 ，相应图象上点的位置逐渐降低．
②直线y＝－x与直线y＝－x＋3互相平行，将直线y＝－x向上 平移3个单位长度就变
为直线y＝－x＋3了．当k≠0，b≠0或k＝0，b≠0时，直线y＝kx＋ b与y＝kx平行；当k
≠0，b＝0或k＝0，b＝0时，直线y＝kx＋b与y＝kx重合．
③直线y＝ 2x＋3和直线y＝－x＋3与y轴相交于同一点(0，3)．直线y＝kx＋b与y轴< br>交点的纵坐标就是b的值，一般能从函数y＝kx＋b的图象上直接看出b的数值．
5
总结：一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，b)．当k>0时，y的值随着x值的增 大而增
大；当k<0时，y的值随着x值的增大而减小．
拓展：(1)直线y＝kx＋b(k≠0，b≠0)与直线y＝kx(k≠0)的位置关系：
①直线y＝kx＋b平行于直线y＝kx；②当b>0时，把直线y＝kx向上平移b个单位长度，
可得 直线y＝kx＋b；③当b<0时，把直线y＝kx向下平移|b|个单位长度，可得直线y＝kx
＋b .
(2)一次函数y
1
＝k
1
x＋b
1
与y2
＝k
2
x＋b
2
中：若k
1
＝－k
2
，b
1
＝b
2
，则两直线关于y轴对称；
若k
1
＝－k
2
，b
1
＝－b
2
，则两直线关于x轴对称 ；若k
1
＝k
2
，b
1
≠b
2
，则两直线 平行．
三、练习巩固
教材第87页“随堂练习”第1～3题．
四、小结
1．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过原点的一条直线．通常画正比例函数y＝kx(k
≠ 0)的图象时，只取一点(1，k)，然后过原点和这一点画直线即可．
2．正比例函数y＝kx(k≠0)的性质.
k的取值 k<0 k>0
图象
图象特征
变化规律
过点(0，0)和(1，k)的直线
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
3.一次函数y＝ kx＋b的图象经过点(0，b)，当k>0时，y的值随着x值的增大而增大；
当k<0时，y的值随 着x值的增大而减小．
五、课外作业
1．教材第85页习题4.3第1～4题．
2．教材第87～88页习题4.4第1～5题．
本节课利用数形结合的思想引入 新课，通过学生的自主探索与合作交流得到正比例函数
的图象和性质，使学生易于接受新知识．通过例题 的讲解，加深了学生对正比例函数的图象
和性质的理解，提高了学生应用正比例函数的图象和性质解题的 能力．一次函数的图象和性
质是在正比例函数的基础上进行学习的，研究一次函数的图象和性质，除了借 助图象本身去
分析外，还应该注重引导学生思考k值对函数的图象和性质的影响，只有深刻领会k值的影
响，才能从更深层次理解一次函数的图象及性质.4 一次函数的应用
第1课时 一次函数的表达式
1．了解两个条件确定一个一次函数，一个条件确定一个正比例函数．
2．能由两个条件求出一次函数的表达式，由一个条件求出正比例函数的表达式，并解
决有关实 际问题．
重点
根据所给信息确定一次函数的表达式．
难点
用一次函数的关系式解决有关实际问题．
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