医学数学2020初中数学竞赛辅导(初1)第12讲平行线问题

2020年11月19日发(作者：穆欣)
第十二讲平行线问题
练习本平行线是我们日常生活中非常常见的图形．
每一页中的横线 、直尺的上下两边、人行横道上的“斑
马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对
边 等等均是互相平行的线段．
正因为平行线在生活中的广泛应用，
基本知识及性质成为中学几何的 基本知识．
正因为平行线在几何理论中的基础性，
古往今来很多数学家非常重视的研究对象．< br>平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何
夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何
们认 识宇宙空间中起着非常重要的作用．
现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，
建立在这样一 个公理基础之上的：
它是
平行线成为
历史上关于
(罗巴切
因此有关它 的
)，它们在使人
“在平面中，经过直
线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行” ．
在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及
性质定理．下面我们举例说明这些知识的应 用．
例1 如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b
于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°
．
分析由于a∥b，∠
∠1+∠2=
过C点作直线 l，使 l
质实现等角转移．
1，∠2是两个同侧内角，因此
∥a(或 b)即可通过 平行线的性
证过C点作直线l，使l∥a(图1－19)
b，所以b∥l，所以
∠1+ ∠2=180°(同侧内角互补)．
因为AC平分∠1，BC平分∠2，所以
a．因为
∥
又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(内错角相等)，所以
∠3+∠4=∠CAE+∠CBF
说明做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”
是否成立，即“两条直线a，b被直线AB所截 (如图
－20所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，
若∠C=90°，问直 线a与直线b是否一定平行？”
1
由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论
交 换位置)，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解．
1
∥BA
2
求∠A1
-∠B
1
+∠A
2
．例2 如图1－21所示，AA
分析本题对∠A
1
，∠A
2
，∠B
1
的大小并没有给出特< br>定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无
关．也就是说，不管∠A
1
，∠A
2
，∠B
1
的大小如何，答
案应是确定的．我们从图形直观， 有理由猜想答案大概
是零，即
∠A
1
+∠A
2
=∠B
1
．①
猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格
B
1
一分 为二
B
1
的证明．①式给我们一种启发，能不能将∠
使其每一部分分别等于∠ A
1
与∠A
2
．这就引发我们过
点引AA
1
(从而 也是BA
2
)的平行线，它将∠B
1
一分为二．
证过B
1< br>引B
1
E∥AA
1
，它将∠A
1
B
1
A
2
分成两个角：∠
，∠2(如图1－22所示)．
因为AA
1< br>∥BA
2
，所以B
1
E∥BA
2
．从而
∠1 =∠A
1
，∠
2
=∠A
2
(内错角相等)，
所以< br>∠B
1
=∠1+∠2=∠A
1
+∠A
2
，
即 ∠A
1
-∠B
1
+∠A
2
=0．
1
说明( 1)从证题的过程可以发现，问题的实质在于
AA
1
∥BA
2
，它与 连接A
1
，A
2
两点之间的折线段的数目无
关，如图1－23所示． 连接A
1
，A
2
之间的折线段增加到
4条：A
1
B
1
，B
1
A
2
，A
2
B
2
，B
2
A3，仍然有
∠A
1
+∠A
2
+∠A3= ∠B
1
+∠B
2
．
(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即
∠A
1
-∠B
1
+∠A
2
-∠B
2
+∠A3=0．
进一步可以推广为
∠A
1
-∠B
1
+∠A
2
-∠B
2
＋…-∠B
n
-
1
+∠An
=0．
这时，连结A
1
，A
n
之间的折线段共有n段 A
1
B
1
，
B
1
A
2
，…，B< br>n
-
1
A
n
(当然，仍要保持 AA
1
∥B A
n
)．
推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的
问题，如果抓住了 问题的本质，那么，在本质不变的情
况下，可以将问题推广到复杂的情况．
(2)这个问题也可 以将条件与结论对换一下，变成
一个新问题．
问题1 如图1－24所示．∠A
1+∠A
2
=∠B
1
，问AA
1
与BA
2
是否平行？
问题2 如图1－25所示．若
∠A
1
+∠A
2
+…+∠A
n
=∠B
1
+∠B
2
+…+∠B
n- 1
，问AA
1
与BA
n
是
否平行？
这两个问题请同 学加以思考．
例3如图1－26所示．AE∥
2=25°，
求∠C．
，∠∠2 ，∠BD1=3