数学浓度整理和复习_高二数学教案_模板

2020年11月19日发(作者：茅以新)
整理和复习_高二数学教案_模板



教学内容
教科书125页，练习三十．
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．通过整理和复习，进一步掌握方程的有关知识。
2．通过整理和复习，进一步掌握用方程解应用题。
(二)能力训练点
1．通过整理和复习，加强知识间的联系，形成知识网络。
2．通过整理和复习，培养学生计算的敏捷性和灵活性。
(三)德育渗透点
通过知识化间的联系，使学生受到辩证唯物主义的启蒙教育。
(四)美育渗透点
通过整理和复习，使学生感受到数学知识内在联系的逻辑之美，从而感悟到数学知识的魅力。
二学法指导
1．引导学生回忆所学过知识，使知识系统化。
2．指导学生利用已有经验，进行体验，巩固所学知识。
三教学重点
通过知识间的联系，掌握方程的概念和解方程的能力。
四教学难点
知识间的内在联系。
五教具学具准备
投影仪、投影片等。
六教学步骤
(一)导入(略)
(二)复习
1．这单元学习了什么内容?
2．回忆并概括，板书
(1)用字母表示数
(2)解简易方程
(3)列方程解应用题。
(先启发学生回忆学过的知识，为整理和复习做准备)。
(三)整理
1．用字母表示数
(1)出示整理和复习1(1)
用字母表示数——每天跑步的米数用X表示。
用字母表示数量关系——一星期跑的米数7X。
用含有字母的式子表示数量——现在每天跑步的米数x+2凹
(2)出示1(2)，引导学生解答。
(把用字母表示数，按整理和复习的类型进行梳理，形成知识结构。)
2．解简易方程
(1)方程的意义，引导学生回忆。
解方程的意义
出示练习三十二1题，进行反馈练习。
(2)整理和复习3题
①口述解题步骤 < br>②使学生明确：根据加、减、乘、除运算关系进解答，这在以前解含有未知数尤的等式中已
经掌握 。
③出示练习三十三3、4题，部分题分组进行解答，订正，并说一说是怎样想的?
(边整理边反馈练习，使学生已有的经验得到充分体验和发展，提高学生的计—算能力。)
④引导学生总结，解方程应注意的问题。
3．列方程解应用题
列方程解应用题，用方程的方法解决实际问题。
(1)列方程解应用题的特点是
①用字母表示未知数
②分析题中的等量关系
③列出含有未知数x的等式——方程
④解答，检验与答答话。
(2)整理和复习4题
分组进行交流，订正时说一说是怎样想的?
(3)练习三十三4题，用方程解，独立计算。
(4)整理和复习5题
①先分组用不同方法解答
②引导学生进行比较
使学生明确：
用方程解应用题： 用算术方法解应用题
1．未知数用字母表示，勃口列式。 1．未知数不参加列式。
2。根据题意找出数量间的相等 2．根据题里已知数和未知数间关系，引出含有未知数x
的关系，引出含有末知数x的等式。的关系，确定解答步骤，再列式计算。
注意：用方程解应用题，得数不注明单位名称；而用算术方法解应用题，得数要注明单位名
称。
今后题目中除指定解题方法以外，自己选择解题方法。
(5)练习三十三6题
订正时，引导学生分析、比较。
七布置作业
练习三十三3、4题部分题，7、8题。
八板书设计（略）



——一节美国数学课的思考
案例片段

退位减法



教师出示算式：42-27=? （提示学生借用回形针来思考和寻求这个算式的答案）

师：同学们，有谁来说说42-27表示什么? 怎么去找到答案?

生1： 我还剩多少个? 我有42个回形针，用了27个，还剩多少个回形针?

学生操作：

(1) 摆4链(每链10个)和2个回形针在桌上，把其中一链拆开，成3链与12个；

(2) 取走2链与7个回形针；

(3) 数一数剩下多少个，并且决定剩下的要排成一链加5个或是15个。

生2： 我比别人多几个? 我有42个回形针，金吉有27个回形针，我比金吉多几个回
形针?

学生操作：

(1) 摆4链和2个回形针在桌上；

(2) 再摆2链与7个回形针在桌上；

(3) 为了使42个与27能互相配合计算，42里面要有一链被拆散；

(4) 拆散42中的一链，回形针成为3链与12个；

(5) 两组对齐后，各取走7个单独的回形针；

(6) 两组对齐后，各取走2个链的回形针；

(7) 数一数，我比金吉多了一链加5个或单独15个回形针。

生3： 她还需要多少个? 克拉蒂有27个回形针，她需要42个回形针，她还需要多少
个回形针?

学生操作：

(1) 摆4链和2个回形针在桌上；

(2) 摆2链和7个回形针在桌上；

(3) 为了使42能与27个配合，42里面的一链必须拆散；

(4) 拆散42中的一链，成3链和12个；

(5) 将两组中的链和单个的回形针配对；

(6) 数一数，克拉蒂还需要一链加5个或单独15个回形针。

．．．．．．

【案例反思】

一、计算教学应关注“算式的意义”。

“问题教学与运算教学紧密结合”是《全日 制小学数学课程标准》的一个重大变化，小学数学
教材中不再专门设置应用题的教学单元。这种变化对传 统的计算教学提出了新的挑战，由单
纯的计算技巧训练转向算式意义的理解，由低层次的“量的学习”转 向高层次的“质的学习”。

在美国的教学案例中，教师把理解退位减法的法则与解决实际问 题有机的结合在一起。启发
学生多视角的思考减法算式的意义，从“还剩多少”到“谁比谁多（少）”再 到“还需要多少”，
充分尊重了学生的生活经验。在加深算式意义理解的同时，突出了减法的实际应用价 值，提
高了学生利用所学知识解决实际问题的能力。

英国著名教育家迪恩斯认为， 学生掌握数学意义必须从他们的熟悉的环境中实现，要适合儿
童的兴趣、能力和个人的亲身经验。案例中 的美国教师巧妙的借助回形针来引导学生思考，
从学生的实际生活情境出发理解算式的意义。利用这种具 体化的学具，有效地发展了学生对
数学知识的认识和应用数学知识的能力。

二、计算教学应关注数学思维的培养。

在小学阶段，学生的思维是一个具体形象思 维和抽象逻辑思维同时获得发展的时期，处于由
具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段。皮亚杰曾指出 ，逻辑思维是儿童数学学习中的本
质要求，是儿童综合智力发展的重要途径之一，儿童要理解数学的意义 ，就必须掌握一定的
逻辑规则。然而，反思美国的教学案例，则忽视了学生思维抽象性的发展，基本停留 在具体
操作水平上，缺乏对一般计算法则的概括和提炼。因此，在计算教学中不仅要关注算式的意
义，突出计算的应用性，而且还要关注学生思维的发展，引导学生归纳出一般的计算法则，
在归纳过程 中培养学生的抽象思维能力。譬如，在美国的教学案例中，教师可以加强三次操
作过程的对比，引导学生 发现三次操作过程的相同点：即“42里面的一链必须拆散”，为学
生理解“借一当十”做好铺垫。还可 以引导学生在头脑里面想一想自己的操作过程，并用自己
的语言表述出来，帮助学生实现“实物操作”向 “算法操作”的自然过渡，从而促使学生抽象思
维能力的发展。

三、计算教学应关注数学思维策略的发展。

通过计算教学可以逐步发展学生的数学 思维，同时也可以促进学生数学思维策略的形成。美
国教师的教学就关注了学生“比较策略”和“相等策 略”的发展。例如，学生在解决“我比别人
多几个”时，体验了一种比较的数学思维策略，加深了学生对 减法意义的理解，渗透了一种“联
系”的数学思想，产生“不把相关量联系起来就无法解决问题”的意识 。再如，学生在解决“她
还需要多少个”时，体验了一种“相等”的数学思维策略，领悟了“通过调整使 两个集合相等”
的方法，体会到集合之间的一一对应的数学思想。













教学目标
（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标 准方程，也能根据
圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径．
（2）掌握圆的一般方 程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一
般方程之间的互化．
（3 ）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之
间的互化，能应用圆的 参数方程解决有关的简单问题．
（4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线．
（5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法．


教学建议
教材分析
（1）知识结构

（2）重点、难点分析
①本 节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求圆的
方程，用圆的方程解决 相关问题．
②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用．

教法建议
（1）圆是最简单的曲线．这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之 后，学
习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备．同时，有关圆的
问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆
锥曲线问题 的解决提供了基本的思想方法．因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单
元的知识和方法．
（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中
应多总结．
（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过
的解 析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运
算过程的意识．
（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题．建议适当选择一些内容供学生研
究． 例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题．类似的还有
圆系方程等问题．

教学设计示例
圆的一般方程
教学目标：
（1）掌握圆的一般方程及其特点．
（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．
（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程．
（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法．
教学重点：（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径．
（2）用待定系数法求圆的方程．
教学难点：圆的一般方程特点的研究．
教学用具：计算机．
教学方法：启发引导法，讨论法．
教学过程（）：
【引入】
前边已经学过了圆的标准方程

把它展开得

任何圆的方程都可以通过展开化成形如
①
的方程
【问题1】
形如①的方程的曲线是否都是圆？
师生共同讨论分析：
如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的．我们把它再写成原来
的形式不就可以看 出来了吗？运用配方法，得
②
显然②是不是圆方程与 是什么样的数密切相关，具体如下：
（1）当 时，②表示以 为圆心、以 为半径的圆；
（2）当 时，②表示一个点 ；
（3）当 时，②不表示任何曲线．
总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示．
圆的一般方程的定义：
当 时，①表示以 为圆心、以 为半径的圆，
此时①称作圆的一般方程．
即称形如 的方程为圆的一般方程．
【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同．
（1） 和 的系数相同，都不为0．
（2）没有形如 的二次项．
圆的一般方程与一般的二元二次方程
③
相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件．
圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：
（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然．
（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．
【实例分析】
例1：下列方程各表示什么图形．
（1） ；
（2） ；
（3） ．
学生演算并回答
（1）表示点（0，0）；
（2）配方得 ，表示以 为圆心，3为半径的圆；
（3）配方得 ，当 、 同时为0时，表示原点（0，0）；当 、 不同时为0时，表示以 为
圆心， 为半径的圆．
例2：求过三点 ， ， 的圆的方程，并求出圆心坐标和半径．
分析：由于学习了 圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也
可以用一般方程求解．
解：设圆的方程为

因为 、 、 三点在圆上，则有

解得： ， ，
所求圆的方程为

可化为

圆心为 ，半径为5．
请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别．
【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：
（1）求圆的方程多用待定系数法．其步骤 为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；
根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数， 写出方程．
（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程．一般地，易求圆心和半径时，选用标准
方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程．
下面再看一个问题：
例3： 经过点 作圆 的割线，交圆 于 、 两点，求线段 的中点 的轨迹．
解：圆 的方程可化为 ，其圆心为 ，半径为2．设 是轨迹上任意一点．
∵
∴
即

化简得

点 在曲线上，并且曲线为圆 内部的一段圆弧．
【练习巩固】
（1）方程 表示的曲线是以 为圆心，4为半径的圆．求 、 、 的值．（结果为4，－6，
－3）
（2）求经过三点 、 、 的圆的方程．
分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得圆的方程为 ．
（3）课本第79页练习1，2．
【小结】师生共同总结：
（1）圆的一般方程及其特点．
（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径．
（3）用待定系数法求圆的方程．
【作业】课本第82页5，6，7，8．
【板书设计】
圆的一般方程
圆的一般方程
例1：
例2：
例3：
练习：
小结：
作业：




----《倒数的认识》课堂教学实录与评析、反思





1．揭示课题

师：今天我们学习倒数的认识。(板书：倒数的认识)你们看了这个课题后，想知道什么？

生1：倒数是什么东西？

师：倒数不是什么东西，而应该是什么知识？(同学们轻轻地笑了)

生2：数怎样倒法？

生3：是不是只有分数有倒数？

师：也就是说，同学们想知道倒数的意义和有关方法。

教师板书：意义、方法。

师：倒数的意义和有关方法课本上都有，我们一看就知道了。重要的是我们在学习中要有自< br>己的发现。我相信你们。

教师板书：发现(用另一种颜色的粉笔写)。

［评析：一上课就揭示课题，开门见山，有利于在一节课的最佳时域直奔重点，突破难点。
教师 只有确立以学生为本的理念，充分了解学生的学习起点和学习疑难症结，把握学生跳动
的脉搏，才能有针 对性地下功夫。］

［反思：课始直奔主题，一是可节省教学时间，把更多的时间让给学生去 思考、去讨论。二
是对本节课的旧知识学生几乎不存在什么计算上的问题。同时，由于是借班上课，我想 降低
课始的起点，使学生产生安全的心理，全身心投入学习。］

2．初步理解倒数的意义

(1)自学课本。

师：请大家在课本上找到倒数的意义，读一读。

学生打开课本，寻找倒数的意义，用笔划词句。

(2)复述意义。

师：请同学们合上书，谁能说说什么是倒数？

生1：乘积是1……

师：看来只读一遍就要记住有一定的难度，谁再来说说？

生2：乘积是1的两个数互为倒数。

教师板书：乘积是1的两个数----

师：后面是什么，张老师忘了，谁来帮忙？

生3：互为倒数。