共振结构：基本初等函数乘积的不定积分基本初等函数乘积的不定积分-文档资料

2020年11月19日发(作者：元珑)
基本初等函数乘积的不定积分基本初等函数乘积的
不定积分

【课题论文】湖北省教育科学“十二五”规划2011年立项
课题（项目编号2011B266）
一、幂函数与指数函数乘积的不定积分
1。∫xnaxdx=ax∑ni=0(-1)i1(lna)i+1(xn)(i)+C。
二、幂函数与对数函数乘积的不定积分
2。∫xnlogaxdx=xn+1(n+1)lnalnx-1n+1+C。
三、幂函数与三角函数乘积的不定积分
3。∫xncosxdx=∑ni=0(xn)(i)(sinx)(i)+C。
4。∫xnsinxdx=-∑ni=0(xn)(i)(cosx)(i)+C。
四、幂函数与反三角函数乘积的不定积分
5。∫xnarcsinxdx=1n+1xn+1arcsinx-∫xn+11-x2dx。
6。∫xnarccosxdx=1n+1xn+1arccosx+∫xn+11-x2dx。
其中：In+1=∫xn+11-x2dx(令x=sint可
得)=-xn1-x2n+1+nn+1 In-1,…,
五、指数函数与对数函数乘积的不定积分
7。
∫axlo gbxdx=1lnbax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(lnx)(i)+C。
六、指数函数与三角函数乘积的不定积分
8。∫eaxcosbxdx=1a2+b2eax(bsinbx+acosbx)+C。
9。∫eaxsinbxdx=1a2+b2eax(bsinbx-acosbx)+C。
七、指数函数与反三角函数乘积的不定积分
10。
∫axarcsinbxdx=ax∑ ∞i=0(-1)i1(lna)i+1(arcsinbx)(i)+C。
11。
∫a xarccosbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(arccosbx)(i)+C。
八、对数函数与三角函数乘积的不定积分
12。∫cosbxlnxdx=∑∞i=01bi+1(sinbx)(i)(lnx)(i)+C。
13。∫sinbxlnxdx=-∑∞i=01bi+1(cosbx)(i)(lnx)(i)+C。
九、对数函数与反三角函数乘积的不定积分
14。
∫arcsinxlnx dx=(lnx-1)(xarcsinx+1-x2)-ln1-1-x2x-1-x2+C。
15。
∫arccosxlnxdx=(lnx-1)(xarccosx-1-x2)+ln1-1- x2x+1-x2+C。
十、三角函数与反三角函数乘积的不定积分
16。∫sinxarcsinxdx=-cosxarcsinx+∫cosx1-x2+C。
17。∫sinxarccosxdx=-cosxarccosx-∫cosx1-x2+C。
18。∫cosxarcsinxdx=sinxarcsinx-∫sinx1-x2+C。
19。∫cosxarccosxdx=sinxarccosx+∫sinx1-x2+C。
十一、幂函数与幂函数乘积的不定积分
20。
∫xmxndx=1m+nxm+n+c( m+n≠-1),∫xmxndx=ln|x|+c(m+n=-1)。
十二、指数函数与指数函数乘积的不定积分
21。∫axbxdx=axbxlna+lnb+C。
十三、对数函数与对数函数乘积的不定积分
22。∫logaxlogbx=1lnalnb∫ln2xdx,
∫ln2xdx=xln2x-2∫lnxdx=xln2x-2xlnx+2x+C。
十四、三角函数与三角函数乘积的不定积分
23。∫sinxsinxdx=12∫（1-cos2x)dx=12x-14sin2x+C。
24。∫sinxcosxdx=12sin22x+c。
25。∫cosxcosxdx=12∫(1+cos2x)dx=12x+14sin2x+C。
十五、反三角函数与反三角函数乘积的不定积分
26。
∫(arcsinx)2dx=x (arcsinx)2-2∫xarcsinx1-x2dx=x(arcsinx)
2+2∫arcs inxd1-x2=x(arcsinx)2+21-x2?arcsinx-2x+C。
27。
∫arcsinxarccosxdx=∫arccosxd(xarcsinx+1-x2)=arc cosx(xa
rcsinx+1-x2)-∫xarcsinx+1-x21-x2dx=arcco sx(xarcsinx+1-x
2)-x+∫arcsinxd
1-x2=arccosx(xarcsinx+1-x2)+1-x2arcsinx-2x+C。
28。
∫(arccosx)2dx=x(arccosx)2+2∫xarccosx1 -x2dx=x(arccosx)
2-2∫arccosxd1-x2=x(arccosx)2-2 1-x2arccosx+2x+C。
上面15种情况中：有11种情况（一、二、三、四、六、 九、
十一、十二、十三、十四、十五）的积分结果可以用初等函数表
示出来，有4种情况（五、 七、八、十）的积分结果不能用初等
函数表示出来。
例 求∫x3(e-x+lnx+cosx)dx。
解
∫x3(e-x+lnx+cosx )dx=e-x∑3i=0(-1)i(x3)(i)(-1)i+1+x44ln
x-14+∑3i= 0(x3)(i)(sinx)(i)=-e-x(x3+3x2+6x+6)+x44lnx-14
+ (x3-6x)sinx+(3x2-6)cosx+c。
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