数学读书卡高等数学课件：函数的连续性

2020年11月15日发(作者：毕皓)
高等数学课件：函数的连续性
1.7函数的连续性
教学目的:理解函数连续性的 概念，会判断函数的连续性。掌握连续函数的四
则运算，知道反函数及复合函数的连续性，掌握初等函数 的连续性, 知道间断点的
概念及分类，会判断其类型。
教学重点:函数连续性的概念, 连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数
的连续性. 教学内容:
1.6.1函数的连续性
1 函数在一点的连续性
xUx()xx定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，自变量在点处有增量
yfx,()000
，相应地函数值的增量 ,x
,,，,,yfxxfx()() 00
xx如果，就称函数fx()在点处连续，称为函数fx()的连续点。
lim0,,y00,,x0
x函数fx()在点处连续还可以描述如下。 0
x Ux()设函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，如果，就称函数
lim()()fxfx,00 0xx,0
xfx()在点处连续。 0
左连续及右连续的概念。
xlim( )()fxfx,lim()()fxfx,如果，称函数fx()在点处左连续;如果，称函
000, ，xx,xx,00
x数fx()lim()lim()fxfx,在点处右连续。由于lim()f x存在的充要条件是，
因此，根0,，xx,xxxx,,000
xx据函数连续的定义有下 述结论:若函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，则
它在点处00
x连续的充分必要条件是在点处左连续且右连续。 0
2 区间上的连续函数
如 果函数在开区间上每一点都连续，我们称函数在开区间内连续，如果函数开
区间内连续，在区间的左端点 右连续，右端点左连续，就称函数在闭区间上连续。
yx,sin(,),,，,例1 证明在内连续。
x,,,,，,x(,)证明 ，当有增量时，对应的函数值的增量,x
,,xx,,,,，,,,，yxxxxsin()sin2sincos ,,22,,
,,xx,x,,sin,由于 ， cos1x，,,,222,,
,,,xxx,,所以 02sincos2,,,，,,,yxx,,222,,
45
xx当时，由夹逼准则得，因此在点处连续，由于的任 ,,y0yx,sin,,x0
意性，在内连续。 yx,sin(,),,，,
xya,例2 证明()在内连续。 (,),,，,a,0a,1
x证明 ，当有增量时，对应的函数值的增量,,,,，,x(,),x
xxxxx，,,,,,,,yaaaa(1)

x由于时，，因此 axa,1lnx,0
xxx, limlim(1)lim(ln)0,,,,,,yaaaxa000,,,,,,xxx
xxya,ya,xx因此，在点处连续，由于的任意性，在内连续。 (,),,，,
1.6.2 函数的间断点
xxx如果函数yfx,()在一点处不连续，就称函数yfx ,()在点处间断，称为函数
000
x的一个间断点。而根据函数连续的定义，函数在点处连 续必须满足以下三个
fx()yfx,()0条件:
x(1) 函数点处有定义; fx()0
2) (存在; lim()fxxx,0
(3) 。 lim()()fxfx,0xx,0
x因此，如果上述条件有一个不能满足，则就是函数fx()的间断点。 0
下面分别给出上述至少有一条不满足时，函数间断的例子。
x情形1 函数fx()点处无定义，存在或不存在 lim()fx0xx,0
sinx例3 讨论函数在处的间断情况。 y,x,0x
sinxsinxsinx在处无定义，是它的一个间断点 。但lim存在，若将
limy,x,0x,0x,0x,0xxx
补充为函数在处的函数值，即 x,0
sinx, 0x,, y, x,
,1 0x,,
则函数在处就变成连续的了。 x,0
,例4 讨论函数yx,tan在,处的间断情况。 x2
,,,,limtanxyx,tan在x处无定义，x是它的一个间断点。不存在，但,22x,2
46
。 limtanx,,,x,2
1例5 讨论函数在处的间断情况。 y,sinx,0x
1在处无定义，因此，是函数的一个间断点。时，函数值在与y,sin,1，< br>1x,0x,0x,0x
1之间无限次地振荡，因此不存在。 limsinx,0x
图1.6.2
x情形2 函数点处有定义，但不存在 fx()lim()fx0xx,0
2,xx 0,
,fxx()0 0,,例6 讨论函数 的连续情况. ,
,1 0 ，,xx,
，。该函数在的左、右极限都存在，但不相等，因此
lim()0fx,li m()1fx,x,0,，x,0x,0
不存在，是它的一个间断点。 lim()fxx,0x,0
x情形3 函数fx()在点处有定义，且存在，但。
lim()fxlim()()fxfx,00xx,xx,00
1,xxsin 0,,例7 fx(),x,
,2 0 x,,
1f(0)f(0)该函数在有定义，且x 存在(=0)，但不等于。若将改为其极限
limsinx,0x,0x值，即
1,xxsin 0,, fx(),x,1
,0 0 x,,则函数在处就变成连续的了。 x,0
xxyfx,()如果该函数在点的左、右极限都存在，则称是函数的第一类间断点;
否则00xyfx,()称是函数的第二类间断点。在第一类间断点中，若左、右极限相
等，则称该间断 点0
为函数的可去间断点，如，例3和例7中都是函数的可去间断点;若左、右极
限不相等， x,0则称该间断点为函数的跳跃间断点，如例6中的间断点是函数的跳
跃间断点。在第二类间断点 < br>xyfx,()lim()fx,,中，又有无穷间断点和振荡间断点。若，称是函数的无穷间
断 点，0xx,0
47
,1如例4中是的无穷间断点，例5中是的震荡间断点。 ,xyx,tany,sinx,02x
有些函数除了一点连续外，其他点处均间断。例如
xx, rational , fx(),,0, irrational x,
仅在处连续，其他点均间断。 x,0
1.6.3 连续函数的运算
1 函数和、差、积、商的连续性
x定理1.6.1 设函数和在点处连续，则 fx()gx()0
fx() g()0x,x，，(当时)都在处连续。 fxgx()(),fxgx()(),00gx()
根据连续函数的定义和极限运算法则，立即可以得到证明。
sinxcosxcosx因为 与在(,),,，,内均连续，根据定理1.6.1，，在其
tanx,cotx,sinxcosxs inx
定义域内都连续。
2 反函数的连续性
I定理1.6.2 设函数yfx,()在区间上单调增加(或减少)且连续，则它的反函数
x
,1xfy,()存在并且在相应的区间上单调增加(或减少)且连续。
IyyfxxI,,,{(),}yx
3 复合函数的连续性
ux,,()x定理1.6.3 如果,()x在处连续，fu()在处连续，则复合函数000

xyfxfx,,()()[()],,在处连续。 0
yfu,()ux,,()yfx,[()],对于由连续函数，复合而成的连续函数，有
，即极限符号和函数符号f可以交换顺序。
lim[()][lim()][()]fxfxfx,,,,,0xxxx,,00
,yx,例8 证明 幂函数在时连续。 x,0
,u,,lnlnxxye,证明 可以看成是由函数与ux,,ln复合而成。由于x,0yxee,,,
uye,ux,,ln时，函数连续，而函数在整个数轴上连续，因此，由复合函数的连
续性
,yx,定理，函数在时连续。 x,0
1.6.4 初等函数的连续性
基本初等函数在其定义域内是连续的。一切初等函数在其定义区间(定义域内
的区间)内
是连续的。
ln(1)x，例9 求。 limx,0x
48
11ln(1)x，xx解 limlimln(1)lnlim(1)ln1,，,，,,xxe。 ,,,xxx000x
xe,1lim.例10 求 x,0x
xey,,1,解 令 则当时， y,,，ln1.x,0，，
所以
xey,11 limlimlim1.,,,1,,,000xyyxyln1，，，yln1，y，，
xa,1limln.,a同理可证 ,0xx
x，123x，,,例11 求 lim.,,x,,21x，,,
21x，，，21x，x，,1221x，232x，,,,,limlim1,，
解 ,,,,xx,,,,2121xx，，,,,,
21x，，，21x，，，
22,,,,l imln1,，,,,,x,,2121xx，，,,,,1ln,e，，,,,eee.
lim1,lim,uxvx,,,，，，，例 12 设 xxxx,,00
lim1uxvx,，，，，，，，，vx，，xx,,，，则 xx,0
vx,,，，vxvxuxln11，,，，，，，，，，lnux，，，，uxee,,证明 ，，
1ux,1，，，，vxuxux,，,1ln11，，，，，，，，，，，，，，,e.
1
ux,，，，，lim1ln11vxuxux,，,1，，，，，，，，，，，，vx， ，，，
xx,0limuxe,，，所以 xx,0
lim1uxvx,，，，，，，，，xx,0,e. x,,注 时，上述命题也成立。
22cotxlim(13tan)，x例13 求。 ,x0
49
,解 属于型极限。由例12 得 1
22lim(13tan1)cot，,,xx22cot3xx,0 。 lim(13tan)，,,xeex,0
1fx,例14 讨论函数的连续性，若有间断点，判断其类型。 ，，x1,x1,e

解 的定义域为在其 定义区间内连续。是
xx,,0,1fx,,，,,00,11,,fx，，，，，，，，，，
的间断点，下面判断其类型。 fx，，
1fx,,,limlim. ，，1xx,,00,x1,e1所以是的第二类间断点中的无穷间断点。
x,0fx，，
1fx,,limlim0,，，1,,xx,,111,x,e1 11fx,,,limlim1. ，，1，，
xx,,11,101,x1,e所以是的第一类间断点中的跳跃间断点。 fxx,1，，
作业
1(求下列极限
ln1，ax，，lim(1) x,0x
nx，3,,(2) lim,,,,xx，1,,
1xsin(3) lim1sin，x，，,x0
1sin,x(4) lim,cosxx,2
334xx，2(8) limx,0ln12，x，，
2(指出下列函数在给定点处是否连续,若不连续，指出间断点的类型。
,sinx,0x,,(1) 于处 fx,x,0，，x,
,1, 0x,,
50
1,x,ex，,1, 0
,(3)于处 fxax,,, 0 x,0，，,
,1,1sin 0，,xxx,
xa,a3(若在处连续，则也在点连续。 fxfx，，，，
2cos, xxc当,,a5(设 其中是已知常数。试选择，使为连续函数。
bc,fxfx,，，，，,2axbxc，,, 当,
51