相遇问题公式：弧长计算练习题

2020年11月12日发(作者：史长捷)
《弧长计算》练习题
一．选择题
1．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．36
2．圆的面积为π，则60°的圆心角所对的弧长是（ ）
A． B． C． D．

3．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（ ）
A．6cm B．12cm C．2cm D．cm
4．一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（ ）
A．60° B．120° C．150° D．180°
5．在半径为1的⊙O中，弦AB=1，劣弧AB的长是（ ）
B． C． D．

6．一个扇形的圆心角为60°，弧长为2π厘米，则这个扇形的半径为（ ）
A．6厘米 B．12厘米 C．厘米 D．厘米
A．
7．已知扇形的弧长是2πcm，半径为12cm，则这个扇形的圆心角是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
二．填空题
8．圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是 cm．
9．在半径为18的圆中，120°的圆心角所对的弧长是 ．
10．已知扇形的圆心角为60°，弧长等于，则该扇形的半径是 ．
11．已知扇形的圆心角为120°，弧长是4πcm，则扇形的半径是 cm． < br>12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将△ABC绕点B顺时针方向旋转 ，使
点C落到AB的延长线上，那么点A所经过的线路长为 ．
13．如图，当半径为30cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平移的距离为
cm．
14．如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线L上，按顺时针方向在L上转动两次使
它转到三角形A″B″C″的位置，设BC=1，AC=，其中∠A=30°则定点A运动到点A″的位
置时，点A经过的路线长是 ．

第12题图 第13题图 第14题图
15．一块等边三角形的木板边长为1，将木板沿水平翻滚如图所示，那么B点从开始到结 束
所经过的路线长为 ．

第15题图 第16题图 第17题图
16．要在三角形广场ABC的 三个角处各修一个半径为2m的扇形草坪，则三个扇形弧长的和
为 ． 17．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次按A、B、C…循环，它们依次相连接．若AB=1，则曲线CDEF的长
是 ．
三．解答题（共3小题）
18．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，以OA为直径的⊙O
1
交OB于点C，
证明：
的长
=
的长
．


























28．已知：如图，以线段AB为直径作半圆O
1
，以线段AO
1
为直径作半圆O
2
，半径O
1
C交半圆
O
2
于D点．试比较与的长．



2016年11月18日卞相岳的弧长计算

参考答案与试题解析


一．选择题（共9小题）
1．（2015?葫芦岛）如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的 半径为3，∠A=45°，则的长是（ ）

A．π B．π C．π D．π
【解答】解：因为⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，
所以可得圆心角∠BOC=90°，
所以的长==π，
故选B．

2．（2014?衡阳）圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．36
【解答】解：设该扇形的半径是r．
根据弧长的公式l=，
得到：12π=，
解得 r=18，
故选：C．

3．圆的面积为π，则60°的圆心角所对的弧长是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设圆的半径为r，
∴π=πr
2
，
∴r=，
∴60°的圆心角所对的弧长是：==．
故选B．

4．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（ ）
A．6cm B．12cm C．2cm D．cm
【解答】解：根据题意得：l=，
则r==6cm，
故选A

5．（2014?自贡）一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（ ）
A．60° B．120° C．150° D．180°
【解答】解：设扇形圆心角为n°，根据弧长公式可得：=，
解得：n=120°，
故选：B．

6．已知⊙O的半径是1，△ABC内接于圆O．若∠B=34°，∠C=110°，则弧BC的长为（

）
A． B．π C．π D．π
【解答】解：由题意得，∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣34°﹣110°=36°，
则∠BOC=2∠A=72°，
则弧BC的长==π．
故选B．


7．在半径为1的⊙O中，弦AB=1，劣弧AB的长是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，∵OA=OB=AB=1，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠O=60°，
∴劣弧AB的长==，
故选C．

8．（2015秋?高密市月考）一个扇形的圆心角为60°，弧长为2π厘米，则这个扇形的半径
为（ ）
A．6厘米 B．12厘米 C．厘米 D．厘米
【解答】解：l=，
由题意得，2π=，
解得：R=6cm．
故选A．

9．（2002?温州）已知扇形的弧长是2πcm，半径为12cm，则这个扇形的圆心角是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
【解答】解：设圆心角是n度，则=2π，
解得：n=30．
故选C．

二．填空题（共16小题）
10．（2013?上海模拟）如图，在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°，BC=1，将△ABC绕点B顺
时针方向旋转，使点C落到AB的延长线上，那么点 A所经过的线路长为 ．

【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，∠B=90°﹣30°=60°，
∴旋转角是240度．
长是：=．
故答案是：．


11．（2004?四川）如图 ，当半径为30cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平移
的距离为 20π cm．

【解答】解：=20πcm．

12．（1999?湖南）已知扇形的圆心角为150°，弧长为20π厘米，则这个扇形的半径为 24
厘米．
【解答】解：根据弧长公式得：
解得r=24cm．

13．（2012?广安）如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠ A=30°．若
Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经 过的路
线的长为 （4+）π （结果用含有π的式子表示）

【解答】解：∵Rt△ABC中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；
∵Rt△ABC由现在的位置向右无滑 动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个的长，
2个的长，
∴点A经过的路线长=×3+×2=（4+）π．
故答案为：（4+）π．


14．（2002?长沙）在半径为9cm的圆中，60°的圆心角所对的弧长为 3π cm．
【解答】解：=3πcm．

15．（2015?磴口县校级模拟）一块 等边三角形的木板边长为1，将木板沿水平翻滚如图所示，
那么B点从开始到结束所经过的路线长为 π ．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°，
∴两次旋转的角度都是180°﹣60°=120°，
∴B点从开始到结束所经过的路线长=2×=π．
故答案为：π．

1 6．（2011秋?鄞州区期末）如图，正方形ABCD，曲线DP
1
P
2
P
3
P
4
P
5
…叫做“正方形的渐开线”，
其中弧D P1，弧P
1
P
2
，弧P
2
P
3
，弧P< br>3
P
4
，弧P
4
P
5
…的圆心依次按点A， B，C，D，A循环，它们
的弧长分别记为l
1
，l
2
，l
3
，l
4
，l
5
…．当AB=1时，l
2011
等 于 ．

【解答】解：∵AB=1，
∴该正边形的第一重渐开线长l
1
==，
二重渐开线长l
2
==π，
第三重渐开线长l
3
==，
…
第2011重渐开线长l
2011
==．
故答案为：．

17．（2005?嘉兴）如图ABCD是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆 心，1为半
径画弧（弧的端点分别在四边形的相邻两边上），则这4条弧长的和是 2π或6π ．

【解答】解：四边形内角和为360°，分两种情况考虑：
（i）图中阴影刚好是完整的一个半径为1的圆的周长，
则阴影部分弧长为πd=2π；
（ii）图中非阴影部分的弧长为三个圆周长，即弧长为3×2π=6π，
综上，这4条弧长的和是2π或6π．
故答案为：2π或6π

18． （2015?红河州一模）要在三角形广场ABC的三个角处各修一个半径为2m的扇形草坪，
则三个扇 形弧长的和为 2π ．

【解答】解：设△ABC的三个内角的度数分别为α、β、γ，
则α+β+γ=180°，
三个扇形的弧长和为++=2π，
故答案为：2π．

19．（2013秋?福田区校级月考）如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线 L上，按顺
时针方向在L上转动两次使它转到三角形A″B″C″的位置，设BC=1，AC=，其中∠ A=30°
则定点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线长是 + ．

【解答】解：∵在Rt△ACB中，BC=1，AC=，
∴由勾股定理得：AB=2，
∴AB=2BC，
∴∠CAB=30°，∠CBA=60°，
∴∠ABA′=120°，∠A″C″A′=90°，
l=+=+．
故答案为：+．

20．（2010春?萧山区期末）如图，四边形ABCD是正 方形，曲线DA
1
B
1
C
1
D
1
…叫做“ 正方形的
渐开线”，其中曲线DA
1
、A
1
B
1
、 B
1
C
1
、C
1
D
1
、…的圆心依次按A 、B、C、D循环，它们依次连
接．取AB=1，则曲线DA
1
B
1
…C
2
D
2
的长是 18π ．（结果保留π）

【解答 】解：曲线DA
1
B
1
…C
2
D
2
的长= ++…+=（1+2+…+8）=×36=18π．
故答案为：18π．

21 ．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD、弧DE、
弧E F的圆心依次按A、B、C…循环，它们依次相连接．若AB=1，则曲线CDEF的长是 4π ．

【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠CAD=∠DBE=∠ECF=120°，
又∵AB=1，
∴AC=1，BD=2，CE=3，
∴CD弧的长度==；
DE弧的长度==；
EF弧的长度==2π；
所以曲线CDEF的长为++2π=4π．
故答案为：4π．

22．（2015?西宁）圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是 4π cm．
【解答】解：由题意得，n=120°，R=6cm，
故可得：l==4πcm．
故答案为：4π．

23．（2016?银川校级一模）在半径为18的圆中，120°的圆心角所对的弧长是 12π ．
【解答】解：弧长是：=12π．
故答案是：12π．

24．（2014?工业园区二模）已知扇形的圆心角为60°，弧长等于，则该扇形的半径是 1 ．
【解答】解：∵扇形弧长公式为：l=，
∴=，
解得：r=1；
故答案为：1．

25．（2014?泉州质检）已知扇形的圆心角为120°，弧长是4πcm，则扇形的半径是 6 cm．
【解答】解：由扇形的弧长公式是l=，
得4π=，
解得：R=6cm．
故答案为：6．

三．解答题（共3小题）
26．如图，⊙O
1
的半径O
1
A是⊙O
2
的直径，⊙O
1
的半径O
1
C交⊙O
2
于B，和的长度有什么关系？
为什么？

【解答】解：和的长度相等．理由如下：
如图，连接BO
2
．
∵ ∠AO
2
B=2∠AO
1
B，AO
1
=2AO
2< br>，
∴的长度=π?AO
1
，的长度=?π?AO
2
，
∴的长度=的长度．


27．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，以 OA为直径的⊙O
1
交OB于点C，证明：=．

【解答】证明：连接O< br>1
C，设∠AOB=θ，⊙O
1
的半径O
1
A=r，则⊙O< br>1
的直径为2r，半径OA=2r，
∴∠AO
1
C=2∠AOC=2θ（同弧所对的圆心角等于2倍的圆周角），
∵==，
==，
∴=．


28．已知：如图，以 线段AB为直径作半圆O
1
，以线段AO
1
为直径作半圆O
2
，半径O
1
C交半圆
O
2
于D点．试比较与的长．

【解答】解：如图：连接O
2
D，
∵O
1
A：O
2
A=2：1，
∴设O
1
A=2x，O
2
A=x；
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠1=2∠2，
设∠2=y度，则∠1=2y度，
==；
==；
可见，与的长度相等．