酷跑ss神宠合成公式初中数学竞赛常用公式

2020年11月6日发(作者：曾鉴)
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初中数学竞赛常用公式
1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
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3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
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7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
9 B) _) {7 t) V
数学论坛 - 数联天地: b0 j, ]S4 x {6 j6 d a( o) V$$ @; E
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
5 k0 j: |1 Q5 O4 s! y
8 p1 ~9 @0 | a1 V, m3 }8

12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
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14 两直线平行，同旁内角互补
数学论坛 - 数联天地* . I: L E* q7 D& G

数学论坛* n: a$$ _+ ~) t#
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
6 l7 O5 N: n O) P. }# Y1
数学论坛. Y& B5 ?( E- j$$ U- p! O


19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
数联天地 q1 S9 ^ 5 E N5 _' k) X
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数学论坛 - 数联天地N: v_I, S
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
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30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
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（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
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' A, P( g7 P9 n) o# ^
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
数学论坛4 d# I1 ? s( f8 y6 O7 h

40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
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43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称
轴上
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45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直
线对称
46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形
是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
! k- B) [7 F& k* M- V5 @

50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°
51推论 任意多边的外角和等于360°
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52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
A5 y. B5 G- s0 [' z
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
数学论坛4 Y X6 T* ` H3 M

# ~( j p- d
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
数学论坛 - 数联天地; T P: w7 l& p, Y- W! H; X& ~
数学论坛: i }' d. m7 `) l


62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2
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3 H4 `2 _. j+ f; $$ S H$$ J


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67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
0 v$$ S4 U) X7 S$$ C$$ n-

68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组
对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形
关于这一点对称
4 a* a* a& H5 Y) M, S
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
数联天地6 h' v3 g8 F! j+ cR0
数学论坛% F k. s& ^* v& m


数学论坛& s$$ O7 y: b0
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上
截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
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80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
数联天地. C1 G% T; _2 P: k8 R.
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d
数
84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d
85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+… +m)／(b+d+…+n)=a
／b
86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
88 定理 如果一条 直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这
条直线平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形
三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与
原三角形相似
3 _# b+ E: l; B8 q3

0 S$$ k$$ [Y3 F a) l' M2 J
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）
数学论坛 - 数联天地0 g' @( o# B e: X7 T
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95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角
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边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
4 x$$ j) e9 g0 p+ }; x* # S+ ~

8 N8 G# h l% V) b1 L
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
1 Z3 p% Aq7
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
数学论坛 - 数联天地+ L i+ p6 Z

数学论坛: + o: [ v3 B0 t7 U
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
数学论坛 - 数联天地1 c0 [& h' N 6 n K- |

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
数学论坛1 m3 ^: }2 s1 f0 D

' _( U% H5 x% @0 W* S% |
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
数学论坛) Y5 Z. N6 M; y-
111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
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③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
数学论坛% v0 T: H0 a* e, p!

114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心
距相等
115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量
相 等那么它们所对应的其余各组量都相等
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数学论坛 - 数联天地. t3 K0 M4 `; d6 ?
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
数
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
121①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
数学论坛 f* e- s6 k.
数学论坛 - 数联天地 v% C3 G; W4 M. Z; @1 d& g U
数学论坛 - 数联天地# `; i' ^4 j3 d



122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
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124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
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125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
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126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平
分两条切线的夹角
数学论坛8 m0 X7 e& R! ?8 k+ c+ Y

, k& K# Z' f* m.
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
数学论坛- w4 q2 `3 z1 x$$ L1 E
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
`R+ a Q' E5 D
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
数学论坛4 ?* K# `- t T
130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
$$ h7
131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段
长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相
等
数联天地( O0 o2 i7 h1 g* u0 r. _+ `

134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
数学论坛 - 数联天地3 a# z2 X) L W* ] @
数学论坛 - 数联天地' t, h% Y& g& ^$$ ?0 Y1 ^+ s9 J: e$$ ^% c


④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
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⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
数学论坛 -数联天地& Q k* i* I. _$$ u
数联天地6 o# P% J. ?. ~- K2 R( w


140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长
142正三角形面积√3a／4 a表示边长
数学论坛 - 数联天地5 A d; ?
2 U {4 m! y3 X


143如果在一个顶点周围有k个正n 边形的角，由于这些角的和应为360°，因此
k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2） (k-2)=4
144弧长计算公式：L=n兀R／180
4 a3 ~0 @ M q. B4 p7

数学论坛9 T9 FE% t; a2 d: }4 @
145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

三角函数公式

两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB- sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
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tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)
数联天地9 Y6 3 f$$ n7 V6 [1 8 F* ]4 z;

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)(ctgB-ctgA)
数学论坛 - 数联天地 L& W5 ~) C, Z- E: v$$ l; P

倍角公式
tan2A=2tanA(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
. E. D: S, I0 c' s' V# n
数学论坛 - 数联天地% L8 u, @$$ j; T& S


数联天地# l' T( O1 u! P! I
半角公式
sin(A2)=√((1-cosA)2) sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2) cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA)) tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA)) ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))
数学论坛4 D1 ' w& G+ `6 m
数联天地0 j* }5 ^5 E% N& Y, B


和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2 cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2)
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB
数联天地4 O& b1 {6 r5 u$$ l2 r
9 c. j1 G+ `4


数学论坛6 @% _6 G+ i# U6 a# I. @: [5 ?
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)6
数联天地% p0 o

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)24
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3

一些平面几何的著名定理
1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）
2、射影定理（欧几里得定理）
3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分
4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点
5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点
8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL














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9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角 形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂
线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个 圆上，
11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）
上
12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆）
圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这 四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，
我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)
(s-c)ss为三角形周长的一半
14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点
15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+
BP2)
16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×A B2+m×
AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
17、波罗摩及多定理：圆 内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和
对角线交点E的直线垂直于CD
18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位
于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上
19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC
20、以 任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰
△BDC、△CEA 、△AFB，则△DEF是正三角形，
21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三 角形，则由线段AD、BE、CF的
重心构成的三角形也是正三角形。
22、爱尔可斯 定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、
△BEH、△CFI的 重心构成的三角形是正三角形。
23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其 延长线和一条不经过它们任一
顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BPPC×CQQA×ARRB=1
24、梅涅劳斯定理的逆定理：（略）
25、 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的
平分线交边AB于R ，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。
26、梅涅劳斯定理的应用定理2： 过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的
切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P 、Q、R，则P、Q、R三点共线
27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三 角形的边或它们的延长线上的
一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交 于点P、Q、R，则
BPPC×CQQA×ARRB()=1.
28、塞瓦定理的应用 定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分
别是D、E，又设BE和CD交于S ，则AS一定过边BC的中心M
29、塞瓦定理的逆定理：（略）
30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点
31、塞瓦定理的逆定理的 应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切
于点R、S、T，则AR、BS、CT 交于一点。
32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延 长线作
垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线）
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33、西摩松定理的逆定理：（略）
34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点
P的西摩松线 通过线段PH的中心。
35、史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边B C、CA、AB的对
称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上。这条直线被叫做点 P关于
△ABC的镜象线。
36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为 P、Q、R，则P、Q、R关于△
ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod 2∏).
37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、 Q、R
关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点
38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C 、P、Q、
R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。
39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩
松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC
的西摩松线 交于一点
40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设 垂足分
别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N 六
点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。
41、 关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松
线互相垂直，其交点 在九点圆上。
42、关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点 作三角
形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。
43、 卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别
成同向的等角的 直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。
44、奥倍 尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的
外接圆的交点分别是L、 M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC
的三边BC、CA、AB或其延 长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线
45、清宫定理：设P、Q为△ABC的 外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边
BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时， QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其
延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线
46、他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线
的 交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和
其延长线的 两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点）
47、朗古来定理：在同 一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取
一点P，作P点的关于这4个三角 形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个
垂足在同一条直线上。
48、从三角形各边的中点，向这条边所的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交
于该三角形的九点圆的圆心。
49、一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切
线所引的垂线都交于一点。
50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n -2个点的重心向余下两点的连
线所引的垂线共点。
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51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于
四 个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线
上。这条 直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。
52、康托尔定理3：一个圆周上有A、 B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点
的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于 四边形ABCD的康托尔线、M、L两点
的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N 、L三点关于四边形ABCD
的康托尔点。
53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B 、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、
L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、E ABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这
条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E 的康托尔线。
54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。
55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，
则这样的三个 交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。
56、牛顿定理1：四边形两 条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，
三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿 线。
57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。
58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。
59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A
和
D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共
线。
60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C
和F，则这三线共点。
60、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、B C和EF、CD和FA
的（或延长线的）交点共线