表格中加法公式怎么输幂函数指数函数和对数函数对数及其运算法则教案

2020年11月4日发(作者：尚友)
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
教学目标
1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．
2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程．
3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题．
教学重点与难点
重点是对数定义、 对数的性质和运算法则．难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则
的推导．
教学过程设计
师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？
生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）20=1.07220， 所以20年后国民生产
总值是原来的1.07220倍．
资料个人收集整理，勿做商业用途 < br>师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指< br>数问题．
师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产 总值是原来的4倍？
师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程
1.072x=4．
我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问 题的逆问题，即本节的对数问题．
师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N， 就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的
对数，记作
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logaN=b，
其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式．
师：请同学谈谈对对数这个定义的认识．
生：对数式logaN实际上就是指数式中的指数b的一种新的记法．
生：对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．
（此刻并不奢望学生能说出什么深刻认识，只是给他们自己一个去思维认识对数这个定义的机会．） < br>师：他们说得都非常好．实际上ab=N这个式子涉及到了三个量a，b，N，由方程的观点可得“知二求 一”．知
道a，b可求N，即前面学过的指数运算；知道b（为自然数时），N可求a，即初中学过的开
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记作logaN=b．因此，对数是一 种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首
先要学习它的记法，对数运算的 记法为logaN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法．
资
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师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识 并记忆对数这个概念，请
同学们填写下列表格．（打出幻灯）
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指数式
对数式
式子
ab=N
logaN=b
名称
a

b

N

练习1 把下列指数式写成对数形式：
1 7

练习2 把下列对数形式写成指数形式：

练习3 求下列各式的值：

（两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三．）
因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．

因为53=125，所以以5为底125的对数等于3．
（注意纠正学生的错误读法和写法．）
师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？
生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R．
师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）
生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数．
师：要特别强调的是：零和负数没有对数．
师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？
（根据本班情况决定是否设置此问．）
生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在， 如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，
b不存在，如log02不存在；当N为 0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N
不为1时，b不存在， 如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因
此，我 们规定：a＞0，a≠1．
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（此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从ab=N出发回答较为简单．）
师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数．
师：（板书）对数logaN （a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自
然对数，记 作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……．
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练习4 计算下列对数：
lg10000，lg0.01，2log24，3log327 ，10lg105，5log51125．
师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．
生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4．
生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27．
生：10lg105=105．
生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125．
师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式．
师：（板书）
alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）
（再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．）
（学生讨论，并口答．）
生：（板书）
证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N．
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师：你是根据什么证明对数恒等式的？
生：根据对数定义．
师 ：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知
识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，
从而转化成对数等式，再进行证明．
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师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件．
生：a＞0，a≠1，N＞0．
师：接下来观察式子结构特点并加以记忆．
（给学生一分钟时间．）
师：（板书）2log28=？2log42=？
生：2log28=8；2log42=2．
师：第2题对吗？错在哪儿？


师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？
（经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式．）
生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式
alogaN=N．
（师用红笔在两处a上重重地描写．）
师：最后说说对数恒等式的作用是什么？
生：化简！
师：请打开书74页，做练习4．
（生口答．略）
师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质．
师：负数和零有没有对数？并说明理由．
生：负数和零没有对数．因为定义中规定a＞0，所 以不论b是什么数，都有ab＞0，这就是说，不论b是
什么数，N=ab永远是正数．因此，由等式b =logaN可以看到，负数和零没有对数．
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师：非常好．由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的知识来研究对数．
师：（板书）性质1：负数和零没有对数．
师：1的对数是多少？
生：因为a0=1（a＞0，a≠1），所以根据对数定义可得1的对数是零．
师：（板书）1的对数是零．
师；底数的对数等于多少？
生：因为a1=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于1．
师：（板书）底数的对数等于1．
师：给一分钟时间，请牢记这三条性质．
师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下．
生：同底数幂相乘，底数不变， 指数相加，即am·an=am+n．同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am
÷an=am-n． 还有（am）n=amn；
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师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书）
（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和．即
loga（MN）=logaM+logaN．
（请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．）
师：（分析）我们要证明这个运算 法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义
和性质，显然性质不能证明此式 ，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算
法则加以证明，因此，我们 首先要把对数等式转化为指数等式．
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师：（板书）设logaM=p，logaN=q，由对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以
M·N=ap·aq=ap+q，
所以 loga（M·N）=p+q=logaM+logaN．
即 loga（MN）=logaM+logaN．

师：这个法则的适用条件是什么？
生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆．
生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．
师：非常好．例如，（板书）log2（32×64）=？
生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11．
师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用——降级运算．它使计算简化．
师：（板书）log62+log63=？
生：log62+log63=log6（2×3）=1．
师：正确．由此例我们又得到什么启示？
生：这是法则从右往左的使用．是升级运算． 师：对．对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的作用！
师：（板书）（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．

师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习．
（给学生三分钟讨论时间．）
生：（板书）设logaM=p，logaN=q．根据对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以


师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的．大家再想一想， 在证明法则（2）时，我
们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论．那么，我们是否还有其 它证明方法？
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生：（板书）

师：非常漂亮．他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2）．他的证法要比书上的更简单．这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思想不但在
学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛．
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师：法则（2）的适用条件是什么？
生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆．
生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．


师：（板书）lg20-lg2=？

师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法．
师：（板书）
例1 计算：

生：（板书）
解
（1）log93+log927=log93×27=log981=2；

（3）log2（4+4）=log24+log24=4；

（由学生判对错，并说明理由．）
生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则．（板书）

生：第（3）题错！法则（1）的内容是：


生：第（4）题错！法则（2）的内容是：


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师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时要特别注意什么？
生：首先，在同 底的情况下才能从右往左运用法则（1）、（2）；其次，只有在正因数的积或两个正数的商的
对数的情 况下，才能从左往右运用运算法则（1）、（2）．
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师：（板书）（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即
loga（N）n=n·logaN．
师：（分析）欲证loga（N）n=n·logaN，只需证
Nn=an·logaN=（a·logaN）n，
只需证 N=alogaN．

由对数恒等式，这是显然成立的．
师：（板书）设N＞0，根据对数恒等式有
N=alogaN．
所以 Nn=（alogaN）n=an·logaN．

根据对数的定义有
loga（N）n=n·logaN．
师：法则（3）的适用条件是什么？
生：a＞0，a≠1；N＞0．
师：观察式子结构特点并加以记忆．
生：从左往右仍然是降级运算．
师：例如，（板书）log332=log525=5log52．练习计算（log232）3．
（找一好一差两名学生板书．）
错解：（log232）3=log2（25）3=log2215=15．
正确解：（log232）3=（log225）3=（5log22）3=53=125．
（师再次提醒学生注意要准确记忆公式．）
师：（板书）（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即



师：法则（4）的适用条件是什么？
生：a＞0，a≠1；N＞0．
师 ：法则（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆．即logaNα=αlogaN（α∈R）．（师板书）
例2 用logax，logay，logaz表示下列各式：

（生板书）
解

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（注意（3）的第二步不要丢掉小括号．）
（师板书）
例3 计算：

（生板书）
解
（1）log2（47×25）=log247+log225=7 log24+5log22=7×2+5×1=19．
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师：请大家在笔记本上小结这节课的主要内容．
作业 课本P78．习题第1，2，3，4题．
课堂教学设计说明
本节的教学过程是：
1．从实际问题引入，给出对数定义；
2．深刻认识对数定义；
3．对数式与指数式的互化；
4．对数恒等式alogaN=N；
5．对数的性质；
6．对数运算法则；
7．例题·小结·作业．
通过本 节课，应使学生明确如何学习一种运算（从定义、记法、性质、法则等方面来研究）；如何学习公式
或法 则（从公式推导，适用条件，结构特点和记忆以及公式作用四方面来研究）．针对高中数学内容多、密度大、进度快的特点，应使学生尽早地掌握适应高中数学的学习方法．
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