高一生物-名句经典励志
复数的三角形式及乘除运算
一、主要内容:
复数的三角形式,模与辐角的概念及几何意义,用三角形式进行复数乘除运算及几何意义.
二、学习要求:
1.熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化,会求复数的模、辐角及辐角主值.
2.深刻理解复数三角形式的结构特征,熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.
3.能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围(最值).
4.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算,并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题.
5.注意多种解题方法的灵活运用,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.
三、重点:
复数的代数形式向三角形式的转换,复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.
四、学习建议:
1.复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁,相比之下 ,代数形式在这些方面显得
有点力不从心,因此,做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.
前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示,即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表 示,复数Z既可以用复
平面上的点Z(a,b)表示,也可以用复平面上的向量来表示.现在
需 要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和辐角来表示,设其模为r,辐角为θ,则Z=r(cosθ+isin θ)(r≥0).
既然这三种方式都可以表示同一个复数,它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.
1
代数形式r=三角形式
Z=a+bi(a,b∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)
复数三角形式的结构特征是:模非负,角相同,余 弦前,加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数
Z的一个辐角,不一定是辐角主值.
例1.下列各式是否是三角形式,若不是,化为三角形式:
(1) Z
1
=-2(cosθ+isinθ) (2) Z
2
=cosθ- isinθ (3) Z
3
=-sinθ+icosθ
(4) Z
4
=-sinθ-icosθ (5) Z
5
=cos60°+isin30°
分析:由三角形式的结构特征,确定判 断的依据和变形的方向.变形时,可按照如下步骤进行:首先确定复数
Z对应点所在象限(此处可假定θ 为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.此步骤可简称
为“定点→定名→定角”. 这样,使变形的方向更具操作性,能有效提高解决此类问题的正确率.
解:(1)由“模非负”知,不是三角形式,需做变换:Z
1
=Z(-cosθ-isinθ)
复平面上Z
1
(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角),余 弦“-cosθ”已在前,不需再变换三角函数名称,
因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限 .∴Z
1
=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)]
(2)由“加号连”知,不是三角形式
复平面上点Z
2
(cos θ,-sinθ)在第四象限(假定θ为锐角),不需改变三角函数名称,可用诱导公式
“2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限.
∴ Z
2
=cosθ- isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z
2
=cosθ- isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ)
考虑到复数辐角的不唯一性,复数的三角形式也不唯一.
(3)由“余弦前”知,不是三角形式
2
复平面上点Z
3
(-sinθ,cosθ)在第二象限( 假定θ为锐角),需改变三角函数名称,可用诱导公式
“
∴
Z
3
(-sinθ,cosθ)=cos(
+θ”将θ变换到第二象限.
+θ)+isin(
+θ)
3
同理(4)
Z
4
=-sinθ-icosθ=cos(
(5)
Z
5
=cos60°+isin30°=
π-θ)
4
π-θ)+isin(
+
i=
·
+isin
5
(1+i)=
(cos
)=
(cos+isin
)
小结:对这类与三角形式很相似的式子,如何将之变换为三角形式,对于初学者来讲是个难点.有了 “定点→
定名→定角”这样一个可操作的步骤,应能够很好地解决此类问题.
例2.求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值.
分析:式子中多3个“1”,只有将“1”消去,才能更接近三角形式,因此可利用三角公式消“1”.
解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos
2
6
-1)+2i·sin
cos
(cos
)........(1)
7
=2cos
+isin
∵ π<θ<2π ∴
cos
∴(1)式右端
=-2cos
<
<0
(-cos
8
<π, ∴
-isin
)=-2cos
)]+isin(π+
9
)]
[cos(π+
∴ r=-2cos
ArgZ=π+
,
+2kπ(k∈Z)
10
∵
argZ=π+
<
π<π+
.
11
<π
<2π,
∴
∴
小结:(1)式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为
r=2cos, argZ=或
ArgZ=
错误之处在于他们没有去考虑θ角范围,因此一定要用“模非 负,角相同,余弦前,加号连”来判断是否为
三角形式.看了这道例题,你一定能解决如Z
1< br>=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π) ,Z
2
=1+cosθ- isinθ(π<θ<2π)等类似问题.
12
例3.将
Z=(π<θ<3π)化
为三角形式,并求其辐角主值.
分析:三角形中只有正余弦,因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化,再向三角形式转化.
解:==
=
13
=cos2θ+isin2θ
∵π<θ<3π, ∴
<2θ<6π,
∴π<2θ-4π<2π,∴ argZ=2θ-4π
小结:掌握三角变形是解决这类问题的根 本.但在此之前的解题方向一定要明确,即要分析式子结构.比较其
与三角形式的异同,从而决定变形的 方向,采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思,并能由此及彼,
举一反三,达到熟练解决一类 问题的目的,如1-itgθ, tgθ+i, i-ctgθ等.
14
2.复数Z的模|Z|的几何意义是:复平面上点Z到原点距离,复数模|Z
1
-Z
2
|的几何意义是:复平面上两点Z
1
,
Z
2
之间距离.辐角 几何意义是:以x轴正半轴为角始边,以向量
在射线为终边的角记为ArgZ.在[0,2π)范围内的 辐角称辐角主值,记为argZ.
要求学生不仅要理解以上所说各几何意义,还要运用几何意义去解决相关问题.
例4.若Z∈c,|Z-2|≤1,求|Z|的最大,最小值和argZ范围.
解:法一,数形结合
由|Z-2|≤1,知Z的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心,1为半径 的圆面(包括圆周),
|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.
显然1≤|Z|≤3, ∴|Z|
max
=3, |Z|
min
=1,
另设圆的两条切线为OA,OB,A,B为切点,由|CA|=1,|OC|=2知
15
所
∠AOC=∠BOC=
[0,]∪[
法二:用代数形式求解|Z|的最大,最小值,设Z=x+yi(x,y∈R)
则由|Z-2|≤1得(x-2)
2
+y
2
≤1,
16
argZ∈
π,2π)
,∴
∴
|Z|=≤=
,
∵ (x-2)
2
+y
2
≤1, ∴(x-2)
2
≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3,
∴ 1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3.
小结:在一题多解的基础上,分析比较各种方法的异同,如何做好方法的选择.各种方法的本质和优 势,通
过分析与比较都一目了然.
例5.复数Z满足arg(Z+3)=
17
π,
求|z+6|+|z-3i|最小值.
分析:由两个复数 模的和取最小值,联想到一个点到两个定点距离和的最小值,将之转化为几何问题来解决
应比较简便.
解法一:由arg(Z+3)=π,知Z+3的轨迹是一条射线OA,∠
xOA=π,而
|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|
将B(-3,0)与C(3,3)连结,BC连线与OA交点为D,取Z+3为D点,表示复数时,
18
|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3
=3
.
19
, ∴ 所求最小值
法二:由arg(Z+3)=π, 知Z+3的轨迹是射线OA,则Z轨迹
应是平行于OA,且过点(-3,0)的射线BM,
∴ |Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点P(-6,0)和点Q(0,3)距离之和,连结PQ与 射线BM交于点N,取E
为N点表示复数时,
|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3,
∴所求最小值=3
20
.
小结:两种方法的本质相同,都是将数学式子利用其几何意义转化成 几何问题进行解决.如果纯粹用代数方
法求解,难度会很大.对有关最值问题,尤其是模(距离)和辐角 主值最值问题,用数形结合方法显然较为简便.
例6.已知|Z-2i|≤1,求arg(Z-4i)最大值.
解:∵|Z-2i|≤1,∴点 Z轨迹是以(0,2)为圆心,1为半径的圆面,在其上任取一点Z,连Z与点(0,4)
得一以(0, 4)为起点,Z为终点的向量,将起点平移到原点,则θ为其对应的辐角主值,显然arg(Z-4i)最大值为π.
3.两个复数相乘,积的模等于模的积,辐角为两辐角之和,其几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.
两个复数相除,商的模等于模的商(除数不为零),辐角为两辐角之差,其几何意义同乘法.
由复数三角形式乘除运算的几何意义,可解决向量或图形的旋转问题,如等腰、等边三角形、直角三 角形,
平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示.
复数三角形式较之 代数形式,在乘除运算中非常方便,可顺利解决多项相乘(乘方),相除及乘除混合运
算.
21
例7.若
分别表示复数Z
1
=1+2
Z
2
=7+
与
i,
i, 求∠Z
2
OZ
1
并判断ΔOZ1
Z
2
的形状.
22
解:欲求∠Z
2
OZ
1
,可计算
=
=
23
=
=
Z
2
OZ
1
=
=
24
且
∴∠
,
由余弦定理,设|OZ
1
|=k,
|OZ
2
|=2k(k>0)| Z
1
Z
2
|
2
=k
2
+(2k)
2
-2k·2k·cos
=3k
2
∴ |Z
1
Z
2
|=k,
而k
2
+(k)2
=(2k)
2
,∴ΔOZ
1
Z
2
为有一锐角 为60°的直角三角形.
小结:此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题,十分方便.
25
例8.已知直线l过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,若点A(-1,0) 和B(0,8)关于
l的对称点都在C上,求直线l与抛物线C的方程.
解:如图,建立复平面x0y,设向量
x
1
+y
1
i, x
2
+y
2
i.
由对称性,|OA'|=|OA|=1, |OB'|=|OB|=8,
∴ x
2
+y
2
i=(x
1
+y
1
i)8 i=-8y
1
+8x
1
i
、
对应复数分别为
26
∴
y
2
2
=2px
2
,
∴ x
1
=
设抛物线方程为y
2=2px(p>0)则有y
1
2
=2px
1
,
, y
1
2
=p
2
, 又|OA'|=1,
27
∴(
p=
)
2
+p
2
=1,
或-
28
∴
(舍)
∴抛物线方程为y
2
=x,直线方程
为:y=x.
小结:对于解析几何的许多问题,若能借助于复数的向量来表示,常常有意想不到的功效.尤其涉及 到特殊
位置,特殊关系的图形时,尤显其效.
五、易错点
1.并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为0,辐角主值不确定.
2.注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角,而argZ表示复数Z的辐角主值.
ArgZ=argZ+2kπ(k∈Z),argZ∈[0,2π), 辐角主值是[0,2π)内的辐角,但辐角不一定是辐角主值.
3.复数三角形式的四个要求: 模非负,角相同,余弦前,加号连,缺一不可.任何一个不满足,就不是三角
形式.
4.注意复数三角形式的乘除运算中,向量旋转的方向.
六、练习
1.写出下列复数的三角形式
29
(1) ai(a∈R) (2) tgθ+i(
-
2.设
Z=(-3
N,当Z∈R时,n为何值?
sinθ-icosθ)
+3
30
<θ<π) (3)
i)
n
, n∈
(
3.在复平面上A,B表示复数为α,β( α≠0),且β=(1+i)α,判断ΔAOB形状,并证明
S
ΔAOB
=
参考答案:
1.(1)ai=
|d|
2
.
31
(2)tgθ+i(
=-
(
[cos(
π-θ)]
32
<θ<π)
π-θ)+isin
(3)
-
os(
2.n为4的正整数倍
3.法一:∵α≠0,β=(1+i)α
∴
(sinθ-icosθ)=
+θ)+isin(
=1+i=
33
[c
+θ)]
(cos
AOB=
∵
+isin
,
分别表示复数α,β-α,
34
), ∴∠
由β-α=αi,得
∴∠OAB=90°,
=i=cos
,
ΔAOB为等腰直角三角形.
35
+isin
∴
法二:∵|
|
|
|=|α|,
|=|β-α|=|αi|=|α|, ∴
|=|
36
|
又
|
|,|
2|α|
2
=|
|
2
+|
|
2
37
|α
|
2
=|α|
2
+|α|
2
=
|=|β|=|(1+ i)α|=
∴ΔAOB为等腰直角三角形,∴
S
ΔAOB
=
选择题
1.若复数z=(a+i)
2
的辐角是
|
|=
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38
|·|
|α|
2
.
a的值是( ),则实数
A、1
-
B、-1 C、-
39
D、
2.已知关于x的实系数方程x+x+p=0的两虚根a, b满足|a-b|=3, 则p的值是( )
2
A、-2 B、-
D、1
40
C、
3.设π<θ<
A、2π-3θ
4.复数
cos
B、3θ-2π
,则复数
的辐角主值为( )
C、3θ D、3θ-π
+isin
41
经过n
次乘方后,所得的幂等于它的共轭复数,则n的值等于( )
A、3 B、12 C、6k-1(k∈Z) D、6k+1(k∈Z)
5.z为复数,
(
A、直线
)
|z-3|
=(
)
-1
的图形是(< br>B、半实轴长为1的双曲线
42
)
)
|z+3|
(
C、焦点在x轴,半实轴长为
不能确定
答案:1、B 2、C 3、B 4、C
解析:
答案与解析
、C
43
D、的双曲线右支
5
1.∵z=(a+i)
2
=(a
2
-1)+2ai,
,∴a=-1,本题选B.
44
argz=,∴
2.求根a,b=
∴ 4p-1=9, p=
(Δ=1-4p<0) ∵
|=3,
,故本题应选C.
45
|a-b|=|
3.
+isin3θ.
=
46
=cos3
θ
∵ π<θ<
<
<
,∴3π<3θ
<3θ-2π
B.
47
,∴π
,故本题应选
4.由题意,得
(cos
s
+isin
+isin
-isin
48
)
n
=co
=cos
由复数相等的定义 ,得
解得
-
=2kπ
(k∈Z),∴n=6k-1.故本题应选C.
49
,
5.依题意,有 |z-3|=|z+3|-1,∴ |z+3|-|z-3|=1.由双曲线定义,此方程表示焦点(±3,0),2a=1,
a=的双曲线右支,故本题应选C.
复数三角形式的运算·疑难问题解析
1.复数的模与辐角:
(1)复数模的性质:|z
1
·z
2
|=|z
1
|·|z
2
|
(2)辐角的性质:积的辐角等于各因数辐角的和.
商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
一个复数n次幂(n∈N)的辐角等于这个复数辐角的n倍.
注意:(1)辐角与辐角主值的区别,特别是解题过程中的不同点.如下面两个问题:
若arg(2-i)=α,arg(3-i)=β,求α+β的值.(α+β∈(3π,4π))
50
若arg(2-i)=α,arg(3-i)=β,求arg[(2-i)(3-i)]的值.
(2)两个复数乘积的辐角主值不一定等于两辐角主值的和,商的辐角主值不一定等于辐角主值的差.
2.关于数的开方
(1)复数的开方法则:r(cosθ+isinθ)的n次方根是
几何意义:
51
设
于复平面上的点
,则有:
52
对应
所以,复数z的n次方根,在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点.
(2)复数平方根的求法.
求-3-4i的平方根.
解法一 利用复数代数形式.设-3-4i的平方根为x+yi(x,y∈R),则有
(x+yi)
2
=-3-4i, 即(x
2
-y
2
)+2xyi=-3-4i, 由复数相等条件,得
∴-3-4i的平方根是±(1-2i).
53
法二 利用复数的三角形式.
3.复数集中的方程.
关于实系数的一元二次方程的解法:设ax
2
+bx+c=0(a≠0,a,b, c∈R,x
1
,x
2
为它的两个根)
(1)当△=b
2
-4ac≥0时,方程有两个实数根 当△=b
2
-4ac<0时,方程有一对共轭虚根
2
(4)二次三项式的因式分解:ax+bx+c=a(x-x
1
)(x-x
2
)
54
关于复系数的一元二次方程的解法:设ax
2
+ bx+c=0(a≠0,a、b、c∈C,且至少有一个虚数,x
1
x
2
为它 的两
个根)
(4)二次三项式的因式分解ax
2
+ bx+c=a(x-x
1
)(x-x
2
)仍然适用.
关于二项方程的解法
形如a
n
x
n
+a
0
=0(a
0
,a
n
∈C且a
n
≠0)的方程叫做二项方程, 任何一个二项方程都可以化成x
n
=b(b∈C)的形式,
因此都可以通过复数开方来 求根.
可以充分利用复数z的整体性质,复数z的三种表示方法及其转换来解方程.
已知方程x
2
-4x+p=0两虚数根为α、β,且|α-β|=2求实数p的值.
解法1 ∵实系数一元二次方程虚根共轭设α=a+bi,
β=a-bi,(a,b∈R) ∴α+β=2a=4,∴a=2
又∵|α-β|=2, ∴|2bi|=2得b=±1
即两根为2+i,2-i由韦达定理得:p=(2+i)(2-i)=5
法2 由韦达定理可得:α+β=4,αβ=p
于是|α-β|
2
=|(α-β)
2
|=|(α+β)
2
-4αβ|=|4
2
-4p|=4, 即|4-p|=1
又∵△=4
2
-4p<0 p>4, ∴p-4=1, 得p=5
说明 注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的区别.
55
一等式成立.若有两个虚根则上述等式不成立.因为|α-β|
2
≠(α-β)
2
.因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与联系,要避免 出现混淆与干扰.
已知方程2x
2
+3ax+a
2
-a=0有模 为1的根,求实数a的值.
分析 已知方程有模为1的根,此根可能是实数,也可能是虚数,故求实数a要注意分域讨论.
解 (1) 若所给方程有实根则△=(3a)
2
-4×2(a
2
-a)=a
2< br>+8a>0, 即a<-8或a>0
由条件得根必为1或-1,
①将x=1代入原方程可得a
2
+2a+2=0a无实数解.
(2)若所给方程有虚根则△=a
2
+8<0, 即-8<a<0
56
即a
2
-a-2=0, ∴a=-1或a=2(舍)
已知方程x
2
-(2i-1)x+3m-i=0有实数根,求实数m.
分析 求实数m的范围,若用判别式来判断是错误的,因为此方程的系数是复数.
利用求根公式或用韦达定理或选用复数相等,解方程组来求实数m均可以.现仅介绍一种方法.
解 ∵x,m∈R,方程变形可得,(x
2
+x+3m)-(2x+1)i=0
复数例题讲解与分析
57
例1.已知x, y互为共轭复数,且(x+y)
2
-3xyi=4-6i,求x, y.
[思路1]:确定一个复数即分别确定它的实部、虚部或模与一个辐角,设z=a+bi或三角形式,化虚为实。
:设x=a+bi(a,b∈R), 则y=a-bi, 代入原等式得:(2a)
2
-3(a
2
+b
2
)i=4-6i.
58
或
[解法1]
或
59
或
,
∴ 或
或 或
[思路2]:“x, y互为共轭”含义?→x+y∈R, xy∈R,则(x+y)
2
-3xyi=4-6i
60
。
.
[解法2]:∵x=,∴x+y∈R, xy∈R, ∴由两复数相等可得:
,
∴由韦达定理可知:x,y同是方程:z
2
+2z+2=0或z
2
-2z+2 =0的两根,
分别解两个一元二次方程则得x,y……(略)。
61
例2.已知z∈C,|z|=1且z
2
≠-1,则复数( )
A、必为纯虚数 B、是虚数但不一定是纯虚数 C、必为实数 D、可能是实数也可能是虚数
[思路分析]:选择题,从结论的一般性考虑,若z=±1,显然A、B选项不成立,分析C、D选 项,显然穷
举验证不能得出一般结论只能推演
解:[法1] 设z=a+bi, a,b∈R, a
2
+b
2
=1,a≠0.
则
==
62
C。
[法2]
则
设z=cosθ+isinθ (θ∈R,且θ≠kπ+
=
63
∈R,故,应选
),
=
=
64
=
∈R。
[法3]
z·
z·=|z|
2
, ∴当|z|=1时有
=1,
65
∵
∴
[法4] ∵当|z|=1时有z·
=
=
66
=1,
=
∈R.
∴
=
∈R.
[法5] ∵复数z为实数的充要条件是z=
67
=
,
而(
|z|=1时,
)=
=
68
, 又
,
∵
∴
==
, ∴∈R。
[评注]:复习中,概念一定要结合意义落实到位,一方面深化理解(比如复数定义:“形如a+bi (a,b ∈R)的
数叫复数”深入理解就有凡是复数都能写成这样,求一个复数,使用一个复数都可通过这一形式 将问题化虚为
实;……。)
同时对一些概念的等价表达式要熟知。(比如:z=a+bi∈R
69
b=0(a,b∈R)
z=
z
2
≥0;
70
z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0 (a,b∈R)
z+
z
2
<0;…….)
在面对具体问题时要有简捷意识(比如该例方法1,有同学可能会在算到
71
=0 (z≠0)
时不注意及时化简分母又直接按两复数相除的运算法则进行),
多方理解挖掘题目立意。
例3.求使关于x的方程x
2
+(m+2i)x+2+mi=0至少有一个实根的实数m.
[思路分析]:根的判别式只适用实系数的一元二次方程,虚系数有实根用两复数相等,化虚为实。
解:设x
0
为方程的一个实根,则有
72
x
0
2
+mx
0
+2+(2x
0
+m)i=0
m=±2
73
,解得:
。
例4.设 z∈C, arg(z+2)=,
arg(z-2)=, 求z。
[思路分析]:常规思路,设z=a+bi, 由已知列关于a,b的方程求解;数形结合思想,由题设可知z+ 2对应的
点A在射线OA上,∠AOX=
的点B应在射线OB上,
74
,z-2对应
BOX=
AOB=
故而易得:z=-1+
解:(略)
,z对应的点Z应在AB中点上,|AB|=4,ABOx轴,
,
i.
75
∠
∠
例5.设x,y∈R, z
1
=2-
z
2
=
已知|z
1
|=|z
2
|,
arg
y-1+(
=
76
x+xi,
-y)i,
, (1)求
(
z=
k∈Z}中元素的个数。
)
100
=? (2)设
, 求集合A={x|x=z
2k
+z
-2k
,
77
[思路分析]:理解已知,|z
1
|=|z
2
|,< br>arg
→
(1)解:∵|z
1
|=|z
2
|, ∴|
=
=i, 即z
1
=z
2
i→两复数相等→x, y.
|=1,
78
含义?
又arg
∴
z
1
=z
2
i,
=
=|
+isin
79
,
|(cos
)=i, 即
∴
2-
x+xi=[
-y)i]i
80
y-1+(
即
x=y=
∴
(
,解得
+
)
100
=(
81
,
+
i)
100
=(-+
i)
50
==-
-i.
[简评] 1
0
本题的解法体现了等价转化和整体的思想方法,如果把两个已知条件割裂开来去考虑,则需要
解关于x, y的二元二次方程组,其运算肯定很麻烦;
82
2
0
在计算题中对1的立方根之一:
w=-
熟知即 w
3
=
0,
+
=
83
3
=1,
i的特性要
=w
2
,1+w+w
2
=
1+
点设计问题是命题经常参考的着眼 点。
(2) [思路分析]:由(1)知
z=
z
3
=-1=
+
+
3
, |z|=1,
84
=0, 关于此
i,z的特性:
z=cos
z
2
=w, ……,z
2k
+z
-2k
可怎么理解呢?
=
+ isin
(z
2
)
k
+(z
2
)
-k, z
2k
+
85
,
2k
, ……
;
解[法1]:令
w=-
z
2k
+z
-2k
=w
k
+w
-k
,
∵w
3
=1,而k∈z, ∴k=
+
86
i,则
当k=3m时,z
2k
+z
-2k
=(w
3
)
m
+(w
3
)
-m
=2,
当k=3m+1时,z
2k
+z
-2k
=w
3m
·w+w
-3m
·w
-1
=w+w
-1
=w+
当k=3m+2时,z
2k
+z
-2k
=w
3m
·w
2
+w
-3m
·w
-2
=w
2
+w
-2
=w
3
·w
-1
+w
-3
·w=w< br>-1
+w=-1,
综上可知,集合A中有2个元素。
[法2]:∵|z|=1, ∴
=
∴
87
=-1,
,
z
2k
+z
-2k
=z
2k
+
+isin
-isin
88
2k
=cos
+cos
=2cos
=
A中有2个元素。
89
由此可判定集合
例6.设复数z=cosθ+isinθ(0<θ<π), w=
|w|=
θ。(93年全国理)
[思路分析]:欲用已知,需化简w,
解:
w=
, argw<
=
90
, 并且
=
,求
=tg2θ(sin4θ+icos4θ)
∴ |w|=|tg2θ| 由|w|=
tg2θ=±
.
91
得
∵ 0<θ<π, 故有(i)当tg2θ=
θ=
此时
w=
或θ=
(cos
92
时,得
.
+isin
argw=
意。
),∴
<
93
,适合题
(ii)当 tg2θ=-
θ=
时,
w=
时,得
π或θ=
(cos
94
π,此
π+isin
∴argw=
不合题意,舍去,
π).
95
π>,
故综合(i), (ii)知,θ=或
θ=.
[简评] 1
0
复数与三角的综合题目 是命题的一个方向,其中应用三角公式“1±cosa的升幂式”及“诱导公式”
化复数代数形式为标准 三角形式应用频率较高。
2
0
此题在w的化简中亦可利用 |z|=1, z·=|z|来化简:
96
w==
=
这样可省去较为繁锁的三角变换。
例7.已知|z|=1,且z
5
+z=1, 求z。
[思路分析1]:已知含未知数的等式求未知数,方程问题,设元化虚为实,
解:[法1]设z=cosθ+isinθ,则由z
5
+z=1可得:
97
=……以下略,
由(1)
2
+(2)
2
得:
cos4θ=-……(以下略)。
[思路分析2]:复数的概念,运算都有几何意义,由z
5
+z=1,若设z5
, z,1对应点为A,B,C则四边形OACB
为平行四边形。
★[ 法2]:设z
5
,z,1在复平面上对应点分别为A,B,C,则由z
5
+z =1,可知,四边形OACB为平行四边形,
又∵ |z
5
|=|z|
5
=1=|z|
98
∴
z=
z=
OACB为边长为1的菱形且∠AOB=120°,∴ 易求得:
+i或
-i。
99
可以验证当
z=±i时,
z
5
=
i符合题意。
[简评]:1
0
数形结合思想方法应是处理复数有关问题的习惯思路,因复数中的概念,运算 都有一定的几
何含义,这源于z=a+bi本身就表示一个点,当a,b确定,z表示定点,当a,b不 定则z就能表示一个动点轨迹,
100
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