考研考试科目

考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计

考试形式和试卷结构

一、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟.

二、答题方式

答题方式为闭卷、笔试.

三、试卷内容结构

微积分 56%

线性代数 22%

概率论与数理统计 22%

四、试卷题型结构

试卷题型结构为：

单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分

填空题 6小题，每题4分，共24分

解答题(包括证明题) 9小题，共94分

微 积 分

一、函数、极限、连续

考试内容

函数的概念及表示法 函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性 复合函数.反函
数.分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建
立

数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无
穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极
限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：

函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的
性质

考试要求

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.

2.了解函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性.

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.

4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

5.了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念.

6.了解极限的性质与 极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利
用两个重要极限求极限的方法.

7.理解无穷小的概念和基本性质.掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概
念及其与 无穷小量的关系.

8.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.

9.了 解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质
(有界性、最大值和最小值定理. 介值定理)，并会应用这些性质.

二、一元函数微分学

考试内容

导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间
的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数
复合函数.反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中
值定理 洛必达(L'Hospital)法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹
凸性.拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值

考试要求

1.理解导数的 概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济
意义(含边际与弹性的概念)，会求平面 曲线的切线方程和法线方程.

2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法
则，会求分段函数的导数 会求反函数与隐函数的导数.

3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.

4.了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求
函数的微分.

5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日( Lagrange)中值定理.了解泰勒定理.柯 西
(Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用.

6.会用洛必达法则求极限.

7.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念， 掌握函数极值、最大值
和最小值的求法及其应用.

8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间 内，设函数 具有二阶导数.当
时， 的图形是凹的;当 时， 的图形是凸的)，会求函数图形的拐点和渐近线.

9.会描述简单函数的图形.

三、一元函数积分学

考试内容

原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念
和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨
(Newton- Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常(广
义)积分 定积分的应用

考试要求

1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式 ，
掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.

2.了解定积分的概念和基本性 质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数
并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的 换元积分法和分部积分
法.

3.会利用定积分计算平面图形的面积.旋转体的体积和函数的平均值，会利用
定积分求解 简单的经济应用问题.

4.了解反常积分的概念，会计算反常积分.

四、多元函数微积分学

考试内容

多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭
区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算 多元复合函数的求
导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值.最大值
和最小值 二重积分的概念.基本性质和计算 无界区域上简单的反常二重积分

考试要求

1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.

2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性
质.

3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，
会求全微分,会求多元 隐函数的偏导数.

4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的 必要条件，
了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法
求条 件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题.

5.了解二 重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标.极坐
标).了解无界区域上较简单的反 常二重积分并会计算.

五、无穷级数

考试内容

常数项级数收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛
的必要条件 几何级数与 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任意项级
数的绝对收敛与条件收敛 交错级数与莱布尼茨定理 幂级数及其收敛半径.收敛
区间(指开区间)和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质
简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式

考试要求

1.了解级数的收敛与发散.收敛级数的和的概念.

2.了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及 级数的收敛
与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法.

3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了
解交错级数的莱布尼茨判 别法.

4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域.

5 .了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项
积分)，会求简单幂级数在 其收敛区间内的和函数.

6.了解 . . . 及 的麦克劳林(Maclaurin)展开式.

六、常微分方程与差分方程

考试内容

常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分
方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及
简单的非齐次线性微分方程 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一
阶常系数线性差分方程 微分方程的简单应用

考试要求

1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.

2.掌握变量可分离的微分方程.齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.

3.会解二阶常系数齐次线性微分方程.

4.了解线性微分方程解的性质 及解的结构定理，会解自由项为多项式.指数函
数.正弦函数.余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方 程.

5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.

6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.

7.会用微分方程求解简单的经济应用问题.

线 性 代 数

一、行列式

考试内容

行列式的概念和基本性质 行列式按行(列)展开定理

考试要求

1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.

2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.

二、矩阵

考试内容

矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵
的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等
变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算

考试要求

1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义 及
性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质.

2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方
阵乘积的行列式的性质.

3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解
伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.

4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵 等价的概念，理解矩阵的秩的概念，
掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法.

5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则.

三、向量

考试内容

向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量
组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关
系 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法

考试要求

1.了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则.

2.理解向量的线性组合与线 性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握
向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.

3.理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.

4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系.

5.了解内积的概念.掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.

四、线性方程组

考试内容

线性方程组的克莱姆(Cramer)法则 线性方程组有解和无解的判定 齐次线性
方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组(导
出组)的解之间的关系 非齐次线性方程组的通解

考试要求

1.会用克莱姆法则解线性方程组.

2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法.

3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和
通解的求法.

4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.

5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法.

五、矩阵的特征值和特征向量

考试内容

矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对
角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对
角矩阵

考试要求

1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵
特征值和特 征向量的方法.

2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角 化的充分
必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.

3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.

六、二次型

考试内容

二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的
标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正
定性

考试要求

1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的
概念.

2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定
理，会用正 交变换和配方法化二次型为标准形.

3.理解正定二次型.正定矩阵的概念，并掌握其判别法.

概率论与数理统计

一、随机事件和概率

考试内容

随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基
本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独
立重复试验

考试要求

1.了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关
系及运算.

2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几
何型概率， 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯
(Bayes)公式等.

3.理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复
试验的概念 ，掌握计算有关事件概率的方法.

二、随机变量及其分布

考试内容

随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布
连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布

考试要求

1.理解随机变量的概念，理解分布函数

的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.

2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布 、几
何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布 及其应用.

3.掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.

4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布 、正态分布 、指
数分布及其应用，其中参数为 的指数分布 的概率密度为

5.会求随机变量函数的分布.

三、多维随机变量及其分布

考试内容

多维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条
件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的

独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量的函数
的分布

考试要求

1.理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质.

2.理解二维离散型随机变量的 概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌
握二维随机变量的边缘分布和条件分布.

3.理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，
理解随机变 量的不相关性与独立性的关系.

4.掌握二维均匀分布和二维正态分布 ，理解其中参数的概率意义.

5.会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会 根据多个相互独立随机
变量的联合分布求其函数的分布.

四、随机变量的数字特征

考试内容

随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期
望 切比雪夫(Chebyshev)不等式 矩、协方差、相关系数及其性质

考试要求

1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)
的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征.

2.会求随机变量函数的数学期望.

3.了解切比雪夫不等式.

五、大数定律和中心极限定理

考试内容

切比雪夫大数定律 伯努利(Bernoulli)大数定律 辛钦(Khinchine)大数定律 棣
莫弗—拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理 列维—林德伯格(Levy- Lindberg)定理

考试要求

1.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机
变量序列的大数定律).

2.了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理(二项分布以正态分布为极限分布)、列
维—林德伯格中心极限定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)，并会用
相关定理近似计算有 关随机事件的概率.

六、数理统计的基本概念

考试内容

总体 个体 简单随机样本 统计量 经验分布函数 样本均值 样本方差和样本
矩 分布 分布 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布

考试要求

1.了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，
其中样本方差定义为

2.了解产生 变量、 变量和 变量的典型模式;了解标准正态分布、 分布、 分
布和 分布得上侧 分位数，会查相应的数值表.

3.掌握正态总体的样本均值.样本方差.样本矩的抽样分布.

4.了解经验分布函数的概念和性质.

七、参数估计

考试内容

点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法

考试要求

1.了解参数的点估计、估计量与估计值的概念.

2.掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估计法.
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三
考试科目：高等数学、线性代数、概率论
考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟．
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试．
三、试卷内容结构
高等教学 56%
线性代数 22%
概率论 22%
四、试卷题型结构
试卷题型结构为：
单项选择题 8小题，每小题4分，共32分
填空题 6小题，每小题4分，共24分
解答题（包括证明题） 9小题，共94分
高 等 数 学
一、函数、极限、连续
考试内容
函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、
反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关
系的建立
数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无
穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算
极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：
，
函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数
的性质
考试要求
1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．
5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极
限、右极限之间的关系．
6．掌握极限的性质及四则运算法则．
7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求
极限的方法．
8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷
小量求极限．
9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．
10．了 解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质
（有界性、最大值和最小值定理、 介值定理），并会应用这些性质．
二、一元函数微分学
考试内容
导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的
关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复
合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微

分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L'Hospital）法则 函数单调性的判别 函
数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与
最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径
考试要求
1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解 导数的几何意义，会
求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导 法则，掌握基本初等函数的导数
公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微 分．
3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．
4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的
导数．
5． 理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）
定理，了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理．
6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．
7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调 性和求函数极值的方法，
掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．
8．会用导数判断函数 图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当
时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会 求函数图形的拐点以及水平、铅
直和斜渐近线，会描绘函数的图形．
9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．
三、一元函数积分学
考试内容
原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念
和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿- 莱布尼茨
(Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函
数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用
考试要求
1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．
2．掌握不定积分的 基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，
掌握换元积分法与分部积分法．
3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．
4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．
5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．
6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平 面图形的面积、平面曲线
的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、
压力、质心、形心等）及函数平均值．
四、多元函数微积分学
考试内容
多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭
区域上二元连续函数的性质 多元函数的偏导数和全微分 多元复合函数、隐函数
的求导法 二阶偏导数 多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分
的概念、基本性质和计算
考试要求

1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．
2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．
3．了 解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，
会求全微分，了解隐函数存在 定理，会求多元隐函数的偏导数．
4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在 的必要条件，
了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法
求 条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问
题．
5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极
坐标）．
五、常微分方程
考试内容
常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分
方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系
数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常
系数非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用
考试要求
1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．
2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．
3．会用降阶法解下列形式的微分方程： 和 ．
4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．
5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐
次线性微分方程．
6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的
二阶常系数非 齐次线性微分方程．
7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．
线 性 代 数
一、行列式
考试内容
行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理
考试要求
1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．
2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．
二、矩阵
考试内容
矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵
的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等
变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算
考试要求
1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量 矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩
阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．
2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方
阵乘积的行列式的性质．

3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性 质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解
伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．
4．了解 矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩
阵的秩的概念，掌握用初等变换求 矩阵的秩和逆矩阵的方法．
5．了解分块矩阵及其运算．
三、向量
考试内容
向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量
组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关
系 向量的内积 线性无关向量组的的正交规范化方法
考试要求
1．理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．
2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的
有关性质及判别法．
3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性
无关组及秩．
4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．
5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方
法．
四、线性方程组
考试内容
线性方程组的克莱姆（Cramer）法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条
件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐
次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的通解
考试要求
1．会用克莱姆法则．
2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充
分必要条件．
3．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组基础解
系和通解的求法．
4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．
5．会用初等行变换求解线性方程组．
五、矩阵的特征值及特征向量
考试内容
矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似
对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相
似对角矩阵
考试要求
1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵特征值和特征向量．
2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵
化为相似对角矩阵．
3．理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．
六、二次型
考试内容

二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标
准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正
定性
考试要求
1．了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的
概念．
2． 了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定
理，会用正交变换和配方法化 二次型为标准形．
3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三(一)
2010-09-06 21:50
考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计
考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间 考研1号网
试卷满分为150分，考试时间为180分钟.
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试.
三、试卷内容结构
微积分 56%
线性代数 22%
概率论与数理统计 22%
四、试卷题型结构
试卷题型结构为：
单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分
填空题 6小题，每题4分，共24分
解答题(包括证明题) 9小题，共94分
微 积 分
一、函数、极限、连续

考试内容
函数的概念及表示法 函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性 复合函数.反
函数.分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的
建立
数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和
无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算
极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：
函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数
的性质
考试要求
1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.
2.了解函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性.
3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.
4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.
5.了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念.
6.了解极限的性质与极限存在的 两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握
利用两个重要极限求极限的方法.
7.理解无 穷小的概念和基本性质.掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量
的概念及其与无穷小量的关系.
8.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.
9. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质
(有界性、最大值和最小值定理 .介值定理)，并会应用这些性质.
二、一元函数微分学
考试内容
导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之
间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导
数 复合函数.反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微
分中值定理 洛必达(L'Hospital)法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图
形的凹凸性.拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值

考试要求
1.理解导数的概念及可导性与连续 性之间的关系，了解导数的几何意义与经
济意义(含边际与弹性的概念)，会求平面曲线的切线方程和法 线方程.
2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法
则，会求分段函数的导数 会求反函数与隐函数的导数.
3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.
4.了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会
求函数的微分.
5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日( Lagrange)中值定理.了解泰勒定理.柯
西( Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用.
6.会用洛必达法则求极限.
7.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大
值和最小值的求法及其应用 .
8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间 内，设函数 具有二阶导数.
当 时， 的图形是凹的;当 时， 的图形是凸的)，会求函数图形的拐点和渐近线.
9.会描述简单函数的图形.
三、一元函数积分学
考试内容
原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概
念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨
(Newton- Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常
(广义)积分 定积分的应用
考试要求
1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公
式， 掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.
2.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定 理，理解积分上限的函
数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积< br>分法.
3.会利用定积分计算平面图形的面积.旋转体的体积和函数的平均值，会利

用定积分求解简单的经济应用问题.
4.了解反常积分的概念，会计算反常积分.
四、多元函数微积分学
考试内容
多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界
闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算 多元复合函数的
求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值.最大
值和最小值 二重积分的概念.基本性质和计算 无界区域上简单的反常二重积分
考试要求
1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.
2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性
质.
3.了 解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导
数，会求全微分,会求多元隐函数 的偏导数.
4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条
件 ，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘
数法求条件极值，会求简单 多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问
题.
5.了解二重积分的概念与基本 性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标.
极坐标).了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算 .
五、无穷级数
考试内容
常数项级数收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与
收敛的必要条件 几何级数与 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任
意项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数与莱布尼茨定理 幂级数及其收敛
半径.收敛区间(指开区间)和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内
的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式
考试要求
1.了解级数的收敛与发散.收敛级数的和的概念.
2.了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及 级数的收

敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法.
3.了解任意项级数 绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，
了解交错级数的莱布尼茨判别法.
4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域.
5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和 函数的连续性、逐项求导和逐
项积分)，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数.
6.了解 . . . 及 的麦克劳林(Maclaurin)展开式.
六、常微分方程与差分方程
考试内容
常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线
性微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分
方程及简单的非齐次线性微分方程 差分与差分方程的概念 差分方程的通解
与特解 一阶常系数线性差分方程 微分方程的简单应用
考试要求
1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.
2.掌握变量可分离的微分方程.齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方
法.
3.会解二阶常系数齐次线性微分方程.
4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自 由项为多项式.指数
函数.正弦函数.余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程.
5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.
6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.
7.会用微分方程求解简单的经济应用问题.

人生中每一次对自己心灵的释惑，都是一种修行，都是一种 成长。相信生命中的每一次磨砺，都会让自己的人生折射出异常的光芒，都会让自己的身心焕发出不一样的香味。
我们常常用人生中的一些痛，换得人生的一份成熟与成长，用一些不可避免的遗憾，换取生命的一份 美丽。在大风大雨，大风大浪，大悲大喜之后，沉淀出一份人生的淡然与淡泊，静好
与安宁，深邃与宽厚 ，慈悲与欣然……

生活里的每个人， 都是我们的一面镜子，你给别人什么，别人就会回待你什么。当你为一件事情不悦的时候，应该想想你给过人家怎 样负面的情绪。
世界上的幸福，没有一处不是来自用心经营和珍惜。当你一味的去挑剔指责别人的 时候，有没有反思过自己是否做得尽善尽美呢？
假如你的心太过自我，不懂得经营和善待，不懂得尊重他人的感受，那么你永远也不会获得真正的爱和幸福……
人生就像一场旅行，我们所行走的每一步都是在丰富生命的意义。我们一边穿越在陌生的吸引里，一 边咀嚼回味着一抹远走光阴的旧味，一切都是不可预料，一切又似在预料之中。
人生看的多了，走的多了，经历的多了，也就懂得多了。每一份深刻的感悟大多来自一个人深刻的经历。
人生总有那么一两件重大的事情让你成熟和改变。这份错失，会让你反思自己，检讨自己，叩问自己 ，也让你意识到了自己真正的缺失，这或许就是一份痛苦的领悟吧！
人生可以平平淡淡，亦可以异 彩纷呈。相信只要自己的德馨足够善美，上天就会把最好的一切赐予你。予人快乐，收获快乐；予人幸福，收获幸 福；予人真情，收获厚意。人生的一切往
来皆有因果，生活只善待有心人……
假如你有一 颗计较的心，你就会很难获得一份幸福。当一个人放下了自己内心的那份累心的奢求，你的心空就会变得更加蔚蓝 干净。
宽容，不仅是一种豁达的态度，更是一种心灵的品德，是一种处事的修行，宽容别人不是低 矮了自己，而是释放了自己，升华了自己。你把世界宽待在心中，世界也同样装饰了你的一份
美丽。
当你简约、释然了自己的时候，你会发现另一份生命中的快乐。那快乐是发自一颗简单的心，那快乐 是从心灵的草地里欢快的迸发出来，通过你温柔的眼眸和开心的笑声来传递。
所以，心宽便心悦，你人生的天空是什么颜色，往往取决于你对人生的态度和对于自己情绪的驾驭……
世界上美好的东西那么多，有缘来到你的身旁，被你握到掌心的却又那么少。所以一切在的时候请学会珍惜，因为 大多美丽的东西只会为你来过一次。你一不小心就会失落，无处找寻，
增加了你人生的又一次遗憾……
过往，终是回不去的曾经。人总是在失去的时候才懂得珍惜，人总是在回味的时候才知道甜美。往事 已矣，该放下的终归要放下，该忘记的一定要学会忘记。
其实这个世界上什么都不是我们的，在人 间，我们只是一场心灵的路过而已……或许唯一属于过我们的，只是生命刹那的快乐与悲伤，以及自己一颗思索的 灵魂……
站在时光的路口回望曾经，盘点每一份经历过的心情，人生有太多得不到的美好，有太多 想不到的结局。终有一天，我们热望过的，贪念过的，彷徨过的，握紧过的，放手过的，都将化
作尘埃随 风飞去……
人生渺如尘埃，小如露珠，寻常如泥土，从不可知处而来，到不可知处而去。我们用灵 魂结伴身体，走过这短暂的一朝一夕的寒暖，踏过流年的坎坷与花香，便是在世间真正的来过了。