微积分入门基本公式如何求异面直线的距离

2020年10月24日发(作者：韩雪)
如何求异面直线的距离
求异面直线距离方法：
（1）（直接法）当公垂 线段直接能作出时，直接求。此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距
离的关键。
（2）（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a,b距离，先作出过a且平行于b的平面α, 则 b与
α距离就是a,b距离。（线面转化法）也可以转化为过a平行b的平面和过b且平行于a的平面， 两平行平面的距离
就是两条异面直线距离。
（3）（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用体积公式来求。
（4）（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解。
两条异面 直线间距离问题，教学大纲中要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其它
解法 ，要适度接触，以开阔思路。
典型题目分析
正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
棱长为a，求异面直线AC与BC
1
的距离。
解法1：（直接法）取BC的中点P，连结PD，PB
1
分别交AC，BC
1
于M，N点，
易证：DB
1
MN，DB
1
⊥AC， DB
1
⊥BC
1
，
∴ MN为异面直线AC与BC
1
的公垂线段，易证：MN=B
1
D=a。（如图1所示）
小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解。
解法2：（转化法） ∵AC平面A
1
C
1
B，∴ AC与BC
1
的距离等于AC与平面A
1
C
1
B的距离，
在RtΔOBO
1
中，作斜边上的高OE，则OE长为所求距离，如图2，
∵ OB=a, OO
1
=a，∴ O
1
B=， ∴OE=a。
小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离。

解法3：（转化法）

1

∵平面ACD
1
平面A
1
C
1
B，∴ AC与BC
1
的距离等于平面ACD
1
与平面A
1
C
1
B的距 离，（如图3所示），
∵ DB
1
⊥平面ACD
1
，且被平 面ACD
1
和平面A
1
C
1
B三等分；∴ 所求距离为
小结：这种解法是将线线距离转化为面面距离。
B
1
D=a。
解法4：（构造函数法） 任取点Q∈BC
1
，作QR⊥BC于R点，作RK⊥AC于K点，如图4所示，
设RC=x，则OK
2
=x
2
+(a-x)
2
=(x-a)
2
+a
2
≥a
2
,
故QK的最小值，即AC与BC
1
的距离等于a。
小结：这种解法是恰当的选 择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来
得到二异面直线之间的距离。
解法5：（体积桥法） 当求AC与BC
1
的距离转化为求AC与平面A
1
C
1
B的距离后，设C点到平面A
1
C
1
B的距
离为 h，则
∵ h·(a)
2
=·a·a
2
, ∴ h=a，即AC与BC
1
的距离为a。
小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体的高，然后体积公
式求之。
立体几何中几类问题

在平面几何中，我们研究了平面图形及其性质，对于空间 图形的问题，基本上无所接触。立体几何是研究空间
图形及其性质的学科。
由于空间图 形的抽象性，一个图形可以是许多实际物体的抽象形式，因而立体几何在生产实际、科学试验中有
广泛的 应用。
立体几何是在学习平面图形知识的基础上来研究空间图形。从平面到空间是观念上的一个 飞跃，同学要从平面
跳入空间，困难很多，怎样完成这个飞跃呢？要注意两点：
（1）充分发挥教具或用具的作用，逐步培养和训练同学们的空间想象能力，建立立体感。
（2） 善于运用“转化”的思维方法——空间图形转化为平面图形，平面图形转化为空间图形，不规则的空间图形
转化为规则的空间图形，并注意掌握具体的转化方法。
一、平面问题
1．正确理解公理及推论中的意义

2
公理及推论中的“有且只有一个”应理 解为：“有”说明图形是存在的，“只有一个”说明图形是“唯一的”，“有且只
有”和“确定”是同义 词。
2．用平面图形表示平面：平面常用平行四边形表示，也可用三角形、梯形及圆等平面图形表示。
3．平面和截面：几何体被平面所截，平面与几何体的接触部分便是截面。防止把不共面的直线当作共面直线来< br>处理，导致推理判断错误。
二、异面直线问题
1、“不同在任何一个平面内的两条直线”， 是指不可能同时在任何一个平面内，因此它们是既不平行也不相交的；

(a) (b)

2．分别在两个平面α、β 内的两条直线a、b，不一定是异面直线：如图在(a)中的两直线a、b虽分别在平面α、
β内，但它 们相交于两相交平面α、β的交线AB上一点P；又如图(b)中的两直线a、b也虽分别在两平面α、β内，< br>但它们均平行于两相交平面α、β的交线AB，像这样的两条直线a、b是共面的。
3． 画异面直线时以辅助平面为衬托，可使两直线不能共面的特点显示得更清楚，如图，否则就会分不清是不是
异面直线。
4．异面直线所成的角，是将它转化为两条相交直线所成的锐角（或直角）来确定 的。
其办法是把两条异面直线中的一条平移到另一条所在的平面中来，在同一平面中求相交直线
所成的角。这种平移法是求异面直线所成角的常规法。将空间两条异面直线所成的角，转化
成平面上相交 直线的夹角，这是课本上第一次实现了空间问题到平面问题的转化，第一次展
示了将空间问题转化为平面 问题的一个重要手段——平移。
三、角和距离的问题
1．求角
（1）异面直线所成的角。
①求异面直线所成角的一般方法和步骤；
a.作图：依 定义和图形性质作出要计算的角θ；b.证明：通过平行或垂直关系证明θ是所求的角；c.计算：解含θ
的三角形。
②异面直线上的两点间距离的公式。
EF=
段AA'的长为d，A'E=m，AF=n）。
③运用三垂线定理及其逆定理或 者直线与平面垂直的定义，对于两条异面直线成90°角的情况可通过证明两线垂
直，从而求得所成角为 90°。
（3）二面角：解题依据：二面角的定义
①找出或作出二面角的平面角。作平面角一般根据图形特点，有以下几种：
a.经过二面角棱上的特殊点，分别在两个面内作垂直于棱的射线得出平面角。
b.已知二面角 内一点到二面角的面或棱的距离时，则经过表示距离的两条垂线段作平面与二面角的两面相交，证

3
（其中α是异面直线所成的角，EF的长是异面直线上两点间的距离，公垂线
明交 线所成的角是二面角的平面角。
c.已知二面角一个面内一点到棱或到另一面的距离时，应用三垂线定理或其逆定理产生平面角。
d.由特殊图形性质产生平面角（例如，利用等腰三角形底边上的中线也是底边上高的性质等）。
②公式法：设二面角为θ。
a.已知二面角一个面内的图形面积为S，这个图形在另一个面内射 影的面积为S'，则应用cosθ=，求出θ。
b.如图在二面角α-AB- β内，E∈α，F∈β， EA⊥AB，FB⊥AB，AB=d，EA=m，FB=n，EF=l，应用公式:
l=
即cosθ=
相垂直的方法。
(此处θ∈（0，π）)，90°的二面角，还可应用判定两平面互
[综合评述]怎样作异面直线所成的角呢？可通过以下三种方法平移产生：
①直接平移法（利用图中已有的平行线）；
②中位线平移法（利用三角形中位线性质，作出中位线就相当于把底边平移到中位线）；
③补形平移法（在已知图形外，补作一个同样大小的几何体，以便找出平行线）
2．求距离
解题依据：各种距离的定义
点、直线、平面间的距离
首先找到或作出表示距离的图形。这种图形产生的方法：
（1）点到直线的距离：利用平面图形的 性质；直线与平面垂直的性质；此外，利用三垂线定理及其逆定理是不
可忽视的重要方法。
（2）点到平面的距离：利用特殊图形的性质确定垂足的位置；或利用平面互相垂直的性质，即如果已知点在已< br>知平面的垂面上，则已知点到两平面的交线所作的垂线段长就是点到平面的距离。
（3）两 条异面直线间的距离：利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度。例如：当两条
异 面直线垂直时，过一条直线作出或找出另一条直线的垂面，在垂面内作出两异面直线的公垂线。
（ 4）平行的直线和平面、两平行平面间的距离：一般都转化为点到平面的距离。有些情况，可以不作出表示距离的图形。如：
①点到平面的距离：利用等积求高计算。
②两条异面直线间的距离：
a.利用异面直线上两点间的距离公式；
b.转化为求平行的直线和平面或两平行平面间的距离，即又转化为求点到平面的距离，从而应用等积求高计算；
c.运用二次函数求最值等。
四、空间问题转化为平面问题的方法
1、辅助平面法
恰当地作辅助平面，是将空间问题转化为平面问题的一个重要手段，求证平行于两 条异面直线a和b的平面α，
必与异面直线的公垂线AB垂直，只要过AB和a以及AB和b分别作平面 ，与已知平面α的交线a'、b'，由已知aα

4
得aa'，由bα得bb'，又 AB⊥a，AB⊥b，所以AB⊥a'，AB⊥b'。又a'∩b'≠，则AB⊥α。作两个辅助平面，将
AB与异面直线垂直（空间）转化为AB与同一平面内两条相交直线垂直，问题就迎刃而解了。
2．射影法
平面的一条斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影所成的角。判定斜线与平 面内某一直线垂直的问
题，实际上就是判定斜线在平面内的射影与平面内一直线垂直的问题，因此通过射 影可把空间问题转化为平面问题。
三垂线定理及有关射影的概念和定理，为射影法提供了理论根据。已知 四面体两组对棱互相垂直，求证第三组对棱
互相垂直。通过一个顶点作其对面的垂线，得到三条侧棱在底 面的射影，进而用三垂线定理及逆定理，将空间直线
垂直的条件转化为平面内的直线互相垂直的关系，由 此得知前面所作垂线的垂足就是（该面）三角形的垂心，再将
平面内的垂直关系转向空间，证明第三组对 棱垂直。
3．平移法
由于直线的平移不改变它与另一直线或平面所成角的大小； 平面的平移不改变它与另一平面或直线所成角的大
小，因此，通过平移可将空间图形问题转化为平面问题 。
4．证题方法的转化
立体几何中，证明线与线、线与面、面与面之间的平行与垂直关系是学习本章的两条主线：
线线平行线面平行面面平行 线线垂直线面垂直面面垂直
就是说，要证明面平行（垂直），先 证线面平行（垂直）；要证线面平行（垂直），先证线线平行（垂直）。
这种转化思想，对证题思路及突 破口的选择提供了明确的方法。值得注意的是，这个思想及转化的方向是可逆的，
许多情况下，为了证线 线垂直，先由某些条件证明线面垂直，然后由性质定理得以线线垂直。同样地，要证线面垂
直，也可先证 面面垂直。这就是说
面面平行线面平行线线平行 面面垂直线面垂直线线垂直
这条线索代表了线线、线面、面面平行与垂直的性质定理及其关系。掌握好转化的思想和方法，对培养推理能力和提高解题应变能力十分有益。



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