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有放回必有序,无放回可无序
作者:邱东华
来源:《福建中学数学》2016年第03期
计算事件A的概率就是要算清楚基本事件的总数和事件A包含的基本事件数,在人教A
版必修3《古典概
型》一节的教学中,由于排列组合的内容是放在《选修2-3》才学,所以基
本事件数的计算只能用列举
法,教材对于这部分的要求是:仅限于能用列举法列出全部基本事
件的问题,那么怎样合理准确快捷地列
举出所有的基本事件呢?特别是在列举时,事件中的元
素是要按不同的顺序(就是排列,有顺序)来列举
呢,还是不必考虑元素顺序(就是组合,无
顺序)列举呢?什么条件下必须按不同的顺序列举,什么条件
下可以不按顺序列举?这个问题
是概率初学者容易混淆却又必须弄清楚的问题,因为有没有按顺序来列举
,不仅决定着基本事
件的总数和解答计算的繁简,甚至会导致解答的错误!
本例题中的“同时掷两个骰子”,也可以理解为“一个骰子掷两次”,或相当于“从分别标有
1,2,3
,4,5,6的六张卡片中,有放回地随机取出两张卡片”,因为是“有放回”地取,所以
才有可能出现
“11,22,33,44,55,66”,这样前后两次取到一样的情况,也正是因为有
“11,22
,33,44,55,66”,这条对角线的存在,如前所述,“有顺序”列举的解法正确,“无
顺序”
列举的解法错误,因此,我们可以得出结论:如果是有放回抽取,那么就一定要有顺序
的列举,即“有放
回,必有序”,
2.无放回,可无序
如果把上述中的“
有放回”改为“无放回”,即“从分别标有1,2,3,4,5,6的六张卡片
中,无放回地随机取出两
张卡片,求两张卡片上数字之和5的概率”,又该如何解答呢?请看
解法一:将取出的两张卡片“有顺序
”排列,因为卡片无放回,抽出的两张卡片号码不会重复,
不存在上面一题中的对角线,总共只有30种
等可能的结果,如图3,其中和为5的基本事件
有4种,所求概率为430=215;解法二:不区别1
+4=5与4+1=5这类事件,也就是不区分卡
片的先后顺序,“无顺序”地列举,基本事件就是15
种,如图4,不存在之前对角线的情况,15
种基本事件的可能性都相等,其中和为5的基本事件有2种
,所求概率为
215我们发现,本题是“无放回”抽取,解法一是“有顺序”列举,
解法二是“无顺序”列举,
两种解法答案一致,都是正确的!这说明在“无放回”抽取中,既可按“有顺
序”列举来解答,也
可按“无顺序”列举来解答,但是“无顺序”列举时基本事件数更少,更容易列举和
计算,因此,
我们有:“无放回,可无序”,
至此,我们总结出:“有放回必有序,无放回可无序”,我们用这一规则来解答一些问题,
先看教科书中的另一个例题,例题5:“某种饮料每箱6听,如果其中有2听不合格,间质
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