电缆选型公式两角和与差三角函数公式证明

2020年10月20日发(作者：寿嘉华)


两角和与差的三角函数公式的证明



三角函数
数学

两角和与差 单位圆 托勒密定理

sin（α+β）= …与cos（α+β）= …，是进一步证
利用单位圆方法证明
明大
部分三角函数公式的基础。

1、sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ
在笛卡尔坐标系中以原点O为圆心作单位圆，在单位圆中作以下线段：




如图中所示，容易看出：=OD cosβ；β；α；α；）+（sinαβ=CFsin=ABcos=OB
sin=CD 则：

























------------- -------------------------------------------------- ------
-------------------------
平面几何的证明方法：如图所示，过程见下面的【评论】中新浪网友的提示
（非常感谢这位网友的提示，让我们看到了证明一个定理的多种途径，真是妙不


可言！）





--------- -------------------------------------------------- ----------
-------------
附：如何证明托勒密定理？
见 http:
http:

托勒密(Ptolemy )定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线
的乘积。
原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面
积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦 、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定
理实质上是关于共圆性的基本性质．（具体的推导方 法详见数学目录下的博文，
来自网友的提供！）






思路：托勒密定理在平面几何中赫赫有名，其难点在于：把一条对角线分割成 两
条线段DE和BE。第一步证明一对旋转的三角形相似：△ABE∽△ACD；第二步还
需要 证一对旋转的三角形相似△ADE∽△ACB；只有这两对相似的三角形出来了才
能得到结论。

证明：以AB为边，作一个角等于已知角：即∠BAE=∠DAC；
在ΔABE和ΔACD中，
∵ ∠BAE=∠DAC；
∠ABE=∠ACD；
∴ △ABE∽△ACD；
∴ AB·DC=BE·AC ①
∵ ∠BAE=∠DAC；
∴ ∠DAE=∠CAB；
在ΔADE和ΔACB中，
∠ADE=∠ACB； ∵．
∠DAE=∠CAB；
∴ △ADE∽△ACB；
∴ AD·BC=DE·AC ②
∴ ①+②得：
AB·DC+ AD·BC= BE·AC+ DE·AC=（BE+DE）·AC=BD·AC。

结论：该命题对 于圆内接的任意四边形都成立。最初是由数学家托勒密想出来的，
叫做托勒密定理。“当你遇到AB·D C+AD·BC=AC·BD这样的等积式时，如果等式
左边可以合二为一，则考虑证一对三角形相似， 否则，在AC、BD的其中一条线
段上找到一个分点，构造两个三角形相似。”