收支缺口公式两直线平行的条件

2020年10月20日发(作者：黎原)
第二章 平行线与相交线
2探索直线平行的条件（第1课时）
课时安排说明: < br>平行线与相交线构成了同一平面内两条直线的基本位置关系。在七年级上册学生
已经直观认识了角 、平行与垂直，积累了初步的数学活动经验的基础上，本章将进一
步探索平行线、相交线的有关事实。教 材通过设置观察、操作等探索活动，按照“先
探索直线平行的条件、再探索平行线的特征”的顺序呈现有 关内容，在带领学生探索
性质和解决问题的过程中，以直观认识为基础训练学生进行简单的说理，以加深 对平
行的理解，并学会借助平行解决一些简单的实际问题，进一步发展学生的空间观念。
所以， 本章及本节内容无论是在知识、数学思想方法还是对学生能力的培养方面都是
非常重要的。
本 节“探索直线平行的条件”共分两课时完成，第一课时探索得出判别直线平行
的条件一，并初步认识“三 线八角”中的同位角，第二课时在进一步认识“三线八角”
中的内错角和同旁内角的同时，探索得出判别 直线平行的条件二、三。本单元教学设
计时将遵循教科书编写思路，在探索直线平行条件的过程中自然引 入“三线八角”，使
该知识的学习成为解决问题的需要，而不是孤立地处理这些内容。
一、
学生起点分析：
学生的知识技能基础：
学生在七年级上册《平面图形及 其位置关系》一章中，已
经结合丰富的现实情景，直观认识了两条直线的平行关系，了解了平行线的定义 ，会
借助方格纸、利用直尺、三角板用多种方法画平行线，经历了在操作活动中探索图形
性质的 过程，初步掌握了平行线的有关性质，并用自己的语言加以描述，初步具有了
有条理地思考与表达的能力 ，为本章的深入学习奠定了基础。
学生的活动经验基础：
在七年级上册《平面图形及其位置关 系》一章中，教材为
学生提供了大量生动有趣的现实情境，通过观察、测量、画图、模型操作、拼摆、图
案设计等活动，使学生在活动中自觉体会平面图形的性质及位置关系，获得了初步的
数学活动经 验和体验。同时在活动中也培养了学生良好的情感态度，顺利实现中学、
小学过渡，以积极的态度投入初 中数学的学习，具备了一定的主动参与、合作意识和
初步的观察、分析、抽象概括的能力。
二、 教学任务分析：
在七年级上学生已经直观认识了平行与垂直的基础上，本章将进一步探 索平行线、
相交线的有关事实，并将直观与简单推理相结合，借助平行的有关结论解决一些现实
的实际问题。“探索直线平行的条件”一节主要学习三种常用的判别平行线的方法，这
是进一步学习平行 线特征的基础。本课时主要教学任务是初步认识同位角并探索出“同
位角相等，两直线平行”的结论。本 节课的教学目标是：
1．经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等判别直线平行的结论，并
能解决一些问题。
2．会识别由“三线八角”构成的同位角，会用三角尺过已知直线外一点画这条直
线的平行线。
3．经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结
论的过程，进 一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。
4．使学生在积极参与探索、交流的数学活动中， 体验数学与实际生活的密切联系，
激发学生的求知欲，感受与他人合作的重要性。
三、 教学设计分析：
本节课共设计了六个环节：巧妙设疑，复习引入；联系实际，积极探索；变式训练，< br>熟练技能；学以致用，步步提高；拓展延伸，迁移运用；总结反思，布置作业。
第一环节：巧妙设疑，复习引入
活动内容：教师通过设置问题串，层层设疑，在引导学生思考 、层层释疑的基础上，
既复习旧知，做好新知学习的铺垫，同时也不断激活学生思维、生成新问题，引起 认
知冲突，从而自然引入新课。
问题1：在同一平面内两条直线的位置关系有几种？分别是什么？
学生很容易回答出“在同 一平面内两条直线的位置关系有两种，分别是相交和平行”，
再进一步针对相交和平行分别提出问题2、 3。
A
O
D
B
问题2：如图，两条直线相交所构成的四个角中分别有何关系？
C
借助两条直线相交的基本图形复习“两线四角”的关系，为探索“三线八角”
的关系奠定基础。
问题3：什么叫两条直线平行？
复习平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
问题4：观察下面每幅图中的直线a,b，它们分别平行吗？你能验证吗？
三组直线看上去似 乎不平行，其实它们分别都是平行的，这是由于背景造成的视
觉误差，所以按照平行线的定义仅凭观察来 判断直线的平行关系是不够的，这就需要
进一步寻求证据，本节课老师将和同学们一起来——探索直线平 行的条件，由此引入
新课。
活动目的：问题1，2，3抓住了本章学习的重点——平行和相交 ，从学生已有的
知识入手，以问题为载体，自然复习同一平面内两条直线的位置关系以及平行、相交的基本图形和基本知识，承上启下为新课的学习做好铺垫，有利于学生形成完整的知
识结构。学生对 问题3的回答进一步复习了平行线的定义，但是在利用平行线的定义
解决问题4时却遇到了困难，由于背 景的干扰，他们仅凭观察无法判断两条直线是否
平行，这时老师可以启发学生用推三角板的方法去验证， 得出两条直线是平行的，观
察所得到的结果与实际结果之间有明显的误差，能够使学生深深的体会到，仅 凭观察
和实际操作得出的结论是不可靠的，必须学习用更科学的方式来说明，由此引发学生
探索 的直线平行条件的需求，自然引入新课。这样引入，既符合学生已有的认知基础，
又较好的激发了学生探 索问题的欲望。
实际教学效果：在处理问题1，2，3的过程中，教师的主要目的是带领学生复习回顾
七上学习的相关知识，教学中发现，由于间隔时间较长学生有的遗忘了，有的不能很
好的用数学 语言表达，教师应有充分的耐心帮助学生理清思路，这将对本节课的学习
起到关键作用。在处理问题4时 ，先让学生观察、猜想，再利用多媒体课件改变背景
图形的设置角度，观察直线的位置关系也好像改变了 ，再让学生利用推三角板的方式
进行验证，最后隐去背景图形，进一步验证，在此过程中让学生充分感受 观察所得到
结果的不确定性，也进一步体会到寻求更科学、准确方法的必要性。实践证明，这样
处理能较好的调动学生的积极性，开启了学生的思维，成功的引入了新课。
第二环节：联系实际，积极探索
活动内容：
1．引入实际问题：如课本彩图，装修工 人正在向墙上钉木条。如果木条b
与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木 条a与木条b
平行？学生根据自己的生活经验自然会得到：木条a也与墙壁边缘垂直时，才能使木
条a与木条b平行。在此基础上提出两个问题：
问题1：实际问题中在判断两根木条平行时，借助了 墙壁作为参照，你能将上述问题
抽象为数学问题吗？试着画出图形，并结合图形说明。
学生回答：如图，把墙壁看作直线c,直线b与直线c垂直时，
只有当直线a也与直线c垂直时，才能得到直线a平行于直线b。



问题2：
c
b
a
b
1
a
2
c
1.图中的直线b与直线c不垂直，直线a应满足什么条件才能与直线b平行呢？请你利用教具亲自动手操作。
做一做：利用纸条和图钉自己制作学具，如图，三根纸条相交成∠1，∠ 2，固定纸条
b,c,转动纸条a, 在操作的过程中让学生观察∠2的变化以及它与∠1的关系，你发 现
纸条a与纸条b的位置关系发生了什么变化？纸条a何时与纸条b平行？改变图中∠1
的大小 再试一试，与同学交流你的发现。 引导学生发现，当图中的∠2满足与∠1相
等时，纸条a与纸条b平 行。再利用课件展示，加深学生的认识。
2．由∠1与∠2的位置关系引出对“三线八角”的认识和同位角的概念。
如图，直线AB，CD被直线l所截，构成了八个角，具有∠1与∠2
这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的同一侧，在截线的同一旁，
相对位置是相同的，我们把这样的角称为同位角。
问题1：图中还有其他的同位角吗？
问题2：这些角相等也可以得出两直线平行吗？
3．综上探索，引导学生归纳出两直线平行的条件：同位角相等，两直线平行。
活动目的：本 环节共经历了三个过程。首先利用课本的实例，使学生认识到平行线在
日常生活和生产中广泛存在，探索 直线平行的条件是实际的需要，由实例中“木条与
墙壁平行”这一特殊情况入手，学生很容易理解。通过 问题1巧妙的将实际问题转化
为数学问题，较好了建立的数学模型；又通过问题2实现了由特殊到一般的 过渡，点
击重点。设置了“转动纸条”的活动，让学生亲自动手操作，目的是让学生通过观察、
想象、直观认识到“同位角相等，两直线平行”的结论。第二，再次引导学生将转动
纸条的实际问题抽象 为数学问题，画出“三线八角”的基本图形，并直观的认识同位
角的概念，使概念的学习成为解决问题的 需要，而没有孤立的处理这部分内容，这样
处理能使知识自然纳入学生的学习需求，符合可接受性原则。 第三，在较好的处理了
前两个环节后，探索得出同位角相等，两直线平行的结论也就水到渠成了。这样由 浅
C
A
l
D
B
3
1
7
5
4
2
8 6
入深，充分地让学生经历了解决问题的过程，较好的突出了重点，突破了难点。
实际教学效果 ：本环节的教学是本课的教学难点，在实现以上教学活动的过程中，学
生有较好的参与意识和学习兴趣， 实际问题与学生生活密切联系，绝大多数学生能够
很快得出结论，并随着老师问题的提出而不断进行更深 入的思考。设计的动手实验与
课本相比进行了改变，更加简单易操作，实现了让学生通过动手操作，在变 化中感受
角的大小变化与直线位置关系的联系的教学目标。在得到充分的感性认识的基础上，
通 过第二个环节从数学的角度来认识三线八角，实现了由感性到理性的上升，这样逐
渐提高思维要求，教学 效果良好。对于三线八角的变式训练本节课没有涉及，主要是
考虑避免喧宾夺主，先让学生有一个初步认 识，但是学生在今后的学习中将会遇到各
种变式图形，正确识别三线八角也是一个难点，为解决这一问题 ，本设计将在下一课
时对此进行弥补。实际教学证明，如果本节课将三线八角的教学作为重点之一，一是
教学时间不够，而是冲淡了对探索直线平行条件这一主要教学目标的完成。
第三环节：变式训练，熟练技能：
活动内容：
E
G
. . . . . . . .
A
. . . . . . . .
B
. . . . . . . .
D
C
. . . . . . . .
. . . . . . . .
F
H
练习1 指出下面点阵中互相平行的线段，并说明理由
（点阵中相邻的四个点构成正方形）。
练习2 如图，∠1=∠2=55°, ∠3等于多少度？直线
AB、CD平行吗？说明你的理由。
练习3 议一议：


A
议一议1

议一议 2
E
A
1
G
C
3
H
2
F
.
P
B
B D
问题1：你还记得怎样用移动三 角板的方法画两条平行线吗？你能用这种方法过
已知直线AB外一点P画它的平行线吗？请说出其中的道 理。
问题2：分别过点C、D画直线AB的平行线EF、GH， EF与GH有怎样的位置关系？
你有什么发现？与同伴交流.
结论：
过直线外一点有且只有一
条直线与这条直线平行。

平行于同一条直线的两条
直线互相平行。

因为a∥b ，a∥c ，
根据平行于同一条
直线的两条直线互
相平行，所以b∥c

活 动目的：通过形式不同的三个练习，从不同的角度帮助学生进一步加深对利用
同位角相等判定两直线平行 的认识，形成初步技能。练习1利用网格图呈现基本图形，
较简单有趣；练习2难度略有加深，直接呈现 三线八角的基本图形，引导学生，帮助
学生进一步认识同位角，并判定直线平行；练习3是将上学期所学 “推三角板画平行
线”的方法与本节课知识相联系，当时学习这种画法的时候，无法给学生说明这样画< br>的道理，留下悬念，学习了本节的知识后，正好为此找到了理论依据。设计成议一议
的形式也是为 了使学生在实践中学会思考，再利用所得结论来解决新问题：如何过直
线外一点画已知直线的平行线？这 也是本节课学生要重点掌握的内容。
实际教学效果：本环节练习采用先让学生独立思考、再小组交流的 方式展开。教
学中鼓励学生用自己的语言说明理由，并逐步渗透用数学语言进行说理的能力，但不
强求每个学生都用严格的语言进行表述。练习1学生有的学生根据以往的经验知道线
段EF、GH与线 段AB、CD相交所成的锐角都是45 度，由此得到结论；有的学生从直
观上得出线段EF、GH与线 段AB、CD相交所成的锐角都相等，由此得到结论。至于为
什么都是45度或为什么相等，个别学生还 不能很好的说明理由，这还有待于今后进一
步学习。只要学生有根据角相等来判断直线平行的意识就应该 鼓励，也就实现了教学
目标。通过练习3学生能够利用“同位角相等，两直线平行”的结论来解释“平移 三
角板画平行线”方法的合理性，并灵活应用这种方法学会过已知直线外一点画这条直
线的平行 线，这较好了培养了学生利用所学数学知识解决问题的能力。
第四环节：学以致用，步步提高
活动内容：
1．b∥a , c∥a , 那么 ，理由： .




第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
2.如图如果∠1=∠2，那么哪两条直线平行？为什么？
3.如图，∠AOC=∠APQ=∠CFE=46°，可得到哪些平行线？为什么？
4. 如图，直线EF与∠DCG的两边相交于A，B两点，∠C的同位角是 和 ，
∠BAC的同位角是 ，∠EBG的同位角是 .
第五环节：拓展延伸，迁移运用
1.带领学生研究课本48页“数学理解”栏目中的两个实际问题：
问题1：你能用一张不规则的纸（如图）折出两条平行的直线吗？
与同伴说说你的折法。 < br>问题2：如图（1）是一种画平行线的工具，在画平行线之前，工人师傅往往要先调整
一下工具， 如图2，然后画平行线，你能说明这种工具的用法和其中得道理吗？（图
见教材）
2．如图，在屋架上要加一根横梁DE，已知∠B=32°,
要使DE∥BC,则∠ADE必须等于多少度？为什么？
B
D
O
A
E
C
活动目的：本环节的三个问题难度较大，联系实际，要求学生具 有较高的分析问题和
解决问题的能力，设计的目的是进一步激发学生的探究兴趣，学会用所学知识解释和
解决实际生活中的问题，提高能力。问题1由于所给纸片是不规则的，给学生构建了
探究、创造 的空间，要想利用结论，必须构造出于同一条直线相交构成相等同位角的
两条直线，方法多样，有较大的 探索空间；问题2是进一步培养学生说理的能力，也
可以进一步引导学生将实际问题抽象位几何图形，并 结合图形说明道理；问题3是一
个具有较复杂图形的实际问题，目的是训练学生的识图能力，只要善于从 中提取出基
本图形，问题就迎刃而解了。
设计本环节对于整节课教学目标的实现也起着非常重 要的作用，第一使学生对知
识的理解与应用螺旋上升，达到较高要求；第二，整堂课的设计体现了实际— —理论
——实际的过程，帮助学生形成从实际问题中抽象出数学问题，得出结论，再用来解
决实 际问题的学习数学的思路，这也符合新课程标准所要求的“实际问题——建立模
型———解释、应用与拓 展”思路。
实际教学效果：在教学中，学生对于以上三个问题的解决同样有极大的热情，特别是
问题1的折纸活动，出现了各种不同的方法：有的折出了两条与纸的边缘垂直的线，
得出两条折痕是互 相平行的；有的折出了一组相等的同位角，有的还用度量的方法折
出了平行四边形，等等，教师对于学生 的折法只要合理就给予鼓励，并对他们的解释
给以合理的补充和理论上的说明，学生获得了成功的体验。
第五环节：总结反思，布置作业
总结反思，
问题1：本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？
问题2：本节课你有哪些收获？
问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么？
活动目的：通过三个问题引导学生 回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼
及知识的归纳，纳入自己的知识结构。教师将通过对问 题1的总结，有目的地引导发
现自己在合作学习、解决问题的过程中能否提出有价值的解决方案、能否与 他人沟通
合作等；通过对问题2的总结主要是帮助学生提炼本节课的重要知识点和必须要掌握
的 技能；通过问题3要引发学生进一步的思考，是否还有其他的判别直线平行的方法？
为下节课进一步学习 奠定基础。由于学生的学习基础、、反思归纳能力不同，应该说不
同的学生会有不同的想法，但是学生之 间的这种差异也是一种学习资源。通过教师为
学生提供的交流互动的舞台，使学生在倾听别人的想法、意 见、收获的同时，不断完
善自己的认识。
实际教学效果：这样设计使得学生在一节课积极、热 烈的探究、合作学习之余，
有一点时间静下心来默默地反思自己，使自己对知识有一个沉淀、吸收的过程 ，这样
小结显然要比简单的堆积知识点对培养学生能力更有利。实际教学中不同层次的学生
都能 谈出自己的想法、收获以及自己还存在的困惑，通过生生、师生的交流，帮助他
们解决问题，形成完整的 知识结构，取得了较好的效果。
布置作业
1．48页习题2.3知识技能。
A
B C D
F
E
2．补充练习：如图，是由两块相同的直角三角板拼成的，
（1）请写出图中相等的角；
（2）写出图中平行的线段，并说明理由。
及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节，由于课 本提供练习较少，因此作适当的补
充。由于对学生“说理”的训练应循序渐进，考虑到学生目前书写还有 困难，所以练
习较多采用填空、选择的形式，逐步过渡到由学生独立完成说理的全过程。
四、 教学设计反思
1．以问题为载体给学生提供探索的空间
数学学习的本质是一种思维活动，发 展思维能力是培养学生能力的核心，而“学
起于思，思起于疑”，问题是思维的外衣。本节课的每个环节 的设计与展开，都以问题
的解决为中心，第一环节以问题作为激活学生思维的刺激因素，激发学生产生合 理的
认知冲突，激发兴趣，第二、三环节以问题带领学生探究，寻找规律，第四环节在解
决问题 的过程中练习、巩固知识，第五环节也是以引领学生反思、总结，整节课构建
了“以问题研究和学生活动 ”为中心的课堂学习环境，使教学过程成为在教师指导下
学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中 形成自己的观点。所以，合理把握问
题教学，是保证学生自主、合作、探究的学习方式向纵深发展的关键 ，要克服以完成
教学任务为主要目标、不舍得给学生探究时间的倾向，要给学生提供较为充分的思维、< br>探究的时间和空间。
2．为学生提供多维互动交流的舞台
儿童深层次的认知发展，既 需要独立思考，更需要合作交流。现代认知学派认为，
在学习过程中，只有经过学习者自己探索和概括的 知识，才能真正纳入其自身认知结
构，获得深刻的理解，在应用时才易检索。这里的“自己探索和概括” 就是独立思考，
学生的思维是在自己原有的认知结构上建构的，教师应尽可能多地给学生充分自主思考的空间和时间，即使他们找不到思路，也充分感知了困难、尝试了困难，为进一步
探究奠定了基础 。通过独立思考领会数学学科的基本原理、基本概念和思想方法，掌
握解题（包括解决实际问题）的基本 方法和策略，并尝试进行数学创造是数学学习的
基本方法和策略，所以要重视让学生独立思考。学生在独 立思考的基础上进行合作研
究，进行生生之间的对话，在合作中发挥个人的自主性，让学生尝试自己证明 猜想，
引导他们注意力的求异性、思维的发散性，是培养学生创新精神和实践能力的重要途
径， 有利于增强学生学习的自信心和克服困难的意志力，有利于培养自主意识和合作
精神。